周建方版材料力学习题解答第十章

110-1 题 10-1 图所示木制短柱的四角用四个 40mm 40mm 4mm 的等边角钢加固。已知角钢的许用应力 ；木材的许用应力GPaEMa20,160钢钢。试求许可载荷。Pa,2木木解：由静力平衡条件：（1）F钢木变形协调条件： （2） 钢钢 钢木木 木 lEl2065.2.50mA木2410.344钢代入（2）式可得（3） 题 10-1 图钢钢木 FF57.106.20149由于： kNA.木木木 4.9146钢钢钢从（3）是可知，当角钢达到一定的许用载荷时（194.4kN） ，而木材未达到2.57 194.4kN=499.6kN 的许用载荷kNF694.157.21木钢10-2 受予拉力 10kN 拉紧的缆索如题 10-2 图所示。若在 C 点再作用向下的载荷 15kN，并设缆索不能承受压力，试求在 和 两种情况下，AC 和 BC 两段内的内力。5lh4l解：已知预拉力 ，图 a 所示，再在 C 处加 F=15kN 载荷，缆索中所产生的轴力kNFy10如图所示，然后叠加起来。平衡条件： （1）NBA变形协调条件： （2） 0Cl即 （3）EhFNANB由 1)、3) 式得 FllNANB,于是缆索 AC,BC 所受轴力分别为 题 10-2 图2（4）FlhFyNByNBC（5）AA当 时lh5102 kNlYCN由于缆索不能承受压力，所以 即 代入（1） 式 ACFkA则kNB5kNFByNBC5当 时 lh54 klhyNAC 710FB 25410-3 在题 10-3 图所示结构中，设横梁 AB 的变形可以忽略，杆 1、2 的横截面面积相等，材料相同。试求杆 1、2 的内力。题 10-3 图解：由静力平衡条件 （1）0AMaFaFNN3cos21 变形协调条件 （2）al2cos1物理方程 （3）EAlFlEAlFl NNcos,21联立（1） 、 （2）和（3）式解得 ： 1cos46,1s433221 FNN10-1 题 10-1 图所示木制短柱的四角用四个 40mm 40mm 4mm 的等边角钢加固。已知角钢的许用应力 ；木材的许用应力GPaEMa20,160钢钢。试求许可载荷。Pa,2木木解：由静力平衡条件：（1）F钢木变形协调条件： （2） 钢钢 钢木木 木 lEl32065.2.50mA木2410.344钢代入（2）式可得（3） 题 10-1 图钢钢木 FF57.106.20149由于： kNA.木木木 4.9146钢钢钢从（3）是可知，当角钢达到一定的许用载荷时（194.4kN） ，而木材未达到2.57 194.4kN=499.6kN 的许用载荷kNF694.157.21木钢10-3 在题 10-3 图所示结构中，设横梁 AB 的变形可以忽略，杆 1、2 的横截面面积相等，材料相同。试求杆 1、2 的内力。题 10-3 图解：由静力平衡条件 （1）0AMaFaFNN3cos21 变形协调条件 （2）al2cos1物理方程 （3）EAlFlEAlFl NNcos,21联立（1） 、 （2）和（3）式解得 ： 1cos46,1s433221 FNN10-4 题 10-4 图所示刚杆 AB 悬挂于 1、2 两杆上，杆 1 的横截面面积为 60mm2，杆 2 为120 mm2，且两杆材料相同。若 F=6 kN，试求两杆的轴力及支座 A 的反力。4题 10-4 图解：静力平衡条件 ： （1）0AM321FN变形协调条件： （2）221l物理方程： （3）EAlFlEAFl NN2211,而 mtglmtgl 4,321联立（1） 、 （2）和（3）解得 kNKN2.7,6.31A 支座反力： （向下）kFFNAY842110-5 在题 10-5 图所示杆系中，沿对角线 AC 的杆 6 比名义长度略短，误差为 。诸杆的抗拉（压）刚度都是 EA。试求诸杆的内力。题 10-5 图解： 解除 6 号杆，用轴力 代替，并分别作用于 A,C 两点。如图 b 所示。则在 作6NF 6NF用下。A、C 两点间的位移计算如下：由莫尔定理，在 A、C 两点沿 AC 方向加以单位力 F0=1。由静力平衡条件分别计算出在 FN6 和 F0 单独作用下各杆的内力如下表：杆件编号 FNi FN0i li FNi FN0i li1 2/6N/2/6N2 ll53 2/6NF/l2/6lFN45 6N1 l2lN62F)(则有： （1）lFEAlFNiiNCA 65102由于杆 6 略短 ，则变形协调条件： （2）6lC（3）EAlFllN266将（1） 、 （3）式代入（2）式得： lEAlN 208.216所以： llEAFFNN 146.4321 lEA08.6510-6 题 10-6 图所示刚架梁由三根钢杆支承，钢杆的横截面面积均为 2cm2，材料的弹性模量 E=210GPa，其中一杆的长度短了 。在按下述两种情况装配后，试求各杆105l横截面上的应力。 （1）短杆在中间（题 10-6 图 a） ；（2）短杆在一侧（题 10-6 图 b） 。题 10-6 图 a题 10-6a 解：当装配后，杆 1、3 受压，杆 2 受拉，则由图知，其变形协调条件：（1）l6物理方程： （2）EAlFllEAFl NN231,将（2）式代入（1）式得， ，即： l21 lEAN21（3）由静力平衡条件： ， 即 321NNF 12NF（4）解得 ： lEAlEAF,21则： 压 ）(3510053913 MPalllN拉 ）(722MPalEAF题 10-6 图 b题 10-6b 解： 设装配后，各杆及横梁的位置如图变形协调条件： 即： （1） 312ll 231ll根据横梁的静力平衡条件： 、 （2）032NNF03aFN变形物理方程： （3）EAlllEAFl 321,将（3）代入（1）式 ，得： （4） lFNN231联立（2） 、 （4）式，得： llF6,37各杆的装配应力 MPalE7.16133210-7 题 10-7 图所示结构的两杆同为钢杆，横截面面积同为 A=10cm2，E=200GPa，线膨涨系数 / 。若杆 BC 的温度降低 20 ，而杆 BD 的温度不变，试求两杆6105.2CC0的应力。B题 10-7 图解：BC 杆内力为 FN1，BD 杆内力为 FN2， 变形后 B 点到 B则 （1）EAltllN11而 （2）llN22变形协调条件： （3）30cos21l将（1） 、(2)代入（3）得： （4）0cos21EAlFltlN几何条件 ， （5）l2 31ll静力平衡条件 （6）0cos1NF将（5） 、 （6）代入（4）式解得： kNFkN2.,.18则 BC 杆应力： )(3.01压MPaAFNBCBD 杆应力： BD2.610-8 阶梯形钢杆的两端在 5 时被固定，如题 10-8 图所示，杆件上、下两段的横截面面0积分别是 A 上 =5cm2，A 下 =10cm2。钢材的 / ，E=200GPa。当温度升高6105.2C至 25 时，试求杆内各部分的温度应力。C0解： 当阶梯杆处于自由状态时，其温度变化引起的伸长为 tltlt 2下上设杆内的内力（压力）为 NF则由于 使杆缩短为：NF下 下上 上 EAlFlN11协调条件： 0lt即 211下 下上 上 EAFaNKtFN3.下上 下上 （ 压 ）上上 MPaA7.61053.题 10-8 图（ 压 ）下下 FN3610-9 组合柱由钢和铸铁制成（题 10-9 图） ，其横截面是边长为 2b 的正方形，钢和铸铁各占一半 。载荷 F 通过刚性板加到组合柱上。已知钢弹性模量为 E1=196GPa，铸铁)2(b的弹性模量为 E2=98GPa。今欲使刚性板保持水平位置，试求加力点的位置 x 为多少？9刚 性 板钢 铸 铁题 10-9 图解： 如图所示，由平衡条件得： （1）FN21物理方程 ： AEllAElFlN21,为使钢性板保持水平，则：（2）2121,lN即联立（1） 、 （2）得： 21221,EFEFNN根据对截面形心 C 的力矩平衡方程xbbFN21bEFx 65)2(2121 10-10 题 10-10 图所示结构中，杆 AC 为铝材，A 1=200mm2，E 1=70GPa， /6102，杆 DB 为不锈钢，A 2=80mm2，E 2=190GPa， / 。两杆间在室温 20C0 6208C下的间隙为 0.5mm，然后升温达到 140 。试求铝杆横截面上的正应力以及铝杆的最C0终长度。10题 10-10 图解： (1)判断 C、D 两面是否会接触mtltl5.01476. 25.014083.223 6 所以 C、D 两面温升后会接触(2)AC,DB 杆由温度升高而引起的伸长分别为 （在自由状态下）21ttl和mtllt 3611 096.30402 t2 548设变形后，AC 杆内的轴力为 ，BD 杆内的轴力为1NF2NF由平衡条件： = （1）1N2， 分别使 AC,DB 杆缩短1NF2 21l和变形协调条件 （2）32105.lltt而 2211,AEFlAEl NN联立（1） 、 （2）和（3）得 K768.51MPaFN84.1 mAEll 369311 1052.10270.6.5铝杆长： llt 84.31210-11 如题 10-11 图所示，铜环加热 时恰好套在 的钢轴上。钢轴在受铜环的压C0602力作用所引起的变形可略去不计。已知：钢的 E1=200GPa， ；铜的C071/511E2=200GPa， 。试问：铜环冷却到 时，环内应力有多大？C072/16C02铜环与钢轴一起冷却到 时，环内应力有多大？铜环与钢轴一起加热到什么温度时，环内应力为零？解：（1）由于钢轴可认为是刚性的，所以铜环的内径不变，即铜环的环向应变为零。 02tFNtdttN 222铜环的环向应力为MPatENF641041063722（2） 环于钢轴的径向应变均为 t铜环由 600C 冷却到 00C 时，内径的改变量为题 10-11 图ddt6229铜轴由 200C 冷却 00C 时，直径的改变量为t61105铜环的环向应变为： 6127d铜环内的应力为： MPaE7100632 （3） 与轴一起加热到 时环向应力为 0，即：21dtt2160TCT1236010-12 轴 AB 和 CD 在 B 处用法兰连接，在 A、 D 二处为固定约束，受力及尺寸如题 10-12图所示，材料的 G=80GPa。试求轴 AB 和 CD 中的最大切应力和最大拉应力钢 轴 1铜 环 212题 10-12 图解：设 AB、CD 轴内的扭矩分别 。则有：21,T(1)T21根据变形协调条件，AB 和 CD 段的转角相等(2)21pCDpABGIlIl由（1） 、 （2）得 ,5.42T mkNTmkN7.0,3.21MPadWTpMAX 760.31631 pMAX .15.433222 对 AB 轴上外圆面上一点的最大拉应力为：MPaxyxyx 762max12ma1 同理 MPa7.3ax210-13 设圆轴具有 A、B 两个凸缘（题 10-13 图） ，在扭转力偶矩 Mx 作用下发生了变形，这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除 Mx。设轴和筒的抗扭刚度分别是和 ，试求轴内和筒内的扭矩。1pIG2p13题 10-13 图解：设轴在扭转力偶 作用下的转角为 ，则有：xM（1）1pIGl设轴和筒内的扭矩分别为 ，当轴与筒焊接以后，解除 后，由平衡条件：2,TxM（2）1又因为轴与筒的转角分别为 。变形协调条件：2,21221pIGlTl联立（1） 、 （2）和（3）得： 2121ppxIMT10-14 在题 10-14 图所示平面桁架中，所有杆件的 E 皆相同， CA、AB、BD 三杆的横截面面积为 3000mm2，其余各杆的面积均为 1500mm2。l=6m，F =130kN。试求 AB 杆的轴力。题 10-14 图解：由静力平衡条件，外力为平衡力系： 3,21FFCYDY内力为一次静不定，静定基如图 b 所示,解除 AB 杆，用 X1 内力代替，在 F 和 X1 共同作用下，杆 1 的切口处左右两侧沿 X1 方向的相对位移为零，于是正则方程为 011FX由桁架各节点的平衡条件，求出各杆在 F 力作用下的轴力 ，由图 c,求出单位力 Ni 1X作用下，各杆的轴力 （利用对称性 ,从中间切开，再用 可解iNF0 076N0cM之）其数值如下；FNi FN0i li FNi FN0i li FN0i FN0i li141 0 1 l 0 l2 3/2F0 20 03 0 l0 04 /1 3/Fll5 F 1 l6 3/2223/24ll27 lF8 /4F1 /ll9 320 l20 010 /0 0 0应用单位载荷法 28732381201 EAFllEAFliNF其中 25m245.324101 lliN则: KNFFX 7.86.0245.3871 10-15 车床夹具如图 10-37 所示，EI 已知。试求夹具 A 截面上的弯矩。题 10-15 图解:取半圆为静定基，如图 b，多余未知力为 X1, X2,正则方程为：15022121FX（1） 求 21,MFcos3sin260sinRR1,co1（2） 计算 和EIRdEIRdMEI 23cos032011 210220112 1 IIIERdE022MIFF131EIFRdEIR 33 407.2cos1sin2dIFF2321EIFREIR23 5.1cossin（3） 求 21,X将 代入正则方程，得,EIFRXIEIR2212 3235.407.解得: FX09.,574.021 10-16 题 10-16 图所示刚架几何上以 G 为对称中心。试证明截面 C 上的轴力及剪力皆等于16零。题 10-16 图解： 设钢架 A 端为固定端， B 为固定端，为三次静不定机构解除 A 约束，正则方程 013121 FXx22 33231x分别画出在 作用下的弯矩图 c,d,e,f1,1,2XFabEIaaEI 231 IbbI 94222 aEIaE113 bIbI 232221 aEIaEI 131 bIbbI 221232 EIaqqaaEIF31 32 IbIbbIF 23222 417EIbqabqaEIF 23233 4141带入正则方程 02232438 312 baqXbaXba 43321 ba0222 bqaba解之得? (负号表示与图示假设方向相反 )baqX34022110-17 如题 10-17 图所示结构中， AB 为刚体，、杆刚度相同。已知 F=50kN，试求各杆的轴力。题 10-17 图解:一次静不定结构，在 F 力作用下，杆缩短，受压力， 杆伸长，受拉力，受力图 c则平衡方程： 0AM（1）0245sin21 lllNN几何方程： 12 ,CBl （2）1l18物理方程： （3）EAlFllEAlFll NNNN 222111,2联立（1） 、 （2）和（3）式得 kkNN 9.45281,49.12821 10-18 图示两悬臂梁 与 通过 杆连接，两梁 相同， 杆截面积为 ，弹性ABCDEIBCA横量为 ，试求 杆所受的力。E题 10-18 图解： 设拉杆 CB 受力为 FN， AB 梁在 B 的挠度 EIlFIlqN3284拉杆 CB 的伸长： EAlN梁 CD 在 C 点的挠度： IlFC3变形协调条件： B即： EAlFIlIlFEIlqNN32844解得： 213AaIlN10-19 已知梁 的 为常数， 处有一弹簧支承（图 10-41） ，弹簧刚度 ，BCE 3aEIk试求：1） 处约束反力；2） 。A19题 10-19 图解：（1）取图 c 静定基，则其正则方程为（1）kXF11作 MF,， M1 弯矩图如图 d、 f 所示则： EIllEI322 EIqllqllIF 4221 7)314( 代入（1）式得： qlEIlkXF2432711(2)在 A 处加以单位力偶 M0=1,其弯矩图如图 h 所示，则： 1247321lqlqEI（逆时针）Il14510-20 试作题 10-20 图连续梁的弯矩图。 20题 10-20 图解：用三弯矩方程解此题，将 A,B,C 按 0，1，2 编号，则 ,0M2ql(1) 作静定基弯矩图，b)求 ，a ， b 得lbllaqllql 232131131 ,4,4,2,4 (2) 列 n=1 的三弯矩方程，得16 253328 331qlMqlllll (3) 作连续梁弯矩图 c)作支座弯矩 M1 和 M2，如图 c 中虚线，将它与图 b 叠加，在 BC 段有极值，取 BC 段研究其平衡，得 B 点支反力 ,因此，距 B 支座为 处，F Q=0317qlFBy3217l22max6lll220795.481qll10-21 求题 10-21 图所示等截面刚架的约束反力，并作弯矩图。21题 10-21a 图题 10-21a 解：（1）以 X1 为多余未知力，静定基如图 b 所示，分别作出 X1=1 和力 F 单独作用下的弯矩图，如图所示。(1)计算 ，用图乘法F1,EIllEI34)2(1IFllIF)(1(2)求 X1由 得0F831FlMAxAAy ,(3)作弯距图22831FlMXB85FllA 题 10-21b 图题 10-21b 解： 以 B、C 处的 X1、X 2 为未知力，静定基如图 b 所示，分别作出在外载、X1=1 和 X2=1 单独作用下的弯矩图，如图 c)、d)、e)所示。列出正则方程 ：（1）022121F利用图乘法分别计算 iFj,EIqllqllqlEIF 4221 63135 23EIqllqllqlEIF 4222 83331 EIllllI 4)4(1 IllEI32112EIllllI 34)34(2 将以上各值代入方程（1）整理后得 0834261112qlXl解上述方程得： qll3291,91根据静力平衡条件得： lMqlFAAyAx 80,6,010-22 题 10-22 图所示闭合框架中，F 、 q、 、 EI 等为已知。试作弯矩图。l题 10-22 图解：将载荷分成对称载荷如图 b)和反对称载荷如图 c)，在对称载荷作用下，BC 杆只产生轴力，其他杆无内力。应此，为了求钢架的弯矩，只要求图 c)的弯矩即可。截开截面 E，静定基如图 d)，因为载荷是反对称的，中间截面的轴力，弯矩，是对称内力，所以都为 0，只有一个反对称内力 X1 存在，如图 d)所示。(1) 分别作出 和 X1=1 作用下的弯矩图，如图 e)、f)所示2/F(2)用图乘法求 P1,24EIFlllFEI IlllF 65213210431 3(3)求 X1 40/6531EIlF(4) 求各钢节点（A、B、C、D ）的弯矩421llMXF40lBlC4)(2FllFlD(5) 作弯矩图如图 h 所示。10-23 链环受力如题 10-23 图所示，链环杆的直径为 d， F、 R、 d、 E 等为已知。试求A、 B 两点的相对位移（不考虑轴力的影响） 。题 10-23 图解：静定系统如图 a 所示，正则方程为： 011FX（1） 计算静定系统上的 MF,， M1CE 段 01AC 段 1,cos5.0cos2 MRRF （2） 用莫尔定理计算 11,XF25REIIRdxREI 14.521202021 IFFIF 2201 7.0cosRX1.04.5721（3） 链环任意截面上的弯矩为CE: （ 使 曲 率 增 大 为 正 ）FM.1AC: FRRX1.0cos5.0.1 cos50389.R（4） 求 AB在如图 d)所示单位力作用下CE: M1.0AC： cos5.389REIFRRdFdsIsFAB30 202129. )cos5.389.().(42 10-24 位于 xz 平面内的半圆环，A 、 B 两处为固定端（题 10-24 图） ，F 、 R、 EI 等均已知，GIp=1.25EI，不计剪力影响。试求加力点沿铅垂方向的位移。 （水平面内的内力很小，可以不计）26zzzsinco题 10-24 图解：由于对称，在 C 截面切开后，得一剪力 F/2 和一未知弯矩 X1，静定基如图 b 所示，利用 C 截面转角为 0 条件。(1)求 MF， M1 由图 c)和图 d)得cos,sin21MRFAinco1xxB(2)求 1,XF RdGIRdEIP20201 sincos= EIIIRp41.5.144 dFRGIdRFEI pF cosins2cosin2100 = EIEIGIRP245144则 FXF38.01要求 ，只需求图 e 所示载荷作用下 C 点的垂直位移即可。在 C 点加一单位力 F0=1 方CY向向下，由 F0 引起的在 D 截面上的弯矩和扭矩分别为： cos1,sin0RMRxF27 RdFRGIRdFREI pCy 2200 cos1sini21 22 00 )(inicoFRII p= dGIFdEIFRp 2023023 cos1sinIRIpin1ii203032= EIFRGIEIFGIFERpp3333 2487.0188 10-25 各杆弯曲刚度均为 EI 的平面刚架所受载荷如题 10-25 图所示，利用对称性或反对称性求：（1）支座处的约束反力；（2）绘制弯矩图；（3）加力点 E 的水平位移。题 10-25 图28解：将载荷分成对称载荷如图 b)和反对称载荷如图 c)，(1)对于对称结构(b) ，沿 E 点切开得取一半进行分析，E 截面上的内力 X1 和 X2，外力 F/2,如图 d)所示，E 截面上 x 方向的位移和转