欧拉图和哈密尔顿图-精.ppt

1、欧拉图和哈密尔顿图,信号处理中的数学方法 第2-4讲,一.欧拉回路：一般不限于简单图，一般指无向图,原问题：“右边的图中是否存在包含每条边一次且恰好一次的回路？” 原问题等价于：欧拉图,C,D,A,B,A,C,B,D,Eg. 哥尼斯堡七桥问题,欧拉回路，欧拉通路,图G的一个回路/通路,它经过G中每条边恰好一次，则回路/通路称为欧拉回路/通路。 定义：如果图G中含欧拉回路，则图G称为欧拉图。 定义：如果图G中仅有欧拉通路，但没有欧拉回路，则图G称为半欧拉图。,例 “一笔划”问题G中有欧拉通路,？,实例,上图中，(1) ,(4) 为欧拉图,例 多米诺骨牌，28块,能否排成一圈使两两相邻的半边的点数

2、相同，问是否可能？,将0-6看作7个结点，任2点的边看作一块骨牌 这样,该问题转化为G有无欧拉回路的问题,定理对连通图，下列命题等价,1）G是欧拉图 2）G的每个结点为偶度数 3）G的边集能划分成为基本回路，即 eg.,证 1)2)3) 1),1) 2): 设Go为G的欧拉回路，可将Go表示为 v1e1v2e2envn+1(vn+1=v1)，其中vi的一次出现总关联于左右2条边，对应度数为2 又Go 的e1，e2，en互不相同，且穷尽了所有的边，这样任一点vi的度数为vi在Go中出现的度数之和必为2的倍数。/,2) 3): G连通，不妨设G是非平凡图,由2）每个结点度数至少为2，所以G中含一基

3、回Z1，Z1的度数为偶度数，删去Z1的边得到G，原G为偶度数，删去G的每个点仍为偶度数 除孤立点外其余点至少为2度，即余连通点所图至少2连通 如法炮制，直至余图不含边 Z1，Z2 ，.,Zk 为E的一个划分。 /,3) 1)：,Z1是划分中的一个基回，若Z1=E，则Z1就欧拉回路，G是欧拉图 否则，存在另一回路Z2与Z1有公共点v 构造简单回路，从v经Z1回到v，再经Z2回到v 将Z1UZ2看作Z1，再重复 上述过程，得到穷尽EG 的简单回路。 G欧拉图。/,提示,全部是偶度点的连通图中的回路 若干小回路串成欧拉回路,续例 多米诺骨牌问题 能构成回路，能够连成首尾圈。/,定理 连通图G，若G中

4、仅有0或2个奇 度数点G有欧拉通路。,0个奇度数，显然欧拉回路 2个奇度数，u，v，分情况： 1）u,v相邻，删(u,v)余图G为欧拉图， 从u开始在G中走欧拉回路，回到u，再 走(u,v)得到欧拉通路 2） u,v不相邻，向着v方向，取(u,u1)删 (u,u1)，以u1为始，重复过程，直至删 (ui,v)后得到欧拉回路，连上所删除的边，得到得到欧拉通路。/,续例 .“一笔划”问题,G连通，从一个奇度点开始画，图只有0或2个奇度点，则G可一笔画。/ 定理 对有向图，G有欧拉回路每一结点入度等于出度。,安排国展中心参观路线,A,B,C,J,E,F,I,K,H,G,D,L,N,M,O,参观区域实

5、景 图G 设E为起始点 E,N,M,O,L,K,I,L,M,J,N,D,C,J,B,I,A,K,H,G,O,F,E,1) 任取一点v0，置w0=v0 2) 设简单回路wi= v0e1v1e2eivi 已选定，则从EGe1e2ei中选ei+1 选择条件： i. ei与vi相邻 ii. 对EGe1e2ei而言非割边优先 3) 重复2)，直到不能执行,讨论这种情况下，会否出现,EGe1e2ei中有边，而2)之条件i不成立的情况： 如 vi = v0，则必有某个ji时刻选ej+1 边为割边 与2）之ii条件相矛盾，不可能 出现，即vi v0 如vi v0 ，则vi 的度数为奇数 与欧拉图相矛盾,在画欧

6、拉回路时，已经经过的边不能再用； 在走回路中的任何时刻，将已经经过的边删除，剩下的边必须仍在同一连通分支当中,提示：,随机欧拉图,G是欧拉图，vVG，从v开始，每一步从当前点所关联边中随机选边，均可构造欧拉回路，则G称为以v为始点的随机欧拉图。,注，若G是以v为始点的随机欧拉图，则任何一个以v为始点的不包含G中所有边的回路都应该能扩充成欧拉回路。反之，若G不是以v为始点的随机欧拉图，则一定存在已经包含了v所关联的所有边，却未包含G中所有边的简单回路。,随机欧拉图的判定,定理 欧拉图G是以v为始点的随机欧拉图当且仅当G中任一回路均包含v。 推论 欧拉图G是以任一顶点为始点的随机欧拉图 当且仅当G

7、本身是一个基本回路),中国邮递员问题：,问题：邮递员从邮局出发，走过辖区内每条街道至少一次，如何选择最短路线？ 1）每街一次/至少一次 2）环游最短,中国邮递员问题-模型,数学模型： 构造无向权图G，以道路为边，路长为权 问题的解G中包含所有边的回路权最小，称为最优回路(未必是简单回路)。 当G是欧拉图，则最优回路即欧拉回路。 若G不是欧拉图，则通过加边来消除G中的奇度顶点，要求使加边得到的欧拉图G中重复边的权和最小。,周游世界的游戏,1859 哈密尔顿 “周游世界”游戏： 20个城市，每个城市恰游一次，回到出发地 用一个正12面体的20个 顶点代表20个城市，,哈密尔顿图,定义：若图G中有经

8、过所有顶点的基本回路，称为哈密尔顿回路，若G中含哈密尔顿回路，则称G为H_图。 定义：经过图G中所有顶点的 基本通路称为哈密尔顿通路， 若G中含哈密尔顿通路， 但不含哈密尔顿回路，则称 G为半哈密尔顿图。,周游世界的游戏的解,哈密顿图,哈密顿图,哈密顿图,无哈密顿通路,存在哈密顿通路,实例,在上图中， (1),(2) 是哈密顿图;,实例,已知有关人员a, b, c, d, e, f, g 的有关信息 a：说英语； b：说英语或西班牙语； c；说英语，意大利语和俄语； d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语. 试问：上述7人中是否任意两人都能交谈

9、？ (可借助其余5人中组成的译员链帮助),解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边(即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.,a：说英语； b：说英语或西班牙语； C: 说英语,意大利语和俄语； d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.,解一,解二,如果题目改为：试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与他身边的人交谈？ 解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能说讲一种语言，够造出哈密顿图

10、如右上图所示。,a：说英语； b：说英语或西班牙语； c；说英语，意大利 语和俄语； d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.,判断H-图,任何一个H_图都可以看成是一个基本回路，再加上其他若干条边 H_图的充分条件和必要条件均有，但尚无充要条件,H_图的必要条件,G是H_图，则对VG的任意非空真子集S (S， SV，均有 W(G-S)|S| 其中W(G)是G的分支数,必要条件的应用,证,设C是G的H_回路 W(C-S)|S| (从一个基本回路上删除k个顶点， 最多形成k个连通分支) 又G S 与C S的点相同，而EG-S E C S W(G-

11、S)|S|,例,图中A类点仅与B类点连 |A|=|v1,v3,v7|=3, |B|=|v2,v4,v5 ,v6 ,v8|=5 选S= v1,v3,v7， |S|=3 则W(G-S)=5 |S|=3,必要条件的局限性 只能判定一个图不是哈密尔顿图,下图(Petersen图)满足上述必要条件。 Petersen图不是H_图。,H-通路/半哈密尔顿图 充分条件,定理简单G有n(n 2)个节点，若G中任二点度数和大于等于n-1，则G有H-通路 例.有H_通路，无H_回路 设 S= v1,v4， |S|=2 W(G-S)=3 2 = |S|,H-图的 充分条件,定理简单G有n个结点，n3，若G中任二点度

12、数和大于等于n，则G有H-图 例. N边形， n5 任一对结点度数和=45 但它显然是H_图,例. Kn是完全图,d(vi)+d(vj)=(n-1)+(n-1)=2n-2 n (n3) Kn是H-图 只要图中边足够多，G易为H_图 只要图中成对节点度数足够大，G易为H_图,间接充要条件,引理 设 G中u,v不相邻，且 d(u)+d(v) n，则 G+(u,v)是H_图的充要条件是G是H_图,闭合图C(G)：,在G中反复增添结点度数和|VG|的不相邻的节点对上的边，直至不能再添，得到的图为闭合图C(G) 图G的闭合图是唯一的,例,加成了完全图， 故是H_图 “如果只在满足 d(u)+d(v) n

13、 的 u,v 之间加边构造闭合图，图的哈密尔顿性质不会改变”,棋盘上的哈密尔顿回路问题,在44或55的缩小了的国际象棋棋盘上，马(Knight)不可能从某一格开始，跳过每个格子一次，并返回起点。,货郎担/旅行推销员(TSP)问题：,在一个赋权的完全图中，找出一个具有最小权的H_回路，也即回路边的权之和最小 对该赋权图上的边，满足三角不等式（距离不等式） W(a,b) W(a,c) + W(c,b),数学模型,构造无向带权图G， VG中的元素对应于每个城市， EG中每个元素对应于城市之间的道路，道路长度用相应边的权表示。 则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的哈密尔顿回路。 G是带权完全图，总共有n!/2条哈密尔顿回路。因此，问题是如何从这n!/2条中找出最短的一条 eg：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约6000万亿条-(1.216451017)/2，若机械地检查，每秒处理10万条，需2万年,货郎担问题的近似算法,1)由任一点v0开始，找一条与之相关联的权最小的边(V0 ,V1 )，形成初始回路v0 v1 2)设v0 v1 vi 已选定，从V v0 v1 vi中找一点 vi+1 与 vi 距离最近 3)重复2)直到所有节点都在通路中 4)连接始点与终点 不一定是最佳解,例,8,从a出发的“较好的”回路，,长度