黑龙江省哈尔滨师大附中2016-2017学年高二(上)期中考试数学理试卷(解析版)

12016-2017 学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1抛物线 x2=2y 的焦点坐标是（ ）A B C （1，0） D （0，1）2设双曲线的焦点在 x 轴上，两条渐近线方程为 y= x，则该双曲线的离心率为（ ）A B1 C D23命题“若 = ，则 tan=1”的逆否命题是（ ）A若 tan1，则 B若 = ，则 tan1C若 ，则 tan1 D若 tan1，则 =4正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BB 1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为（ ）A B C D5过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2+y24y=0 所截得的弦长为（ ）A B2 C D26命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为（ ）A对任意 xR，都有 x20 B不存在 xR，都有 x20C存在 x0R，使得 x020 D存在 x0R，使得 x0207已知抛物线 C：y 2=4x，则该抛物线的准线方程为（ ）Ay= 1 By=1 Cx= 1 Dx=128若椭圆 + =1 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 2，则点 P 到另一个焦点 F2 的距离为（ ）A2 B4 C6 D89已知椭圆 + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，椭圆的右顶点为 A，点 P 在椭圆上，且 PF1x 轴，直线 AP 交 y 轴于点 Q，若 =3 ，则椭圆的离心率等于（ ）A B C D10设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是（ ）A ， B 2，2 C 1，1 D4，411设曲线 C： =1，则“ m3”是“ 曲线 C 为双曲线”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件12已知椭圆 C： + =1 的左右焦点分别为 F1，F 2，则在椭圆 C 上满足F 1PF2= 的点 P 的个数有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D4 个二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13已知三角形 AOB 的顶点的坐标分别是 A（4，0） ，B（0，3） ，O（0，0） ，求三角形 AOB 外接圆的方程14已知棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为正方形，SA底面 ABCD，SA=AB，则异面直线 AC 与SD 所成角为 15过抛物线 y2=8x 焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 中点 M 的横坐标为 4，则|AB|= 16已知命题 p：“直线 l：x y+a=0 与圆 C：（x+1） 2+y2=2 有公共点” ，则 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 个小题，总分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17 （10 分）如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱 CC1 的中点（1）证明：B 1M平面 ABM；（2）求异面直线 A1M 和 C1D1 所成角的余弦值318 （12 分）设椭圆 C： + =1（ab0）过点（ 2，0） ，离心率为 （1）求 C 的方程；（2）过点（1，0）且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求 AB 的中点 M 的坐标19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1底面ABC，AC BC，AC=BC= AA1=2，D 是 AC 的中点（1）求证：B 1C平面 A1BD；（2）求直线 AC 与平面 A1BD 所成角的正弦值20 （12 分）已知抛物线 y2=x 与直线 y=k（x+1）相交于 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2）两点，O 为坐标原点（1）求 y1y2 的值；（2）求证：OAOB21 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90 ，PA底面 ABCD，且 PA=AD=DC= AB=1，M 为 PB 中点（1）证明：CM平面 PAD；（2）求二面角 AMCB 的余弦值422 （12 分）已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F（1，0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1（）求曲线 C 的方程；（）是否存在正数 m，对于过点 M（m ，0）且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由52016-2017 学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1 （2014郑州模拟）抛物线 x2=2y 的焦点坐标是（ ）A B C （1，0） D （0，1）【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】根据抛物线的定义可得，x 2=2py（p0）的焦点坐标（0， ）可直接求解【解答】解：根据抛物线的定义可得，x 2=2y 的焦点坐标（0， ）故选 B【点评】本题主要考查了抛物线的简单的性质，属于基础试题2 （2016 秋南岗区校级期中）设双曲线的焦点在 x 轴上，两条渐近线方程为 y= x，则该双曲线的离心率为（ ）A B1 C D2【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y= x，可得 = ，即 a=2b，可求 c，从而可求双曲线的离心率【解答】解：焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y= x， = ，a=2b，c= b，e= = 故选 C【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的几何量之间的关系，属于基础题3 （2015湘西州校级一模）命题“若 = ，则 tan=1”的逆否命题是（ ）6A若 tan1，则 B若 = ，则 tan1C若 ，则 tan1 D若 tan1，则 =【考点】四种命题【专题】简易逻辑【分析】根据逆否命题的定义即可得到结论【解答】解：命题“若 = ，则 tan=1”的逆否命题是：若 tan1，则 ，故选：A【点评】本题主要考查四种命题之间的关系以及判断，比较基础4 （2010全国卷 ）正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BB 1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为（ ）A B C D【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算【专题】空间角【分析】正方体上下底面中心的连线平行于 BB1，上下底面中心的连线与平面 ACD1 所成角，即为BB1 与平面 ACD1 所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为 O1，O ，设正方体的棱长等于 1，则 O1O 与平面 ACD1 所成角就是 BB1 与平面 ACD1 所成角，即O 1OD1，直角三角形 OO1D1 中，cosO 1OD1= = = ，故选 D【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面ACD1 的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题5 （2009陕西）过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2+y24y=0 所截得的弦长为（ ）7A B2 C D2【考点】直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆 x2+y24y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为 60，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解【解答】解：将圆 x2+y24y=0 的方程可以转化为：x2+（y2） 2=4，即圆的圆心为 A（0，2） ，半径为 R=2，A 到直线 ON 的距离，即弦心距为 1，ON= ，弦长 2 ，故选 D【点评】要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE） 、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解6 （2013重庆）命题 “对任意 xR，都有 x20”的否定为（ ）A对任意 xR，都有 x20 B不存在 xR，都有 x20C存在 x0R，使得 x020 D存在 x0R，使得 x020【考点】命题的否定；全称命题【专题】简易逻辑【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为存在 x0R，使得 x020故选 D【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查7 （2016 秋南岗区校级期中）已知抛物线 C：y 2=4x，则该抛物线的准线方程为（ ）Ay= 1 By=1 Cx= 1 Dx=18【考点】抛物线的简单性质【专题】函数思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线的标准方程可知：焦点在 x 正半轴上， =1，抛物线的准线方程 x= =1【解答】解：由抛物线 C：y 2=4x，焦点在 x 正半轴上， =1，抛物线的准线方程 x= =1，故选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程，抛物线的性质，属于基础题8 （2016 秋南岗区校级期中）若椭圆 + =1 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 2，则点 P 到另一个焦点 F2 的距离为（ ）A2 B4 C6 D8【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的定义即可得出【解答】解：椭圆 + =1，可得 a=4由椭圆的定义可得：2+|PF 2|=2a=8，解得|PF 2|=6，故选：C【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9 （2016 秋南岗区校级期中）已知椭圆 + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，椭圆的右顶点为 A，点 P 在椭圆上，且 PF1x 轴，直线 AP 交 y 轴于点 Q，若 =3 ，则椭圆的离心率等于（ ）A B C D【考点】椭圆的简单性质【专题】数形结合；向量法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由 PF1x 轴，求得 P（c， ） ，由 =3 可知， （a，t）=3（ c， t） ，即可求得a=3c，由离心率公式可知 e= = 9【解答】解：如图，因为 PF1x 轴，A（a，0） ，故 xP=c，y P= ，即 P（ c， ） ，设 Q（0，t） =3 ，（a ，t ）=3（c ， t） ，a=3c，e= =故选 B【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查向量的坐标运算，考查数形结合思想，属于基础题10 （2004山东）设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是（ ）A ， B 2，2 C 1，1 D4，4【考点】抛物线的应用；直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】根据抛物线方程求得 Q 点坐标，设过 Q 点的直线 l 方程与抛物线方程联立消去 y，根据判别式大于等于 0 求得 k 的范围【解答】解：y 2=8x，Q（2 ，0） （Q 为准线与 x 轴的交点） ，设过 Q 点的直线 l 方程为 y=k（x+2） l 与抛物线有公共点，有解，10方程组即 k2x2+（4k 28）x+4k 2=0 有解=（4k 28） 216k40，即 k211 k 1，故选 C【点评】本题主要考查了抛物线的应用涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题11 （2016 秋 南岗区校级期中）设曲线 C： =1，则“ m3”是“曲线 C 为双曲线”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】对应思想；转化法；简易逻辑【分析】根