概率论模拟练习(含答案)

1、2015-2016-2概率论模拟练习概率论模拟练习 ?. ? 6 ? 2 ? 12 ? ? 1. 设事件 A 和 B 是试验 E 的样本空间 的两个子集, 则下列结论正确的是 ( D) A. 若 P(A) = 0 则 A = B. P(A B) = P(A) P(B) C. P(A B) = P(A) + P(B)D. P(A) = 1 P(A) 2. P(A) = 0.5,P(B) = 0.3,P(A B) = 0.6, 则 P(AB) = (A) A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4 3. 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)，下列错误的是 (D) A. f(x) 0B

2、. P (a X 0 4. 设随机变量 X 的分布函数为 F(x) = 0,x 0, 1 (1 + x)ex,x 0. , 则 P(X 1) = (A) A. 2e1B. 1 2e1C. e1D. 1 5. 某种玻璃杯一箱装有 20 只，其中 5 只是次品，不放回地抽取两只，则第二次抽到 次品的概率为 (A) A. 1 4 B. 1 5 C. 1 20 D. D. 3 4 6. 设随机变量 X 的分布律为 P(X = k) = a 3k ,(k = 0,1,2), 则 a = (C) A. 2B. 9/4C. 9/13D. 1 专业学号座位号姓名任课教师 密封线 福建师范大学协和学院试卷纸共

3、5 页, 第 1 页 ?. ? (? 7 ?, ? 3 ?, ? 30 ?) ? 1. 设事件 A 和 B 满足,P(A) = 0.4,P(B) = 0.6,P(A|B) = 0.5, 则 P(A B) = 0.7 . 2. 从区间 0,1 上任取两个数 x,y，则这两个数和不超过 1 2 的概率为1/8 . 3. 设随机变量 X N(2,9),(0.5) = 0.6915,(1) = 0.8413 , 则 P ( 2 X 7 2 ) = 0.1915 . 4. 设随机变量 X 的分布律为 P(X = k) = 2k k! e2,k = 0,1,2, , 随机变量 Y 的概率 密度为 f(y)

4、 = 1 4, 0 y 4 0,其他. , 且 X,Y 相互独立, 则 D(X 3Y + 1) = 14 . 5. 袋中有 6 个球，分别编号 1,2,2,2,3,3. 从中任取一个球，记随机变量 X 为 取得的球上的数字，则 X 的分布律为 X123 P 1 6 1 2 1 3 , X 的分布函数为 F(x) = 0,x 1 1 6, 1 x 2 2 3, 2 x 0, 0,x 0, , 用 Y 表示对 X 的三次独立 重复观察中事件 X 2 出现的次数, 则 PY = 1 = 3e2(1 e2)2,E(Y ) = 3e2. 7. 已知二维随机变量 (X,Y ) 的联合分布律为 X Y 02

5、 11/41/4 31/31/6 则 E(X 3Y ) = 1 2 ,cov(X,Y ) = 1 6 福建师范大学协和学院试卷纸共 5 页, 第 2 页 ?. ? (? 5 ?. ? 1-4 ?, ? 12 ?; ? 5 ? 10 ?. ? 58 ?) ? 1. 设某一工厂有 A,B,C 三个车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占 该厂生产螺钉总产量的 25%，35%，40%，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出 产量的百分比分别为 5%，4%，2%. 如果从全厂总产品中抽取一件产品. (1) 求抽取的产品是次品的概率; (2) 已知得到的是次品, 求它是车间 B 生产的概率. 解：记

6、D =该产品是次品,A = 该产品是车间 A 生产的,B =该产品是车间 B 生产的, C =该产品是车间 C 生产的. 则 D = AD BD CD . 依题意得,P(A) = 0.25,P(B) = 0.35,P(C) = 0.4 ; P(D|A) = 0.05,P(D|B) = 0.04,P(D|C) = 0.02. (1) 由全概率公式得 P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) = 0.25 0.05 + 0.35 0.04 + 0.4 0.02 = 0.0125 + 0.014 + 0.008 = 0.0345 (2) 由贝叶斯公式得

7、P(B|D) = P(B)P(D|B) P(D) = 0.35 0.04 0.0345 = 28 69, 2. 设随机变量 X 的密度函数为 f(x) = 2x,0 x A, 0,其他. 试求： （1）常数 A ； （2）P(0 X 0.5) ; (3) Y = X2的概率密度 fY(y) . 解：(1) 由 + f(x)dx = 1, 即 A 0 2xdx = 1 , 解得 A = 1，其中 A = 1 舍去，即得 A = 1. (2) P(0 X 0.5) = 0.5 0 2xdx = x20.5 0 = 0.25. (3) 由于 y = g(x) = x2在 (0,1) 上单调增加, 具

8、有一阶连续导数, 且其反函数 x = h(y) = y,h(y) = 1 2y, 故 fY(y) = fX (h(y) )? ?h(y)?= 2y ? ? ? 1 2y ? ? ?, 0 y 1 0,其他 = 1,0 y 1 0,其他 专业学号座位号姓名任课教师 密封线 福建师范大学协和学院试卷纸共 5 页, 第 3 页 3. 已知二维随机变量 (X,Y ) 的联合密度函数为 f (x,y) = 24(1 x)y,0 x 1,0 y x 0,其他 (1) 求边缘概率密度 fX(x),fY(y);(2)X 与 Y 是否独立?(3) 求 P(X + Y 1) 解：(1)X 的边缘密度函数 fX(x

9、) = + f (x,y)dy = x 0 24(1 x)ydy,0 x 1, 0,其他 = 12x2(1 x),0 x 1, 0,其他 Y 的边缘密度函数为 fY(y) = + f (x,y)dx = 1 y 24(1 x)ydx,0 y 1, 0,其他 = 12y(1 y)2,0 y 1, 0,其他 (2) f ( 1 2, 1 4 ) = 24 1 2 1 4 = 3, 而 fX(x) = 12 1 4 1 2 = 3 2,fY (y) = 12 1 4 9 16 = 27 16, 易见, f ( 1 2, 1 4 ) = fX ( 1 2 ) fY ( 1 4 ) , 因此 X 与 Y

10、 不相互独立. (3) P(X + Y 1) = 1 1 2 dx x 1x 24(1 x)ydy = 8x3+ 18x2 12x 1 1 2 = 1 2. 4. 设随机变量 (X,Y ) 的联合密度函数为 f (x,y) = 12y2,0 y x 1 0,其他 求 (1)E(X); (2)D(X); (3)E(X2Y ). 解：(1) E(X) = + + xf(x,y)dxdy = 1 0 xdx x 0 12y2dy = 4 5, (2) E(X2) = + + x2f(x,y)dxdy = 1 0 x2dx x 0 12y2dy = 2 3, 则 D (X) = E ( X2 ) (E

11、 (X)2 = 2 3 ( 4 5 )2 = 2 75. (3) E(X2Y ) = + + x2yf(x,y)dxdy = 1 0 dx x 0 12x2y3dy = 1 2. 福建师范大学协和学院试卷纸共 5 页, 第 4 页 5. 箱子中装有 10 件产品, 其中 2 件是次品. 现在有放回地从箱子中取 2 件产品, 每次 取一件. 定义随机变量 X,Y 如下： X = 0,若第一次取出正品, 1,若第一次取出次品, Y = 0,若第二次取出正品, 1,若第二次取出次品, 求二维随机变量 (X,Y ) 的联合分布律. 解：X 可能取的值为 0,1,Y 可能取的值也为 0,1, 且 P(X = 0,Y = 0) = 8 8 10 10 = 16 25, P(X = 0,Y = 1) = 8 2 1