质点力学(4-7).ppt

1、定义: 功等于力与位移的标积。,1-4 动能定理 机械能守恒定律,一、功 功率,1） 恒力的功,在国际单位制中，功的单位是焦耳J。,即 功等于力沿路径的线积分。是力的空间积累。,2) 变力的功,微分形式,在直角坐标系中：,功在数值上等于 图曲线下的面积。,3）功的几何意义：,结论：合力对物体所做的功等于其中各个分力分别 对该物体所做功的代数和。,注意：1、功是过程量，与路径有关。 2、功是标量，但有正负。 3、合力的功为各分力的功的代数和。,4) 合力的功,设 m1、m2 组成一个封闭系统,这一对力在dt 时间内所做的功为:,5) 作用力和反作用力做功之和,所以，瞬时功率等于力与质点速度的标积

2、,单位：瓦特 W,6) 功率 力在单位时间内所作的功,(1). 质点的运动轨道为抛物线,(2). 质点的运动轨道为直线,解: 由题意可知,质点在(xy)平面运动 所以有:,做功与路径有关,解：（一维运动可以用标量）,例3、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？,解：取地心为原点，引力与矢径方向相反,典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力、静电力.,典型的耗散力： 摩擦力 磁力,某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。或定义为：质点在某力的作用下沿任意一闭合回路运动一周做功为零。即：,这种力就是保守力。

3、,7）保守力做功,保守力与非保守力,做功与路径有关的力称为非保守力（耗散力）。,m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.,可见，重力是保守力。,重力的功,两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以M所在处为原点, M 指向 m 的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。,可见万有引力是保守力。,引力的功,可见，弹性力也是保守力。,弹力的功,式中Ep(a) 、 Ep(b) 分别为a、b两位置对应的势能。,二、势能和势能曲线,在保守力的作用下，质点从 a-b，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个只与位置有关的函数-势能函数. a点的函数值减去b点的函数值，为从 a

4、-b保守力所做的功，,1. 势能,选参考点（势能零点），设,质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。,重力势能（以地面为零势能点）,引力势能（以无穷远为零势能点）,弹性势能（以弹簧原长为零势能点）,几种典型的保守力的势能公式：,注意： 1、只有保守力的系统，才可引入相应的势能。 2、计算势能必须规定零势能参考点。 3、势能仅有相对意义，它与零势点的选取有关。 4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的，不为单个物体所具有。,保守力沿某一给定的 l 方向的分力等于 此保守力相应的势能函数沿l 方向的空间变化率。,保守力所做元功,势能是保守力对路

5、径的线积分,2. 势能与保守力的关系,质点在某点所受的保守力等于相应势能梯度的负值。,勃勒算符 （微分矢量算符）,势能是位置的函数，用EP ( x,y,z)表示，称为势函数,几种典型的 势能曲线:,（d）原子相互作用 势能曲线,势能曲线: 势能随位置变化的曲线.,（a）重力势能曲线,（b）弹性势能曲线,（c）引力势能曲线,3、势能曲线,1、指出了质点在轨道上 任意位置所具有的势能值。,2、势能曲线上任意一点的 斜率的负值，表示质点在该处所受的保守力的大小 。,斜率为正,Fr 沿r 的负方向; 斜率为负, Fr 与r的方向相同; 斜率为零,即Fr=0.(曲线处在极大或极小值),势能曲线提供的信息

6、,势能曲线取极小值的 平衡位置是A点,势能曲线取极大值的 平衡位置是B点,3、势能曲线有极值时， 质点处于平衡位置。,4、设系统机械能守恒，用势能曲线还可分析质点的运动范围.,例4 有一保守力 F = (-AxBx2)i，沿 x 轴作用于质点上，式中A、B 为常量，x 以m计，F 以 N计。 （1）取 x =0 时EP = 0，试计算质点在任意位置处所具有的势能； （2）求质点从x = 2m运动到 x =3m时势能的变化。,解：,质点的动能:,质点的动能定理 :,质点受外力作用,运动状态变化,动能变化,三、动能 动能定理,1). 质点的动能及动能定理 :,功是质点动能变化的量度,过程量,状态量

7、,外力做正功,动能增加；外力做负功,动能减少。,动能定理确定了过程量与状态量的增量之间的关系.,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量,质点系统的动能,因为 已证明了系统内力 做功之和为,所以质点系中的内力 做功之和不一定为零.,因此,2）质点系的动能定理,质点系的动能定理,质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统非保守内力的功的总和等于其机械能的增量。,四、 机械能守恒定律,称为功能原理,那么，系统的机械能保持不变.,在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。,机械能守恒定律,2) 机械能守恒定律,例5 一质量为m=2kg的物体从静止开始，沿四分 之一的园弧从A滑到B。测得物体在B

8、处的速度v=6m/s, 已知园弧的半径为R=4m。问：物体在下滑过程中 摩擦力做的功是多少？,解：,物体在下滑过程中有摩擦力和重力做功，改变物体的动能。,根据动能定理有：,负号表示摩擦力做负功。,例6 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、 轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如 下图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于 水平距离BC，m2与桌面间的摩擦系数为，最初m1静止 于A点，ABBCh，绳已拉直，现令滑块m1落下,求 它下落到B处时的速率,联立上述两式，得:,解: 取B点为重力势能零点，弹簧原长h为弹性势能零点. 滑块2与桌面间的摩擦力做功。,式中l为弹簧在A点时比原

9、长的伸长量，则,则由功能原理，有,此题也可用牛顿运动定律求解。,实际上功能原理是由牛顿运动定律导出的，只是运用功能原理解题时不需考虑中间变化过程。因而，运用功能原理解题比运用牛顿运动定律解题方便得多。,例7 设地球半径为R 。一质量为m的物体，从静止开始在距地面 R 处自由下落。求：它到达地球表面时的速度。,由机械能守恒定律：,解：系统只有保守内力做功，所以机械能守恒,例8 一链条，总长为l ，放在光滑的桌面上，其中一端下垂，长度为a，如图所示。假定开始时链条静止。求链条刚刚离开桌边时的速度。,解：选桌面为零势能点。,地球和链条组成的系统,只有重力做功。因此， 系统机械能守恒。,想一想：若桌面

10、不是光滑的、 摩擦系数为。该怎样做？ 请同学们自己完成。,1-5 冲量与动量,元冲量,一、动量、冲量,质点系的动量,质点的动量,力的冲量,冲量是一个过程量，描写的是在t1 到t2 这段时间间隔内,力的时间累积作用。,动量（描述质点运动状态，矢量）,动量定理的积分形式,二、质点的动量定理,动量定理的微分形式,(4) 动量是状态量，而冲量则是过程量。动量定理给出了过程量与状态量之间的关系。,在应用动量定理时要注意以下几点：,(2) 具有因果关系。冲量是原因，动量增量是结果。,(3) 冲量在某方向的分量只改变该方向上的动量。 其分量表示式：,它仅适用于惯性系，表达式中的v 必须对同一惯性系。,动量定

11、理变为：,则平均冲力：,平均冲力：,设由两个质点组成的系统：m1、m2,受外力：,受内力：,对质点“1”,对质点“2”,三、质点系的动量定理,一般言之：设系统有n 个质点，则：,动量定理的微分形式.,令:,或:,则有:,动量定理的积分形式.,若质点系所受合外力为零，则质点系的总动量保持不变。-质点系的动量守恒定律,如果,则有:,四、质点系的动量守恒定律,1) 使用时要注意动量守恒定律的条件., 动量守恒定律中各质点的速度必须相对于 同一惯性系.,2) 动量守恒并不意味着系统内各质点的动量保持不 变.内力能改变系统内各质点的动量.,运用动量守恒定律时要注意以下几点:,若系统所受的合外力不等于零，

12、但在某个方向的合外力为零，则这个方向的动量守恒。,3）动量守恒式是矢量式，在应用时常用其分量式：,解：取球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为 则有：,取坐标系，将上式投影，有：,为平均冲力与x方向的夹角。,（1）球得到的冲量,（2）球得到的平均冲力,此题也可用矢量法解,证明：取如图坐标，设t 时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后的dt 时间内将有质量为dx（Mdx/L)的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：,根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：,柔绳对桌面的冲力 F = -F 即：,而此时已落到桌面上的柔绳的重量为 mg=Mgx/L,所以 F总=F +

13、mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg,目录,船和人组成的系统动量守恒。建立如图示的坐标。即,由动量守恒:,因此不管人的行走速度如何变化,结果是相同的。,设人相对于船的速度为u,船相对于岸的速度为v .,解：,解：以人和车为研究系统，取地面为参照系。水平方向系统动量守恒。,1、,2、,3、,五、碰撞,物体在短时间内发生强相互作用的过程。,碰撞过程的特点：,弹性碰撞：Ek=0 碰撞过程中两物体的机械能（动能）完全没有损失。 非弹性碰撞： Ek0 碰撞过程中两物的机械能（动能）要损失一部分。 完全非弹性碰撞： Ek0 且损失的能量值最大 碰后两物体合为一体，以共同的速度运动。,1）碰撞的分类：,1

14、）各个物体的动量明显改变； 2）系统的总动量(总角动量)守恒。,正碰：若两物体碰撞前的速度在两物的中心连线上。 那么，碰撞时相互作用的力和碰后的速度也 都在这一连线上。（对心碰撞）,斜碰：两物体碰撞前后的速度都不在两物的中心连线上。,碰撞时系统动量守恒,2）恢复系数,完全非弹性碰撞,弹性碰撞,一般的非弹性碰撞,弹性碰撞后两球的速度分别为：,碰撞后两球的速度相等。,碰撞后的速度由实验测定。,3) 证明在一个平面内，两个质量相同的粒子，发生弹性碰撞，碰前一个粒子静止，碰后两个粒子的速度相互垂直。（二维弹性碰撞）,例1 如图是一种测定子弹速度的方法。子弹水平地射入一端固定在弹簧上的木快内，由弹簧压缩

15、的距离求出子弹的速度。已知子弹质量是0.02kg，木块质量是8.98kg。弹簧的劲度系数是100N/m，子弹射人木块后，弹簧被压缩10cm。设木块与平面间的动摩擦系数为0.2，求子弹的速度。,解:由系统动量守恒得：,弹簧压缩后系统的弹性势能:,碰撞后(压缩前)系统的动能:,压缩过程摩擦力的功：,(系统运动速度),由功能原理得:,所以,例2：质量 M 的沙箱，悬挂在线的下端，质量 m速率 的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆至某一高度 h 为止。试从高度 h 计算出子弹的速率 ;在此过程中系统的机械能守恒吗？,解：从子弹以v0 击中沙箱到获得共同速度可看作在平衡位置完成的完全非弹性碰撞。水平方向

16、受外力为0，由动量守恒有,子弹射入沙箱后，只有重力作功，子弹， 沙箱、地球组成的系统机械能守恒。,由于是完全非弹性碰撞，所以，碰撞过程中 机械能不守恒。机械能损失为：,例3 炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度(相对炮车)大小为v，不计炮车与地面之间的摩擦。 试求：炮车的反冲速度V 及炮弹出口后其速度与水平面的夹角。,目录,结束,解：设炮弹相对地面的速度为u,不计地面的摩擦，水平方向动量守恒,u在水平方向的投影为,目录,结束,例4 一质量为m 的球，从质量为M的圆弧形槽中自静止滑下，设圆弧形槽的半径为R（如图）。若所有摩擦都可忽略，求小球刚离开圆弧形槽时，小球和

17、木块的速度各是多少？,解：设m 刚离开圆弧轨道时的速度为 v M 的速度为V .,由题意可知,整个过程系统 机械能守恒.(选地面为零势点),系统水平方向动量守恒;,联立解之得：,例6 一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h19.6m处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离S11000米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，g=9.8m/s2),解：知第一块方向竖直向下,爆炸中系统动量守恒,第二块作斜抛运动,t2=4s t21s(舍去） s2=4000m,x2=5000m,六、火箭飞行原理,火箭是宇宙航行的运载工具，其飞行 原理是

18、质点系动量定理和动量守恒定律 的重要应用。,t 时刻,1) 火箭推力的计算:,设火箭在外层高空飞行，并忽略重力和空气阻力的作用。为计算火箭的推力，考察任一时刻t 到t+dt 之间的元过程。如下图示。,经过dt 时间, 火箭向后喷出质量为-dm 的燃气,在t+dt 时刻, 火箭质量减为(m + dm), 速度增为,则此时燃气对地速度为,设在t 时刻, 火箭的质量为m, 速度为,其喷气速度相对于火箭为,t 时刻,则在 dt 时间内质量为-dm 的燃气动量变化：,由动量定理,可得燃气受到火箭的推力为:,则, 火箭受到的推力为:,（二阶无穷小量可略去）,因此， 火箭受到的推力为正比于喷气速度 u 和喷

19、气质量流量 dm/dt.,2) 火箭速度公式:,化简得:,若设开始时火箭的质量为m0 ，初速度为零； 燃料烧完后（t 时刻）火箭的质量为m，速度为v .则：,(忽略重力和空气阻力, 系统动量守恒),上式表明：火箭每喷出质量为 dm 的气体时，它的速度就增加了dv 。（假定喷气速度 u 不变）,并设各级火箭达到的速度分别为,设各级火箭的质量比为,最后火箭达到的速度为：,火箭的速度正比于 u 和 。但要提高u 和 这两个量目前在技术上还存在一定的困难。因此，一般采用多级火箭技术。,例如：火箭起飞时，从尾部喷出的气体的速度为3000 m/s，每秒喷出的气体质量为600kg。若火箭的质量为 50t。求

20、火箭获得的加速度。,解：已知,注意：,2）方向：,的方向,1）大小:,m,d,一 . 力矩 角动量,1-6 角动量定理、角动量守恒定律,（3）力 的作用线通过o (即与矢径 共线), 此时,如果物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点 这样的称为有心力。,力矩为零的三种情况:,（1）力 等于零；,（2）力的作用点在o点,即 等于零；,角动量（对一定点的）,角动量大小,系统的总角动量,一个动量为p的质点，相对于惯性系中某一 参考点o的角动量定义为：,或：,如质点作圆周运动：,质点作直线运动：,注意： 角动量大小与所选的参考点有关，谈论角动量时 必须指明是对哪个点而言。,解：,例2 角动量为L ，

21、质量为m的人造地球卫星， 在半径为r 的圆轨迹上运行。试求它的机械能。,解：,二、角动量定理,1）角动量定理的微分形式,对一个质点：,质点角动量定理（微分形式）,对多个质点而言： （以两个质点为例）,如图设有质点m1 、 m2,分别受外力,外力矩,内力,内力矩,对质点（1）：,对质点（2）：,两式相加：,令：,质点系所受的合的外力矩,质点系的总角动量,则：,推广到n个质点的质点系：,内力矩,2）角动量定理的积分形式,对上式积分：,时间内,系统的角动量从,质点角动量定理（积分形式）,作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。,例3. 一质量为m的质点以速度 从参考点 平抛出去，用角动量定理求质点

22、所受的重力 对参考点的力矩。,解：,(用力矩公式计算? ),三、角动量守恒定律,若,则：,注意：角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，无论在宏观上还是微观领域中都成立。,例4、哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆 它离太阳最近距离为 r1 =8.751010m 时的速率是 v15.46104ms-1，它离太阳最远时的速率是 v29.08102ms-1, 这时它离太阳的距离 r2 多少? (太阳位于椭圆的一个焦点。),解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力 即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星 在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直.故有,例5 质量为m的小球A，以速度 沿质量为M

23、半径为R的地球表面水平切向向右飞出,（如图）地轴OO与 平行，小球A的轨道与轴OO相交于 3R的C 点，不考虑地球的自转与空气阻力，求小球A在C点 的 与 之间的夹角。,解：以M，m 为研究对象。,系统只受万有引力（保守力），故机械能守恒。因引力是有心力，则小球角动量守恒。以无穷远为势能零点，则：,由（1）式：,由（2）式：,1、运动描述的相对性,车上的人观察,地面上的人观察,一、相对运动 伽利略坐标变换,位置的相对性,其分量式为：,上式称为伽利略位矢变换式,2、伽利略坐标变换式,加速度的相对性,速度的相对性,式中称 为质点相对S系的速度(绝对速度)， 为质点相对 速度（相对速度), 相对S系的速度（牵连速度）,例1.一男孩乘坐一平板车，在平直铁路上匀加速行驶， 其加速度为a，他沿车前进的斜上方抛出一球，设抛球时对车的加速度的影响可以忽略.如果使他不必移动他在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角应为多大？,那么，小球抛出后车的水平位移：,解：设小球相对车的速度为,抛出的方向与竖直方向 的夹角为 。,小车前进的速度为,以地面为S系 以小车为S系,小孩接住球的条件为：x1=x2; y=0,两式相比得：,小球的位移分量：,车的水平位移：,例2: 有人以 的速率向东奔跑, 他感到风 从北方吹来；当他奔跑的