d8_1多元函数极限连续

推广第八章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意 : 善于类比 , 区别异同多元函数微分法 及其应用 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 一、 区域1. 邻域点集 称为点 P0 的 邻域 .例如 ,在平面上 ,(圆邻域 )在空间中 ,(球邻域 )说明： 若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的 去心邻域 记为目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域 ,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含 .目录 上页 下页 返回 结束 2. 区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的 任一 邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的 内点 ；则称 P 为 E 的 外点 ;则称 P 为 E 的 边界点 .的外点 ,显然 , E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 目录 上页 下页 返回 结束 D(2) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是 内点 ，则称 E 为 开集 ； 若点集 E E , 则称 E 为 闭集 ； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为 闭区域 .则称 D 是 连通的 ; 连通的开集称为 开区域 ,简称 区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的 边界 , 记作 E ;目录 上页 下页 返回 结束 例如， 在平面上开区域闭区域目录 上页 下页 返回 结束 整个平面 点集 是开集，是最大的开域 , 也是最大的闭域 ;但非区域 . 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为 有界域 , 界域 .否则称为 无目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的概念 引例 : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式目录 上页 下页 返回 结束 定义 1. 设非空点集点集 D 称为函数的 定义域 ; 数集称为函数的 值域 .特别地 , 当 n = 2 时 , 有二元函数当 n = 3 时 , 有三元函数映射 称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 二元函数定义域为 圆域说明 : 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面 .的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为 空间中的超曲面 .单位闭球目录 上页 下页 返回 结束 三、多元函数的极限定义 2. 设 n 元函数聚点 ,则称 A 为函数 f (P) (也称为 n 重极限 )二元函数的极限可写作：P0 是 D 的若存在常数 A ,记作都有 f (P) 无限地接近于 A，当点 P 以任意方式趋近于 P0时 ,目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 设则解 : 原式例 2.求 多元函数有与一元函数类似的极限运算法则 .目录 上页 下页 返回 结束 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解 : 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限 .则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于不存在 .例 3. 讨论函数函数目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个累次极限存在,推不出其它二者存在 .注 . 二重极限不同 . 如果它们都存在 , 则三者相等 .例如 , 显然与累次极限但由 例 3 知它在 (0,0)点二重极限不存在 .目录 上页 下页 返回 结束 四、 多元函数的连续性 定义 3 . 设 n 元函数 定义在 D 上 ,如果函数在 D 上 各点处 都连续 , 则称此函数 在 D 上如果存在否则称为 不连续 , 此时称为 间断点 .则称 n 元函数连续 .连续 , 目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 函数在点 (0 , 0) 极限不存在 , 又如 , 函数上间断 .故 ( 0, 0 )为其间断点 .在圆周结论 : 一切多元初等函数在定义区域内连续 .目录 上页 下页 返回 结束 例 4. 证明：在全平面连续 .证 : 为初等函数 , 故连续 .又故函数在全平面连续 .由夹逼准则得目录 上页 下页 返回 结束 解 : 原式例 5.求这一步使用了二元函数 在 (0, 0)点的连续性 .目录 上页 下页 返回 结束 定理 ： 若 f (P) 在有界闭域 D 上连续 , 则在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理 ) (最值定理 ) (介值定理 ) 闭域 上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质 :目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、 偏导数概念及其计算二 、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 定义 1. 在点存在 ,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意 :一、 偏导数定义及其计算法目录 上页 下页 返回 结束 同样可定义对 y 的偏导数若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x则该偏导数称为偏导函数 , 也简称为偏导数 , 记为或 y 偏导数存在 ,目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .偏导数定义为(请自己写出 )目录 上页 下页 返回 结束 例 1 . 求解法 1解法 2在点 (1 , 2) 处的偏导数 .先求后代先代后求目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 设证 :例 3. 求 的偏导数 . 解 :求证目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个例 4. 已知理想气体的状态方程求证 :证 : 说明 :(R 为常数 ) , 不能看作分子与分母的商 !此例表明 ,整体记号 ,目录 上页 下页 返回 结束 二元函数偏导数的几何意义 :是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率 .在点 M0 处的切线斜率 .是曲线对 y 轴的目录 上页 下页 返