信号与系统（陈姿羽）chpt1-303第一到三章复习题

肖靖，武晗，袁志明， 孙荣旭，潘玉林，卢云霞， 梁建和，裴子昂，常云霄， 高尚，杨瑞辰，顾圣基， 陈飞阳，黄学智，林宝金， 陆柏成，姜森，马昆， 李鼎祥，邓晓晓,连续系统,离散系统,系统的描述,输入输出描述法：,N 阶微分方程,系统响应求解,状态空间描述：,N 个一阶微分方程组,时域：,频域：,复频域：,系统的描述,输入输出描述法：,N 阶差分方程,系统响应求解,状态空间描述：,N 个一阶差分方程组,时域：,频域：,Z域：,y(t)=f(t)*h(t),连续信号,离散信号,抽样,时域：信号表达为冲激信号的线性组合,频域：信号表达为正弦信号的线性组合（CFS，CTFT）,复频域：信号表达为复指数的线性组合（单边、双边）,时域：信号表达为脉冲序列的线性组合,频域：信号表达为正弦序列的线性组合（DFS，DTFT）,Z域：信号表达为复指数的线性组合（单边、双边）,信号与系统,Y(jw)=F(jw) H(jw),Y(s)=F(s) H(s),yk=fk*hk,Y(ejW )=F(ejW ) H(ejW ),Y(z)=F(z) H(z),系统分析,信号分析,连续信号 与 离散信号 确定信号 与 随机信号 周期信号 与 非周期信号 能量信号 与 功率信号,信号的分类,直流信号与周期信号都是功率信号。,系统的分类,连续时间系统 与 离散时间系统线性系统 与 非线性系统时不变系统 与 时变系统因果系统 与 非因果系统稳定系统 与 不稳定系统,5,1连续时间系统 与 离散时间系统,连续时间系统：系统的输入激励与输出响应都必须为连续时间信号连续时间系统的数学模型是微分方程式。离散时间系统：系统的输入激励与输出响应都必须为离散时间信号离散时间系统的数学模型是差分方程式。,6,2线性系统 与 非线性系统,线性系统：具有线性特性的系统。线性特性 包括 均匀特性 与 叠加特性 。,1) 均匀特性：,2) 叠加特性：,7,2线性系统 与 非线性系统,具有线性特性的离散时间系统可表示为,其中 ， 为任意常数,非线性系统：不具有线性特性的系统。,线性系统的数学模型是线性微分方程式或线性差分方程式。,8,2线性系统 与 非线性系统,含有初始状态线性系统的定义,连续时间系统,若,则,9,2、零输入线性，系统的零输入响应必须对 所有的初始状态呈现线性特性。,任意线性系统的输出响应都可分解为零输入响应与零状态响应两部分之和,即。,1、具有可分解性,3、零状态线性，系统的零状态响应必须对所有的输入信号呈现线性特性。,因此，判断一个系统是否为线性系统，应从三个方面来判断：,10,3时不变系统 与 时变系统,时不变特性,时不变的连续时间系统表示为,时不变的离散时间系统表示为,线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式或差分方程式描述。,11,4因果系统 与 非因果系统,因果系统：当且仅当输入信号激励系统时才产生系统输出响应的系统。,非因果系统：不具有因果特性的系统称为非因果系统。,12,5稳定系统 与 不稳定系统,稳定系统：指有界输入产生有界输出的系统。BIBO：Bounded Input, Bounded Output,不稳定系统：系统输入有界而输出无界。,连续系统,离散系统,系统的描述,输入输出描述法：,N 阶微分方程,系统响应求解,状态空间描述：,N 个一阶微分方程组,时域：,频域：,复频域：,系统的描述,输入输出描述法：,N 阶差分方程,系统响应求解,状态空间描述：,N 个一阶差分方程组,时域：,频域：,Z域：,y(t)=f(t)*h(t),连续信号,离散信号,抽样,时域：信号表达为冲激信号的线性组合,频域：信号表达为正弦信号的线性组合（CFS，CTFT）,复频域：信号表达为复指数的线性组合（单边、双边）,时域：信号表达为脉冲序列的线性组合,频域：信号表达为正弦序列的线性组合（DFS，DTFT）,Z域：信号表达为复指数的线性组合（单边、双边）,信号与系统,Y(jw)=F(jw) H(jw),Y(s)=F(s) H(s),yk=fk*hk,Y(ejW )=F(ejW ) H(ejW ),Y(z)=F(z) H(z),系统分析,信号分析,19,信号的时域分析,连续时间信号的时域描述连续时间信号的基本运算离散时间信号的时域描述离散时间信号的基本运算确定信号的时域分解,20,连续时间信号的时域描述,典型普通信号直流信号正弦信号 指数类信号抽样信号,奇异信号单位阶跃信号冲激信号斜坡信号冲激偶信号,21,离散时间信号的时域描述,离散时间信号的表示 基本离散时间序列 实指数序列虚指数序列 和 正弦序列复指数序列单位脉冲序列单位阶跃序列矩形序列斜坡序列,22,一、典型普通信号,2. 正弦信号,A: 振幅 w0:角频率 j :初始相位,周期信号,23,3. 指数类信号 实指数信号,一、典型普通信号,24,3. 指数类信号 虚指数信号,周期性：,虚指数信号的基本周期：,Euler公式：,证明过程书20页,一、典型普通信号,25,3. 指数类信号 复指数信号,一、典型普通信号,26,4. 抽样信号,抽样信号具有以下性质：,与Sa(t)信号类似的是sinc(t) 函数，定义,一、典型普通信号,27,5、高斯函数信号（钟形脉冲）：,高斯函数信号，也称高斯脉冲，因其形似悬挂的金钟而称为钟形脉冲. 是当由最大值E下降为0.78E时所占据的时间宽度。,一、典型普通信号,28,二、奇异信号,1. 单位阶跃信号,定义:,在t=0处函数值未定义，或在t=0处规定u(0)=1/2,29,1. 单位阶跃信号,阶跃信号的作用：,(1) 表示任意的方波脉冲信号,f(t) = u(t-T)-u(t-2T),二、奇异信号,30,2. 冲激信号,单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流 i(t) = Cdu(t)/dt可用冲激信号表示。,狄拉克(Dirac)定义：,(t)=0 , t0,(2) 冲激信号的定义,(1) 冲激信号的引出,二、奇异信号,31,2. 冲激信号,(6) 冲激信号的性质, 筛选特性, 取样特性, 展缩特性, 卷积特性,二、奇异信号,32,2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的展缩特性将其化为1/|a|(t+b/a)形式后，方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。,1. 在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是（-，+），但只要积分区间不包括冲激信号(t-t0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。,33,3. 斜坡信号,定义：,二、奇异信号,34,4. 冲激偶信号,冲激偶信号的图形表示,定义：,二、奇异信号,35,4. 冲激偶信号,性质：,(取样特性),(筛选特性),(展缩特性),二、奇异信号,36,二、基本离散时间序列,1实指数序列,37,2虚指数序列 和 正弦序列,利用Euler 公式可以将正弦序列和虚指数序列联系起来，即,二、基本离散时间序列,38,1) f1k = cos(kp/6)2) f2k = cos(k/6)3)对f3(t) = cos6pt,以fs= 8 Hz抽样所得序列,39,3复指数序列,衰减正弦信号,增幅正弦信号,二、基本离散时间序列,40,4单位脉冲序列,定义：,二、基本离散时间序列,41,5单位阶跃序列,定义：,dk与uk的关系:,二、基本离散时间序列,42,6矩形序列,二、基本离散时间序列,43,7斜坡序列,二、基本离散时间序列,45,连续时间信号的基本运算,信号的尺度变换信号的翻转信号的平移信号相加信号相乘信号的微分信号的积分,离散时间信号的基本运算,翻转 ( fk f-k )位移 ( fk fkn )内插与抽取序列相加序列相乘差分与求和离散信号的分解,47,例 已知f(t)的波形如图所示，试画出f(6-2t)的波形。,解：,48,确定信号的时域分解,1信号分解为直流分量与交流分量 2信号分解为奇分量与偶分量之和 3信号分解为实部分量与虚部分量 4连续信号分解为冲激函数的线性组合 5离散序列分解为脉冲序列的线性组合,连续系统,离散系统,系统的描述,输入输出描述法：,N 阶微分方程,系统响应求解,状态空间描述：,N 个一阶微分方程组,时域：,频域：,复频域：,系统的描述,输入输出描述法：,N 阶差分方程,系统响应求解,状态空间描述：,N 个一阶差分方程组,时域：,频域：,Z域：,y(t)=f(t)*h(t),连续信号,离散信号,抽样,时域：信号表达为冲激信号的线性组合,频域：信号表达为正弦信号的线性组合（CFS，CTFT）,复频域：信号表达为复指数的线性组合（单边、双边）,时域：信号表达为脉冲序列的线性组合,频域：信号表达为正弦序列的线性组合（DFS，DTFT）,Z域：信号表达为复指数的线性组合（单边、双边）,信号与系统,Y(jw)=F(jw) H(jw),Y(s)=F(s) H(s),yk=fk*hk,Y(ejW )=F(ejW ) H(ejW ),Y(z)=F(z) H(z),系统分析,信号分析,57,系统的时域分析,线性时不变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质离散时间LTI系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质冲激响应表示的系统特性,58,连续时间LTI系统的响应,经典时域分析方法齐次解求解特解求解 卷积法零输入响应求解零状态响应求解,离散时间LTI系统的响应,迭代法求系统响应经典时域法求系统响应卷积法求系统响应 零输入响应求解零状态响应求解,一、经典时域分析方法,微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成,齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定,特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定,一、经典时域分析方法,齐次解yh(t)的形式,(1) 特征根是不等实根 s1, s2, , sn,(2) 特征根是等实根 s1=s2=sn =s,(3) 特征根是成对共轭复根,62,一、经典时域分析方法,常用激励信号对应的特解形式,二、经典时域分析方法,(1) 特征根是不等实根 r1, r2, , rn,(2) 特征根是等实根 r1=r2=rn,(3) 特征根是成对共轭复根,齐次解的形式,二、经典时域分析方法,常用激励信号对应的特解形式,ak (a不是特征根),ak (a是特征根),暂态响应：指系统完全响应中随时间的增加而很快衰减趋于零的部分。 稳态响应：指系统完全响应中不随时间的增加而衰减的部分。,系统完全响应 = 固有响应 + 强迫响应,系统完全响应 = 暂态响应 + 稳态响应,固有响应：仅依赖于系统本身的特性，而和激励信号的形式无关的部分，也即是齐次解。 强迫响应：由激励信号确定的部分，即是特解。,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。 系统的零状态响应当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应,66,2. 卷积法:,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,求解齐次微分方程得到零输入响应,利用卷积积分可求出零状态响应,67,二、卷积法,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式,再由初始条件确定待定系数。,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法：根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式,再由初始状态确定待定系数。,69,卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路,1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号f(t)激励下系统的零状态响应yf (t) 。,卷积法求解系统零状态响应yf k的思路,1) 将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合 2) 求出单位脉冲序列作用在系统上的响应 单位脉冲响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意序列f k激励下系统的零状态响应yf k 。,71,一、连续系统的冲激响应定义,在系统初始状态为零的条件下，以冲激信号d(t)激励系统所产生的输出响应，称为系统的冲激响应，以符号h(t)表示。,N 阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足,3,72,二、冲激平衡法求系统的单位冲激响应,由于t =0+后, 方程右端为零。故 nm 时,nm 时, 为使方程两边平衡, h(t)应含有冲激及其高阶导数，即,将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定系数Ki ， Aj,4,二、 hk的求解,求解方法:,2) 等效初始条件法,将d k-j对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。,等效初始条件由差分方程和h-1 = h-2 = = h-n = 0 递推求出。,1) 迭代法,一、卷积积分的计算,卷积的定义：,1. 将f(t)和h(t)中的自变量由t改为；,卷积的计算步骤：,2. 把其中一个信号h()翻转得h(-)，再平移t；,3. 将f(t) 与h(t- t)相乘；对乘积后信号的积分。,4. 不断改变平移量t，计算f(t) h(t- t)的积分。,11,二、卷积的性质,1) 交换律 f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) 2) 分配律 ( f1(t) + f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * f3(t) + f2(t) * f3(t) 3) 结合律 ( f1(t) * f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * ( f2(t) * f3(t) ) 4) 平移特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t)则 f1(t - t1) * f2(t - t2) = y(t - t1 - t2) 5) 展缩特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t)则,17,二、卷积的性质,6) 微分特性 已知 y(t) = f(t) * h(t) = h(t) * f(t) 则 y (t) = f (t) * h(t) = h(t) * f(t) 7