向量组的线性关系

1第十讲 向量组的线性关系一、考试内容与考试要求考试内容向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关考试要求（1）理解 n 维向量的概念；（2）理解向量的线性组合与线性表示的概念；（3）理解向量组线性相关与线性无关的概念；（4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法；注 适合于第十讲和第十一讲二、知识要点引入 学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组 （Axo）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系Axb是什么？线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程） ；矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数；线性相关：方程组 有无穷解时，能否用有限个解表示出来；Axo线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组复习 （1）非齐次方程组 有解的条件：b(),)RAbm其中 =（ ） ，要特别注意 是未知量个数，也是向量组 中向量A2,m 12,m的个数（2）齐次方程组 ， 是向量xo唯 一 零 解无 穷 解 （ 有 非 零 解 ） o1线性组合（线性表示）定义 1 线性组合（线性表示）给定向量 ，如果存在数 ，使关系式成立12,m 12,mk12k2则称 是向量组 的线性组合，或称 可以由向量组 线性表示：12,m 12,m注意 1（1）线性组合（或线性表示）对 没有要求，可以全为零；12,mk（2）零向量可由任一同维的向量组线性表示；（3）判断 是否可由向量组 线性表示转化为求 是否有解，一个12,m Ax具体表示就是 有一个特解Ax（4）表示式可以不惟一，但若 线性无关时，表示式惟一；12,m（5）任一 n 维向量可由同维的单位坐标向量组 线性表示；12,ne（6）向量组 中每个向量都可由自身向量组线性表示：12,m 1100j jjjm 定义 2 向量组的等价向量组（I）： 中每个向量都可由向量组（ II）： 线性表示，12,s 12,t而向量组（II）中每个向量都可由向量组（I ）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I ） （II） :向量组的等价具有 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I） （I ） ；: 对称性：若（I） （II ） ，则（ II） （I） ；: 传递性：若（I） （II ） ， （II） （III） ，则（I） （III） 注意 2记 ， ，则12,sA 12,tB（1）向量组（II）可以由向量组（I ）线性表示的充分必要条件是 (),)RAB这是单个向量 可由向量组 线性表示的推广12,s（2）向量组（I）与向量组（ II）等价的充分必要条件是 ()(,)（3）若向量组（I）： 可由向量组（II ）： 线性12r， ， ， ()s， 21表示，则当 时，向量组（I ）必线性相关；rs（4）若向量组（I）： 可由向量组（II ）： 线性12r， ， ， () s， 213表示，且向量组（I）线性无关，则必有 ；rs这是（3）的逆否命题向量组（I）： 可由向量组（II）： 线性表示，12r， ， ， ()s， 21则必有 ；反之不成立rs线性相关与线性无关定义 3 线性相关与线性无关给定向量组（I）： ，如果存在不全为零的数 ，使12,m 12,mkkko则称向量组（I）是线性相关的，否则称它线性无关例如：由于 =2 +3 ，即 2 +3 - = ，向量组 ， ，2310102310是线性相关的而向量组 ， 与向量组 ， ， 均是线性无关的2311注意 3(1）单位坐标向量组 是线性无关的；12,ne(2）含有零向量的向量组线性相关；(3）单个非零向量线性无关；(4）两个向量线性相关 对应坐标成比例证明如下：(1）单位坐标向量组 是线性无关的12,ne证 由 + + + = ，有 =1k02 nk01o12nk故 = = = =0，故向量组 是线性无关12 n2,ne(2）含有零向量的向量组 ， 线性相关1m o证 1200(3）单个非零向量线性无关4证 设 ，若 ，必有 0，故线性无关okk(4）两个向量线性相关 对应坐标成比例证 设 ，12(,)Tna 12(,)Tnb必要性 由于向量 线性相关，则存在不全为零的数 ，有12,k12ko不妨设 ，则 ，即 ，对应坐标成比例10k121,iikabn充分性 对应坐标成比例， ，即 ， ，,ii ko不全为零， 线性相关1,k,3线性相关、线性无关的性质性质 1 向量组部分相关，则整体相关；向量组整体无关，则部分无关性质 2 记 =( )，则A12,m向量组 12, Axo线 性 无 关 有 唯 一 零 解线 性 相 关 有 非 零 解性质 3 若向量组中的向量的维数小于向量的个数，则向量组线性相关或：向量组中向量的个数大于向量的维数，则向量组线性相关推论： 个 维向量一定线性相关n性质 4向量组 12,m 线 性 相 关 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余 向 量 线 性 表 示线 性 无 关 每 一 个 向 量 都 不 能 由 其 余 向 量 线 性 表 示应注意向量组 线性相关，则 中至少有一个向量可由其余向12, 12,m量线性表示，但不是每一个向量都可由其余向量线性表示性质 5 设向量组（I ）： 线性无关，而向量组（II ）：12,线性相关，则向量 能由向量组（I）线性表示，且表示式是惟一的12,m 性质 6 向量组 12,m 线 性 无 关 ， 则 添 维 数 仍 线 性 无 关线 性 相 关 ， 则 减 维 数 仍 线 性 相 关学习这些性质应该采取对上述每一点都可先用简单的例题予与理解，然后再证明下面以性质 1、性质 4 和性质 6 为例具体说明5例 判断向量组 ， ， ， 的线性相关性？10234由于 =2 +3 ，即 2 +3 - = ，故 ， ， 是线性相231011023关，则由性质（1）知向量组 ， ， ， 整体相关这由 2 +3 -03401+0 = 即可简单的证明2340向量组 ， ， ， 是线性相关的也可由上述性质 3 看出，因为维数是102342，向量个数是 4，所以线性相关对性质 4 的理解：由于 0 +0 +1 = ，故向量组 ， ， 线性1010相关， =0 +0 ， 和 都不能由其它两个向量线性表示011对性质 6 的理解：向量组 ， 线性无关，添维数后 ， 仍线性无关；010， 线性相关，减维数后 ， 仍线性相关。12124性质的证明性质 1 证明： 部分相关，在向量组在 中，不妨设12,sm 线性相关，则存在一组不全为零的 数 ，有2,s 12,mk12skko即 10ssmo 不全为零，故向量组整体相关1,0,sk 反证法：设部分相关，在向量组 中，不妨设 线性12,sm 12,s相关，由知整体相关，与假设矛盾6性质 2 证明 由 得：Axo12mxo当 有惟一零解时， 线性无关12(,)Tmx 12,sm 当 有非零解时， 线性相关x s 可总结为：n 维向量组 12,m 0,AnmR()=线 性 无 关 线 性 相 关简单记忆为： 等于向量组中向量的个数 ，向量组线性无关； 小于向量()RA ()RA组中向量的个数，向量组线性相关性质 3 证明 若向量组 中的向量的维数 小于向量的个数，记12,m n(,)由于 ， = ，由性质 2 知 组()min,RA12mR ()RA12,m线性相关，得证性质 4 证明 必要性：只需证明上半部分，下半部分用反证法可得向量组 线性相关，故存在不全为零的数 ，使12,m 12,mk12mkko不妨设 ，则 10k12()充分性 不妨设 ，即11mm o不全为零，向量组 线性相关121,m 12,m性质 5 证明：记 =( )， = ，则A12, B12(,)m（I）组是（ II）组的部分） ，因为（I）组线性无关，由性质 2 知()RAB因为（II）组线性相关，有 ，故 ，即 ()1RBm()1RB()RB7， 有惟一解，故向量 能由向量组（I）惟一线性表()(,)RABmAx示性质 6 证明略 注意 4虽然涉及线性相关与线性无关的证明题多，但解题的方法往往局限在三种：一是用线性相关与线性无关的定义；二是用与齐次方程组 有惟一零解或非零解的关系；三是Axo用秩的性质进行求解其中线性相（无）关与 的解之间的关系为： Axon 维向量组 12,m 0,Amn R()=线 性 无 关 :x=有 唯 一 零 解 线 性 相 关 ： o有 非 零 解上式也是这部分内容的核心和重点，学生应该理解透彻细心分析例题 10.7，用了这三种方法，也代表了这一部分内容的常用解题方法补充性质几个要用的结论，可作为补充性质：（1）设向量组 能由向量组 线性表示，简记为 ，其12,r 12,s AKB中 K 为 矩阵，若 线性无关，则 线性无关的充要条件是rs,s ,r， （即 为向量组 中的向量个数）.R)()12,r或设 若 则,rnrsnBA)(sAR).(BRK证明见例 11.11 和第七讲中秩的补充性质（1） ，也就是说可以从两个不同角度进行证明（2）任一 n 维向量均可由一组 n 维的线性无关向量组 线性表示.12,n证明见例 10.14也就是说任一 维向量不但可以由 维单位向量组线性表示，还可以由一组 维的线性无关向量组 线性表示12,n（3） 维单位向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件ne 12,m是 .12(,)mR由（2）可直接得到结论（4）当 为 阶方阵时，矩阵方程 有解充分必要条件是 可逆（即AnnAXEA8） ()RAn由（3）可直接得到（4） （5）当 为 矩阵，矩阵方程 有解充分必要条件是 ，即若mnAXE()RAn= 的行数（行满秩） ()二、基础训练例 10.1 （数四，97，3 分）判断向量组 = ， = ， = 的线性相关123012性解 存在数 ，使得 321,k123ko由于 = =0 0即 有非零解，故 线性相关123kko123,例 10.2 当 k = _时, 向量 = (1, k, 5)能由向量 线性表12(,)(,1)示.解 可由 线性表示，即 = ，考察行列式12, 12(,)R12(,)305k得 k =8. 当 k =8 时, 三个向量的行列式为 0, 于是 线性相关. 显然 线性21,21,无关, 所以 可用 线性表示. 21例 10.3 设有三维向量 , , , ，问 k 取何值时，1k21322（1） 可由 线性表示, 且表达式惟一; （2） 可由 线性表示, 但表123,123,达式不惟一;（3） 不能由 线性表示.123,9解 )1(221kkk（1） 时, 线性无关, 而四个三维向量一定线性相关（ n+1 个 n0k且 123维向量一定线性有关）, 所以可由 线性表示, 由性质 5 知表达式惟一；（2）当 k = 1 时？12:100系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为 2. 所以可由 线性表示, 但表示不惟一;123,（3）当 时0k102:012:1010系数矩阵的秩等于 2, 增广矩阵的秩为 3, 所以不能由 线性表示.123,例 10.4 设向量组 线性相关，向量组 线性无关，证明：（1） 能123,4 1由 线性表示；（2） 不能由 线性表示3,4123,证 （1） 方法 1 向量组 线性无关，则 线性无关（性质 1） ，而423,线性相关，由性质 5 知 能由 线性表示23, 123,方法 2 由向量组 线性相关知，故存在不全为零的数 ，使123,123,k23kko其中 因为若 ，则 不全为零，使 ，于是有 线10k10,23ko23,性相关，从而 线性相关（性质 1） ，这与已知矛盾，故 于是有234,10=3121k23l10即 能由 线性表示123,（2）反证法： 能由 线性表示，而由（1）问知 能由 线性表示，423,123,故 能由 线性表示，由性质 4 知， 线性相关，与题设向量组 线43, 234,4,性无关矛盾例 10.5 设 , 则 t = )031(),35,0(),1(),0,2( 4321 t_时, 线性相关.34解 考察行列式 423504235104203511 tttt. 0660tt所以对任何 t, 线性相关. 1234,例 10.15 设 1, 2, 3, , 均为 4 维向量, A = (1, 2, 3, ), B = (1, 2, 3, ), 且|A| = 2, |B| = 3, 则| A3B| = _.解 利用行列式性质，有=123|,1238,= =8(123,)(|)56AB例 10.16 （数一，05，4 分） 设 3 阶矩阵 ， ，且A12312123,4,9B求 解 方法 1 利用行列式性质对列向量组化简得= 123123123,= =523,= = =2 =212323,123,1方法 2 将 写成用 右乘另一矩阵的形式，再进行计算BA 123123123,4,911=1231,49于是有 = =2 B12A例 10.6 判断 是否线性相关.123(,3)(,)(1,)TTT解 本题用三种方法来求解方法 1 定义法。即如果存在不全为零的数 ，使 ，则123,k123kko向量组 线性相关，否则线性无关23,设存在一组数 ，使得 ，即123,k123kko1230故 1230k因为此方程组只有零解，故 线性无关.123,方法 2 利用矩阵的秩来判断，设相应的矩阵 ，当 时，123(,)A()3RA线性无关，当 时， 线性相关13,()RA123,对矩阵 施行初等行变换变成行阶梯矩阵，得123(,=123(,)A213r:048232r:104可见 =向量的个数，()R13,.知 向 量 组 线 性 无 关方法 3 利用行列式法来判断，因为相应的矩阵 为 3 阶方阵，则有当 时，向A0A量组线性相关，当 时，向量组线性无关.0A12矩阵 的行列式为123(,)A32213 104041608rr所以向量组 线性无关.123,例 10.7 已知向量组 线性无关，123,， ， ，试证向量组 线性无关122331123,证 方法 1 定义法。设存在数 ，使得2,k12331()()()k o3122kk因为 线性无关，所以系数全为零，有123,1320k其系数行列式 102所以上述方程只有零解， ，因此向量组 线性无关1230k123,方法 2 利用齐次线性方程组的解进行判断由已知有：=123(,)123(,)10记 ，要证明 只有零解BAKBxo将 代入 中，得， 即 ()AKxo由于 线性无关， 只有零解，得 ，又因为 ，知123,xo20K只有零解 ，即 只有零解，向量组 线性无关KxoxoB123,13方法 3 利用矩阵的秩来证明令， ，122331则 =123(,)123(,)0由于 可逆，由秩的性质 4 知， = =3，所以01123(,)R123(,)线性无关123,方法 4 利用向量组的等价性证明由于 ， ， （10.1）122331即向量组 可以由向量组 线性表示3, 21,将 的表达式相加，得21,=123123()有 = =123()23()类似地由（10.1）式得 1232213231()()即向量组 可以由向量组 线性表示，因此 与 等321,321,321,321,价，从而 = =3，所以 即 ， ， 线()R123(,)123,性无关方法 4 也可这样求解：由于 = ，简记为 ，123(,)123(,)01BAK由于 ， ，即向量组 与 可相互线性表示，因此20K1ABK321,321,14与 等价。后面的解法与方法 4 雷同。但应注意这里能这样求解是因为321,321,可逆。K这道题用了常见的解题方法，读者应细心体会这道题可进一步推广为下一题例 10.8 设向量组 的秩为 ，证明向量组 ，12,m (1)r123m, , 的秩为也为 213m 3 r解 可由上题的方法 3 和 4 证明学生自己证明例 10.9 设矩阵 ,证明: 的充分必要条件是矩阵 的snijnmijbBaA)(,)( OABB每一列向量都是齐次方程组 的解.xo证 将 B 按列分块 ,并由分块矩阵的乘法有),(21s ),(, 21ss AA必要性 由于 ,即O12(,)sO从而 1,sAoAo故 为齐次方程组 的解.12,s x充分性 由于 为齐次方程组 的解，所以有 12,s x12,sAoAo即 ()sO而 ，故 ),(21sABB例 10.10 设矩阵 为 矩阵, 为 n 阶矩阵.已知 ,试证:(1) 若Am()RAn,则 ；(2) 若 ,则 .OE证 (1) 将矩阵 按列分块 ),(21n因为 12(,)nBO则 1AoAo即 是齐次方程组 来说，由于 ,所以 只有零解.n,21 x()RAnox因而 12n15所以 .OBn),(21(2) 由 得A()E利用(1)的结论知 即 .,BO例 10.11（数一，03，4 分）若向量组 I： 可由向量组 II：12r， ， ， )(t线性表示，则（ ）s， 21(A) 当 时，向量组 II 必线性相关 (B) 当 时，向量组 II 必线性相关rrs(C) 当 时，向量组 I 必线性相关 (D) 当 时，向量组 I 必线性相关解 (D)正确