fir数字滤波器的设计

DOWNMAINDOWNUPMAINRETURN引言引言无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的优点是可以用模拟滤波器设计的结果来实现，且可用较少的阶数达到所要求的幅度特性，实时所需的运算次数及存储单元都比较少，十分适用于对相位要求不严格的场合。但图像处理以及数据传输要求信道具有线性相位特性，而有限长冲激响应（FIR）滤波器很容易做成严格的线性相位特性，且HN是有限长的，可用FFT算法来实现过滤信号，从而大大提高效率。主要不足之处其较好的性能是以较高的阶数为代价换来的。（IIR的设计中各种变换对FIR滤波器不适用。）DOWNUPMAINRETURN71线性相移线性相移FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性实际应用中的FIR总是具有线性相位特性的，对非线性的FIR滤波器，一般用IIR滤波器实现（阶数少，运算次数少，存储单元少等）。一、线性相位FIR滤波器条件FIR滤波器的频率响应要使QWARGHEJ满足线性相位，要从恒时延考虑。（HN为实序列）DOWNUPMAINRETURN群延时为所谓恒延时滤波就是要求TPW或TGW是不随W变化的常量。2、相位条件推导有两类准确的线性相位，分别满足要求QWTW，（同时满足恒相延时与恒群延时）QWBTW，（只满足恒群延时）1、恒时延滤波定义滤波器的相延时为DOWNUPMAINRETURN故有0WQW、QWTW图像是经过原点的一条斜线。DOWNUPMAINRETURN式71是使FIR滤波器具有QWTW线性相位的必要且充分条件。可以证明，要使上式成立，必须满足式71DOWNUPMAINRETURNHN以N1/2为轴呈偶对称NN10N1/2HNN为偶数N为奇数NN10N1/2HNHNHN1N称为偶对称序列。要求HN序列以NN1/2为偶对称中心，时间延时TN1/2个抽样周期。（无论N为奇数或偶数都应满足HN以NN1/2轴为偶对称中心。）DOWNUPMAINRETURN式72是使FIR滤波器具有QWBTW（BP/2）线性相位的必要且充分条件。可以证明，要使上式成立，必须满足式72/2/2、QWBTW图像为不过原点的一条斜线按方法做同样推导，得0DOWNUPMAINRETURN要求HN序列以NN1/2为奇对称中心，时延TN1/2个抽样周期。当NN1/2时代入式72HN以N1/2为轴呈奇对称HNHN1N称为奇对称序列。N为偶数NN10N1/2HNN为奇数NN10N1/2HNDOWNUPMAINRETURN直接画网络结构，有N次乘法与N1次加法总体来说，当FIR滤波器的冲激响应HN为偶对称或奇对称时，此滤波器的相位特性是线性的，且群时延恒定N1/2。二、线性相位FIR数字滤波器的网络结构及其频率响应由于HN有奇对称、偶对称以及N为奇数、偶数区别，故分为4种情况讨论。1、偶对称，N为奇数HNHN1N网络结构将其分解DOWNUPMAINRETURN令NN1M将M换成N则由于HNHN1N经化简后的HZ共有N次加法，N1/2次乘法。（可减少约一半乘法器）DOWNUPMAINRETURN图73线性相位FIR滤波器网络结构（直接型）HN为偶对称，N为奇数YNXNZ1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1H0H1H2画出网络结构图DOWNUPMAINRETURN将ZEJ代入，并利用欧拉公式令MN1/2N，则提出因子频率响应DOWNUPMAINRETURN其中与比较幅度函数相位函数将M换成NDOWNUPMAINRETURN20HW20N1可看出当HN为偶对称、N为奇数时由于COSNW对于W0、P、2P皆为偶对称，所以HW对W0、P、2P，也呈偶对称。DOWNUPMAINRETURN直接画出网络结构，有N次乘法与N次加法将M换成N又由于HNHN1N经变化后HZ共有N次加法，N/2次乘法（可减少一半乘法器）2、偶对称，N为偶数，HNHN1N网络结构令NN1MDOWNUPMAINRETURN图74线性相位FIR滤波器网络结构HN为偶对称，N为偶数XNYNZ1H0Z1Z1H1Z1Z1H2Z1Z1Z1Z1DOWNUPMAINRETURN提出因子频率响应并将ZEJ代入，并利用欧拉公式，以及进行变量代换，得与比较幅度函数相位函数DOWNUPMAINRETURN注意这种滤波器不能用于高通与带阻，因为HP0，而以上二者在WP处不为0。20N120HW可看出当HN为偶对称、N为偶数时，HW的特点如下当WP时，COSN1/2P0，故HP0即HZ在Z1处有一零点。由于COSN1/2W对WP奇对称，对W0、2P偶对称，所以HW对WP呈奇对称，对W0、2P呈偶对称DOWNUPMAINRETURN此时3、奇对称，N为奇数HNHN1N网络结构化简方法同偶对称，N为奇数DOWNUPMAINRETURN图75线性相位FIR滤波器网络结构HN为奇对称，N为奇数1111XNYNZ1H0Z1Z1H1Z1Z1H2Z1Z1Z1Z1Z11DOWNUPMAINRETURN进行化简提出因子频率响应幅度函数相位函数注意DOWNUPMAINRETURN注意这种滤波器同样不能用于高通与带阻滤波器。20/220HW可看出当HN为奇对称、N为奇数时，HW的特点如下SINNW在W0，P，2P处都为0，因此HW在W0，P，2P处也都为0，即HZ在Z1处有零点。SINNW在W0、P、2P处都呈奇对称，故HW对W0、P、2P也呈奇对称。DOWNUPMAINRETURN图76线性相位FIR滤波器网络结构HN为奇对称，N为偶数XNYNZ1H0Z1Z1H1Z1Z1H2Z1Z1Z1Z1111114、奇对称，N为偶数HNHN1N网络结构化简方法同偶对称，N为偶数DOWNUPMAINRETURN幅度函数相位函数可看出当HN为奇对称、N为偶数时，H的特点如下SINN1/2W在W0，2P处为0，故HW在W0，2P处也为0，即HZ在Z1处有零点。频率响应DOWNUPMAINRETURN任何一种线性相位FIR滤波器的群时延恒定。20/22PP0HWSINN1/2W在W0、2P处呈奇对称，在WP呈偶对称故HW在W0、2P处呈奇对称，在WP呈偶对称。DOWNUPMAINRETURN则令MN1N，则三、线性相位FIR滤波器的零极点分布在第五章介绍过，FIR滤波器系统函数HZ在Z0处有N1阶极点，在有限Z平面上有N1个零点，那么如果滤波器是线性相位的，则此N1个零点的分布是有规律的。一个线性相位FIR滤波器有HNHN1NDOWNUPMAINRETURN或若ZZI是HZ的零点，即HZI0，则HZI10即Z1/ZIZI1也一定是HZ的零点，由于HN是实序列，所以HZ零点必然以共轭对形式存在，即ZI与ZI1也是HZ的零点结论线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。因而得到DOWNUPMAINRETURN零点ZI既不在实轴上，也不在单位圆上，如图RI1，WI0JIMZZ平面REZ10ZIZIZI1ZI1这四个零点是两组互为倒数的共轭对。因而他们的基本因子为分以下几种情况设零点DOWNUPMAINRETURN其中上式可用线性相位FIR滤波器直接型结构实现N5或化成两个实系数二阶多项式（把共轭对因子相乘）用线性相位FIR滤波器级联型结构实现化简后为XINZ1Z1ABYINZ1Z1ADOWNUPMAINRETURNJIMZZ平面REZ10ZIZI这时零点的共轭值就是它的倒数。因而他们的基本因子为用线性相位FIR滤波器直接型结构实现N3零点ZI在单位圆上，但不在实轴上如图RI1，WI0XINZ1Z12COSWIYINDOWNUPMAINRETURN这时零点为实数，共轭值就是本身。因而他们的基本因子为用线性相位FIR滤波器直接型结构实现N3REZJIMZZ平面10ZIZI1WI0“”号表示零点在负半轴，“”号表示零点在正半轴零点ZI在实轴上，但不在单位圆上如图RI1，WI0或WIDOWNUPMAINRETURNJIMZZ平面REZ101这时零点只能有两种情况，Z1或Z1，因而他们的基本因子为“”号表示零点在Z1处，“”号表示零点在Z1用线性相位FIR滤波器直接型结构实现N2零点ZI既在实轴上，又在单位圆上如图RI1，WI0或WIDOWNUPMAINRETURN线性相位FIR滤波器的零点只能有以上四种情况那么线性相位FIR滤波器的系统函数HZ也可能由以上这四种因子组合而构成。至此，了解了线性相位FIR滤波器的各种特性。在应用时，可根据实际需要选用合适类型的FIR滤波器，同时设计时要遵循有关的约束条件。后续讨论线性相位FIR滤波器的设计方法。DOWNUPMAINRETURN72窗口法（傅氏级数法）窗口法（傅氏级数法）一、设计思路一个理想的低通数字滤波器的频率响应如图所示，它以2P为周期，用傅氏反变换可求得此滤波器的冲激响应。2P|HDEJ|2PPP0WCWCDOWNUPMAINRETURN此冲激响应是无限长，但要求的是有限长冲激响应滤波器，要由HDN得到FIR滤波器的冲激响应HN，最直接的方法就是将HDN截短，即令（假设N为奇数）N0HDNHNDOWNUPMAINRETURN这样便得到了FIR数字滤波器的冲激响应HN，但此滤波器的频率响应HEJ肯定与理想滤波器的频率响应HDEJ有差异。（因为HN与HDN的差异）二、理论分析频率响应HEJ是冲激响应HN的傅氏变换上式相当于将HDN与一矩形窗函数WRN相乘，即DOWNUPMAINRETURN级数求和后利用欧拉公式，得到02P/N2P/NWREJ2PPWREJ在2/N之内为一个主瓣，两侧形成许多衰减振荡的旁瓣。（周期函数）矩形窗函数WRN的傅氏变换为WREJDOWNUPMAINRETURN图中阴影所示面积，即为积分的值，当W变化时，此曲线左右移动，此面积也就发生变化。因而得到频率响应HEJDOWNUPMAINRETURN当W逐渐增大，随着图中不同正负，不同大小的旁瓣移出和移入积分区间，使得HEJW的大小产生波动。几个特殊的频率点当W0时DOWNUPMAINRETURNW继续增大，主瓣开始移出积分区间，因此HEJ迅速下降，进入过渡带。整个主瓣仍在区间内，而面积最大且为负值的旁瓣有一个已完全移出区间，故此时HEJW取最大值约为10895HEJ0，此处称为上臂峰或正肩峰。当WWC2P/N时DOWNUPMAINRETURN即主瓣的中心移到了WC处，此时区间内曲线下的面积近似等于W0时面积的一半，因此HEJWCHEJ0/2当WWC时DOWNUPMAINRETURNW继续增大到P，HEJW随着区间内旁瓣的移动而在阻带内波动整个主瓣完全移出了积分区间，而面积最大的一个负值旁瓣还全部在此积分区间内，因此使得HEJW取最小值，约为00895HEJ0，此处称为下臂峰或负肩峰。当WWC2P/N时DOWNUPMAINRETURN由图可知，加了矩形窗后所到的FIR数字滤波器的频率响应HEJ与理想的频响HDEJ之间产生了差异，表现在HEJ出现了肩峰、过渡带以及通带和阻带内的波动，这就是所谓的吉布斯现象。我们当然希望肩峰和波动尽可能小，过渡带尽可能窄，这样才能更接近理想特件。下图表示了HEJ在W由PP范围内变化的情况P0的情况与0P对称；HEJ以2P为周期DOWNUPMAINRETURN出现的这些差异与哪些出素有关过渡带正负肩峰之间为过渡带，其宽度等于窗函数频谱的主瓣宽度（此过渡带与滤波器真正的过渡带还有一些差别，滤波器真正的过渡带要小一些）对于矩形窗频谱WREJ，此宽度为4/N。因此，过渡带宽度与所选窗函数有关，而对于一定的窗函数，增大N可使过渡带变陡。肩峰及波动这是由窗函数频谱的旁瓣引起的。旁瓣越多，波动就越快，旁瓣相对值越大，波动越厉害，肩峰也越强。不同窗函数的频谱旁瓣情况不向，因此肩峰及波动与所选窗函数有关。长度N的影响长度N的改变只能改变坐标的比例以及窗函数频谱WREJ的绝对大小，不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，因而也就不能改变肩峰和波动的相对大小，也就是说，增大N，只能使通、阻带内振荡加快，振荡幅度却不减小。DOWNUPMAINRETURN因此，窗口法设计FIR滤波器HN长度N可以影响过渡带的宽度，而所选窗函数不仅可以影响过渡带宽度，还能影响肩峰和波动的大小，因此选择窗函数应使其频谱满足主瓣宽度尽可能小，以使过渡带尽可能陡；旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使肩峰和波动减小。但对窗函数的这两个要求总不能兼得，它们是相互制约的。一般来说，若选择的窗函数频谱旁瓣较小，其主瓣就必定较大，因此常常要根据实际需要进行折衷的选择。DOWNUPMAINRETURN因此，我们只需考察WN和WW的表示式即可。由于偶对称，所以相位函数都一样三、几种常用窗函数这里介绍几种常见窗函数，它们的长度均设为N，N可以是奇数或偶数，但WN都是偶对称的。WN的频谱可以表示为DOWNUPMAINRETURN以上为对称中心在N0处的非因果矩形窗其频谱为02P/N2P/NWREJ1WRNN0N1/2N1/2矩形窗前面讨论的矩形窗函数为DOWNUPMAINRETURN1WRNN0N1N1/2WRN对称中心移到了N1/2，这相当于WNN有了TN1/2的延时因此频谱变为02P/N2P/NWR将矩形窗右移主瓣宽度为4/NDOWNUPMAINRETURN1WNN0N1N1/2频谱为当N1时主瓣宽度为8/N三角形窗DOWNUPMAINRETURN1WNN0N1N1/2频谱为当N1时，幅度频谱近似为升余弦窗汉宁HANNING窗DOWNUPMAINRETURN频谱特性如图，由于这三部分频谱的相加，使总频谱的旁瓣大大抵销，从而使能量有效地集中在主瓣内，但其代价是使主瓣与矩形窗主瓣相比加宽了一倍，为8P/NWW04P/N4P/N02P/N2P/N4P/N4P/N05WR025WR2P/N025WR2P/NWDOWNUPMAINRETURN其幅度频谱为当N1时可将99963的能量集中在主瓣内，而主瓣宽度仍与汉宁窗相同8P/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1改进的升余弦窗哈明HAMMING窗对升余弦窗加以改进，可以得到旁瓣更小的效果，窗函数为DOWNUPMAINRETURN汉宁窗A05；对于哈明窗A054。二阶升余弦窗一布莱克曼BLACKMAN窗为了进一步抑制旁瓣，可以对升余弦窗再加一个二次谐波的余弦分量，这样得到窗函数为显然，汉宁窗和哈明窗可以统一表示为DOWNUPMAINRETURN布莱克曼可得到更低的旁瓣，但主瓣宽度加宽到矩形窗的三倍12P/N各种窗函数的比较1WNN0N1N1/2矩形窗三角形哈明汉宁其幅度频谱为DOWNUPMAINRETURN矩形窗函数的傅氏变换（N51）旁瓣峰值衰减13DB主瓣宽度4P/N（书表达不准）理想低通滤波器加窗后的幅度响应，WC05P过渡带18P/N阻带最小衰减21DBA矩形窗参见书P158表71DOWNUPMAINRETURN三角形窗函数的傅氏变换（N51）旁瓣峰值衰减25DB主瓣宽度8P/N理想低通滤波器加窗后的幅度响应，WC05P过渡带42P/N阻带最小衰减25DBB三角形DOWNUPMAINRETURN汉宁窗函数的傅氏变换（N51）旁瓣峰值衰减31DB主瓣宽度8P/N理想低通滤波器加窗后的幅度响应，WC05P过渡带62P/N阻带最小衰减44DBC汉宁窗DOWNUPMAINRETURN哈明窗函数的傅氏变换（N51）旁瓣峰值衰减41DB主瓣宽度8P/N理想低通滤波器加窗后的幅度响应，WC05P过渡带66P/N阻带最小衰减53DBD哈明窗DOWNUPMAINRETURN布莱克曼窗函数的傅氏变换N51旁瓣峰值衰减57DB主瓣宽度12P/N理想低通滤波器加窗后的幅度响应，WC05P过渡带11P/N阻带最小衰减74DBE布莱克曼窗DOWNUPMAINRETURN以上几种窗函数都是以一定的主瓣加宽为代价来换取某种程度的旁瓣抑制。凯塞窗KAISER凯塞窗本身就可以全面地反映主瓣宽度与旁瓣衰减之间的交换关系，它可以通过某一参数的调整在二者之间自由地选择它们的比重（略）DOWNUPMAINRETURN四、设计方法首先给定所要求的频率响应函数HDEJ。其次求其反变换，得到无限长序列HDN。由过渡带及阻带最小衰减的要求，利用表71或表72，选定窗函数WN的形状及N的大小，一般N要通过几次试探而确定。求得所设计的FIR滤波器的单位抽样响应。HNHDNWN求HEJ，检验是否满足设计要求。（如不满足需重新设计）DOWNUPMAINRETURNN0HDN根据HNHDNWN，WN与HN都为0N1，且对称中心为N1/2，所以要求对HDN进行移位，才能得到正确的HN注注意意前面介绍窗函数的理论时的分析，虽然是针对矩形窗，但其基本原则和所得结论对于采用其他窗时也完全适合。只是所涉及的序列都是以N0为对称中心的，即都是非因果的，但实际中，所要求的滤波器都应当是因果的，即要求HN为因果序列0N1。DOWNUPMAINRETURNN0N1/2N1这样将HDN加窗后，WN是偶对称因果序列，所以HN也是偶对称因果序列，对称中心在TN1/2。HEJHWEJQ，HW与对称中心在N0的HDN的频谱一样，但将HDN对称中心移至TN1/2，相当于延时T（N为奇数）DOWNUPMAINRETURN例721设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为WS2P15104RAD/S，通带截止频率为WP2P15103RAD/S，阻带截止频率WST2P3103RAD/S，阻带衰减D2不小于50DB。幅度特性如图01|HJ|ST050DB50DBPC解1求对应的数字频率2设HDEJ为理想线性相位滤波器DOWNUPMAINRETURN理想滤波器截止频率WC为两个肩峰值处频率的中点，所以可近似有WCWPWST/22P225103RAD/S3求HDN直接反变换4由阻带衰减来确定窗形状，由过渡带求ND2不小于50DB，查表71可选哈明窗，其阻带最小衰减53DBDOWNUPMAINRETURN哈明窗过渡带宽为DWWSTWP66P/N04P02P02P，求得N33TN1/2165由WN确定HNDOWNUPMAINRETURN6由HN求HEJ，检验各项指标是否满足要求，如不满足要改变N或改变窗形状重新计算。HEJ图形如下，满足要求。DOWNUPMAINRETURN是全通滤波器，因此一个高通滤波器相当于一个全通滤波器减去一个低通滤波器。注意确定N时只能取奇数。HP0几种常见滤波器得频率响应理想线性相位高通滤波器DOWNUPMAINRETURN一个带通滤波器相当于两个低通滤波器相减，其中一个截止频率为W2，令一个截止频率为W1。当W10、W2WC时，即为理想低通，当W1WC、W2P时，即为理想高通。理想线性相位带通滤波器DOWNUPMAINRETURN理想线性相位带阻滤波器一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器（截止频率为W1）加上一个高通滤波器（截止频率为W2）注意确定N时只能取奇数。HP0DOWNUPMAINRETURN73频率取样设计法频率取样设计法窗口法是以时域为出发点来设计FIR数字滤波器的。频率取样法则是从频域出发，以有限个频率响应抽样，去近似理想的频率响应。FIR滤波器的系统函数HZ可由HK通过一个内插式精确的恢复其中HK即为频率取样DOWNUPMAINRETURN令HKHDK，即以HDK作为实际FIR滤波器的频率响应样值HK，然后通过内插式所求得的HZ和HEJ，就可以逼近理想系统函数HDZ和HDEJ。我们对理想频率响应HDEJ进行取样，即在各频率抽样点上，滤波器的实际频率响应是严格的和理想频率响应数值对应，但是在抽样点之间的频率响应则是由各抽样点的加权内插函数叠加形成，因而有一定的逼近误差。误差的大小取决于理想频响的曲线形状。DOWNUPMAINRETURN02P/NHDEJHEJHK0HEJHDEJ取样点之间理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想，逼近误差越小。反之理想频率响应特性变化越陡，则内插值与逼近误差越大，因而在理想特性不连续点附近就会产生肩峰与波纹DOWNUPMAINRETURN如果我们所设计的FIR滤波器是线性相位的，还必须使取样频响的幅度和相位遵守71节中所讨论的约束条件。对于第一类线性相位FIR滤波器，即HN偶对称，N为奇数HNHN1N幅度函数相位函数令抽样值也用幅值和相角表示HKHKEJK一、线性相位的约束DOWNUPMAINRETURN又因为HW在02P是W的偶函数，且以2P为周期，即有HWHWH2PW那么样值也为偶对称H2PK/NH2P2PK/N，即HKHNK732就是说，当所设计的FIR滤波器的单位取样响应HN为偶对称，且N为奇数时，取样频响HK的相位和幅度应满足式731和式732。所以有DOWNUPMAINRETURN因为HW在02P是W的奇函数，且以2P为周期，即有HWH2PW那么样值也为奇对称H2PK/NH2P2PK/N，即HKHNK（第三类和第四类滤波器以此类推）对于第二类线性相位FIR滤波器，即HN偶对称，N为偶数QK即同样满足DOWNUPMAINRETURNIMZREZ01N1212P/NIMZREZ01N1112P/N二、频率取样的两种方法对HDEJ进行频率抽样，就是在Z平面单位圆上的N个等间隔点上抽取出频率响应值。在单位圆上可以有两种抽样方式，第一种是第一个抽样点在W0处（或在ZEJ01处），第二种是第一个抽样点在WP/N处（或在ZEJ/N处），每种方式可分为N是偶数与N是奇数两种，如图所示DOWNUPMAINRETURNIMZREZ01N1212/N/NIMZREZ01N1112/N/N第一种抽样内插公式第二种抽样内插公式（这里的频率取样法设计与第五章的频率取样结构并不是一回事）第二种DOWNUPMAINRETURN在低通设计中，当不加过渡点时，阻带最小衰减为20DB过渡带宽2P/N0HDEJHKC三、过渡带抽样的优化逼近误差的大小取决于理想频响的曲线形状（是否平滑）为了改善滤波器的特性，可以在频响间断点附近区间内插入一个或几个过渡取样点，从而增加过渡带，减小频带边缘的突变，也就减少了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。DOWNUPMAINRETURN0HDEJHKHC1WC增加两个过渡点时，阻带最小衰减可提高到60DB75DB过渡带宽6P/N0HDEJHKHC1HC2WC增加一个过渡点时，阻带最小衰减可提高到40DB54DB过渡带宽4P/NDOWNUPMAINRETURN0HDEJHKHC1HC2WCHC3一般来说，增加三个过渡点即可满足设计结果，它是以增加过渡带宽度为代价的。有些时候增加一个过渡点不能满足要求，且又不让增加过渡带宽，这时可增加取样点数N，即N越密集，误差越小。但增大N会使滤波器阶次增高，计算量增大。增加三个过渡点时，阻带最小衰减可提高到80DB95DB过渡带宽8P/NDOWNUPMAINRETURN例731利用频率取样法，设计一个线性相位低通FIR数字滤波器，其理想频率特性是矩形的0|HDEJ|HKWC018916K根据指标，可画出取样后的HK序列如图根据HK计算出HEJ，其阻带最小衰减约为20DB过渡带为2