八种经典线性规划例题2011年7月29日更新

1线 性 规 划 常 见 题 型 及 解 法由 已 知 条 件 写 出 约 束 条 件 ， 并 作 出 可 行 域 ， 进 而 通 过 平 移 直 线 在 可 行 域 内 求 线 性 目 标 函数 的 最 优 解 是 最 常 见 的 题 型 ， 除 此 之 外 ， 还 有 以 下 六 类 常 见 题 型 。一 、 求 线 性 目 标 函 数 的 取 值 范 围例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 （ ）2xyA、 2,6 B、 2,5 C、 3,6 D、 （ 3,5解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+2y 0， 将l 向 右 上 方 平 移 ， 过 点 A（ 2,0） 时 ， 有 最 小 值2， 过 点 B（ 2,2） 时 ， 有 最 大 值 6， 故 选 A二 、 求 可 行 域 的 面 积例 2、 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 （ 2603xy）A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， ABC 的 面 积 即 为 所 求 ， 由 梯 形 OMBC的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 ， 选 B三 、 求 可 行 域 中 整 点 个 数例 3、 满 足 |x| |y| 2 的 点 （ x， y） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ） 有 （ ）A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个解 ： |x| |y| 2 等 价 于2(0,),()xyxy作 出 可 行 域 如 右 图 ， 是 正 方 形 内 部 （ 包 括 边 界 ） ， 容 易 得 到 整 xyOxyO 22x=2y =2x + y =2BA2x + y 6= 0 = 5xy 3 = 0OyxABCM y =22点 个 数 为 13 个 ， 选 D四 、 求 线 性 目 标 函 数 中 参 数 的 取 值 范 围例 4、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ， 使 z=x+ay(a0)取503xy得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 a 的 值 为 （ ）A、 3 B、 3 C、 1 D、 1解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+ay 0， 要 使 目 标 函 数 z=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的 最 优 解有 无 数 个 ， 则 将 l 向 右 上 方 平 移 后 与 直 线 x+y 5 重 合 ， 故 a=1， 选 D五 、 求 非 线 性 目 标 函 数 的 最 值例 5、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ， 则 z=x2+y2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是 （ 2043xy）A、 13， 1 B、 13， 2 C、 13， D、 ，455解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ,x2+y2 是 点 （ x， y） 到 原 点 的 距 离 的平 方 ， 故 最 大 值 为 点 A（ 2,3） 到 原 点 的 距 离 的 平 方 ， 即|AO|2=13， 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x y 2=0 的 距 离 的 平 方 ，即 为 ， 选 C45六 、 求 约 束 条 件 中 参 数 的 取 值 范 围例 6、 已 知 |2x y m| 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 （ 0,0） 和 （ 1,1） ， 则 m 的 取 值 范 围 是 （ ）A、 （ -3,6） B、 （ 0,6） C、 （ 0,3） D、 （ - 3,3）解 ： |2x y m| 3 等 价 于 230xym O2x y = 0y2x y + 3 = 0x + y = 5x y + 5 = 0Oyxx=32x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxA3由 右 图 可 知 ,故 0 m 3， 选 C3七比值问题当目标函数形如 yazxb时,可把 z 看作是动点 (,)Pxy与定点 (,)Qba连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为 PQ 连线斜率的最值。例 已知变量 x， y 满足约束条件 则 的取值范围是（ ）.x y 2 0，x 1，x y 7 0， ) yx（A） ，6 （B） （， 6，）95 95（C） （，36，） （D）3，6解析 是可