二轮-存在性问题直角三角形

存在性问题-直角三角形例题 1：如图，已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=90，AD=2,AB=4,BC=5,点P 为 AB 边上一动点，连接 PC、PD,若PCD 为直角三角形，则满足条件的点 P 有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个例 2：在直角坐标平面内， O为原点，二次函数的图像经过 A（-1，0）和点 B（0，3） ，yxbc顶点为 P。（1）求二次函数的解析式及点 P 的坐标；（2）如果点 Q 是 x 轴上一点，以点 A、P、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点 Q 的坐标。例 3：如图，抛物线 y= 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与y 轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当 ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E（4，0） ，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式ADCBP1 2 3 4 5 6 70-11-21-31-41xy123456-11-21-31-41AB练习 1：如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板 斜靠在两坐标轴上ABC放在第二象限 ，点 C 的坐标为 点在抛物线 的图象上，过点10， B21yx作 轴，垂足为 ，且 点横坐标为 BDx3（1）求证： ；BOA （2）求 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是以 为直角边的直角三角形？PC A若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由P练习 2.如图，在平面直角坐标系中，直线 123yx交 x轴于点 P，交 y轴于点 A，抛物线 21yxbc的图象过点 (1,0)E，并与直线相交于 A、 B两点.求抛物线的解析式（关系式）；过点 作 C交 x轴于点 C，求点 的坐标；除点 外，在坐标轴上是否存在点 M，使得 AB是直角三角形？若存在，请求出点 M的坐标，若不存在，请说明理由.ABD C O xy(第 25 题图)练习 2. 答案 213yx； 2(,0)3C； 7(0,)9、或 65(,)、或 165,、或 92(,0)7解： 如图，因为一次函数 3yx交 y轴于点 A，所以， Ax，2Ay，即 (0,).又，一次函数交 x轴于点 P，所以，P， 6P，即 (,).由 (0,2)A、 1E是抛物线1yxbc的图象上的点，3202CbC所以，抛物线的解析式是： 213yx如图， ()ABP、 OA 在 RtC中， 22 63O点 的坐标： (,0)设除点 C外，在坐标轴上还存在点 M，使得 MAB是直角三角形 .在 Rt中，若 ABRt，那么 是以 为直径的圆与坐标轴的交点， .若交点在 y上（如图），设 (0,)m，则有， ()Bm点 的 纵 坐 标21173(,)39yxB79m，此时 (0,)M .若交点在 x上（如图），设 (,0)n，此时过 B作 D垂直 x于点 ，则有 AODB:，于是：AOD 17()239n，126565,，此时，65(,0)M或 165(,0) .在 RtAB中，若 MRt，如图，设 (,0)t，同样过 B作 D垂直x于点 D，则在 P中，有 2D7192()(6937tt，此时， ,02M综上所述，除点 C外，在坐标轴上还存在点 ，使得 AB是直角三角形，满足条件的点 的坐标是： 7(0,)9、或 165(,0)、或 165(,0)、或 92(,)7，共四个点.例 3.考点： 二次函数综合题。分析： （1）A、B 点为抛物线与 x 轴交点，令 y=0，解一元二次方程即可求解（2）根据题意求出ACD 中 AC 边上的高，设为 h在坐标平面内，作 AC 的平行线，平行线 之间的距离等于 h根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的 D 点从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线 AC 向上或向下平移而形成因此先求出直线 AC 的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得 D 点坐标注意：这样的平行线有两条，如答图 1 所示（3）本问关键是理解“以 A、 B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个 ”的含义因为过 A、B 点作 x 轴的垂线，其与直线 l 的两个交点均可以与 A、B 点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以 AB 为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与 A、B 点构成直角三角形从而问题得解注意：这样的切线有两条，如答图 2 所示解答： 解：（1）令 y=0，即 =0，解得 x1=4，x 2=2，A、B 点的坐标为 A（ 4，0） 、B（2，0） （2）S ACB = ABOC=9，在 Rt AOC 中，AC= = =5，设ACD 中 AC 边上的高为 h，则有 ACh=9，解得 h= 如答图 1，在坐标平面内作直线平行于 AC，且到 AC 的距离=h= ，这样的直线有2 条，分别是 l1 和 l2，则直线与对称轴 x=1 的两个交点即为所求的点 D设 l1 交 y 轴于 E，过 C 作 CFl 1 于 F，则 CF=h= ，CE= = 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将 A（4，0） ，B（0，3）坐标代入，得到 ，解得 ，直线 AC 解析式为 y= x+3 来源:学.科.网直线 l1 可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位（ 个长度单位）而形成的，直线 l1 的解析式为 y= x+3 = x 则 D1 的纵坐标为 （ 1） = ，D 1（4， ） 同理，直线 AC 向上平移 个长度单位得到 l2，可求得 D2（1， ）综上所述，D 点坐标为：D 1（4， ） ，D 2（1， ） （3）如答图 2，以 AB 为直径作F，圆心为 F过 E 点作F 的切线，这样的切线有 2 条连接 FM，过 M 作 MNx 轴于点 NA（4 ，0） ，B （2，0） ，F（1，0） ，F 半径 FM=FB=3又 FE=5，则在 RtMEF 中，ME= =4，sinMFE= ，cosMFE= 在 Rt FMN 中，MN=MN sinMFE=3 = ，FN=MNcosMFE=3 = ，则 ON= ，M 点坐标为（ ， ）直线 l 过 M（ ， ） ，E（4 ，0） ，设直线 l 的解析式为 y=kx+b，则有，解得 ，所以直线 l 的解析式为 y= x+3同理，可以求得另一条切线的解析式为 y= x3综上所述，直线 l