高等传热传质学1（ppt）

2018/7/28,1,第一章 导热的基本定律及导热方程,2018/7/28,2,导热的基本定律及导热方程,导热：,是温度不同的各部分物质直接接触，物质之 间没有宏观相对运动情况下能量传递过程。,导热过程在固体、液体、气体介质中均可能发生。 导热也称为热传导。 物体内部物质之间T引起导热。,导热依靠分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而传递能量的过程。,2018/7/28,3,导热的基本定律及导热方程,宏观的角度出发，以实验中总结出来的基本定律为基础进行数学的推导,注重导热问题的典型的数学方法,导热研究对象：,2018/7/28,4,导热的基本定律及导热方程,一、导热的基本定律,T=f (x ,y, z, )任一瞬时，温度在物体上各点分布。,1.温度场：,T随时间变化，其导热过程叫非稳态导热。,(1)稳态温度场：,(2)非稳态温度场（瞬态温度场）：,T不随时间变化，其导热过程叫稳态导热。,2018/7/28,5,2.温度梯度,物体任一点上不能同时有二个温度值。 相同温度点构成等温面或等温线 (不会相交),2.温度梯度:,把等温面法线方向的T与距离n比值极限 叫温度梯度.,如下图：,2018/7/28,6,导热的基本定律及导热方程,2018/7/28,7,导热的基本定律及导热方程,温度梯度在各轴向的投影为:,正方向是温度增加方向.,温度梯度为,(向量),2018/7/28,8,导热的基本定律及导热方程,热能总是从温度高的地方传向温度底的 地方， 单位时间内传递的热量称为热流量(W)向量,单位时间在等温面法线方向上通过单位面积所传递 的热量叫比热流或热流密度(w/)(向量),各向同性的均质物体导热.付利叶给 出,3.热流量：,4.热流密度：,5.傅利叶定律：,2018/7/28,9,导热的基本定律及导热方程,热流密度在数值上正比于温度梯度,方向与温度梯度相反。 在直角坐标系:,为导热系数,2018/7/28,10,导热的基本定律及导热方程,热流密度是矢量，它永远与等温线（面）垂直 计算某个点的局部热流量时，必须以与热流密度相垂直的面积为计算面积。 只要存在温度梯度，气体和液体除导热外，还伴有辐射与对流。 只适用于各向同性材料。 傅立叶定律隐含着把热量传播速度视为无穷大的性质。,2018/7/28,11,导热系数,6.导热系数：,物性参数.表明物质的导热能力. (w/mk),取决于结构、状态、容重、湿度、压力、温度等. 工程中,导热系数值制成图表可查阅。,分子不规则运动,分子相互碰撞传递能量.,气体:,气体温度代表分子平均动能.根据分子运动理论。,2018/7/28,12,导热的基本定律及导热方程,液体:,分子在平衡位置上,不规则的弹性运动和 分子无规则自由运动.是气固之间过渡态.,T, 则, T增加,一般情况下 。水和甘油例外。T,则。,金属:,自由电子运动。,大多数情况下T,则(T增加金属原子热运动影 响自由电子运动。有杂质则急剧,合金低 。,T,则.氢、氦是其它气体的510倍,水蒸汽受压力影响大.,2018/7/28,13,导热的基本定律及导热方程,非金属晶体:,晶格振动,依靠实验方法确定。,金属：50415 W/(mk) 合金：12120 W/(mk) 非金属液体：0.170.7 W/(mk) 隔热材料：0.020.17 W/(mk) 大气压力下的气体：0.0070.17W/(mk),一些典型材料在通常温度范围内的导热系数为：,2018/7/28,14,2018/7/28,15,2018/7/28,16,2018/7/28,17,2018/7/28,18,2018/7/28,19,导热系数本质特征：,(1)无论金属或非金属材料，它的晶体比它的无定形态具有较好的导热性。,(2)对于晶体和其它定向结构材料，相对于材料结构轴的不同方向上，在不同方向上，导热系数具有不同的数值，存在一个热传导主轴。,(3) 与晶体成长方法有关的一些小的结构上的差异影响 他们的导热系数。,2018/7/28,20,导热的基本定律及导热方程,(4)与纯物质状态相比较，晶体物质的化学组成上的杂质导致较低的导热系数，纯金属比它们相应的合金具有高的多的导热系数。,(5)机械损伤，如冷加工和核辐射的损伤导致材料导热系数的变化。,(6)一般，金属比非金属具有较高的导热性能。,(7)材料的固相比它们相应的液相具有较高的导热性能。（ 例：冰比水高，固相的铅比液相的铅具有较高的导热系数；铋例外）,(8)液相比气相具有较高的导热系数。,2018/7/28,21,7.各向异性材料的导热系数,7.各向异性材料的导热系数,一些工程材料，如木材、晶体、成层的金属（变 压器的铁芯）、复合材料（胶合板）等均属于各向异性， 即在不同的空间方向上材料的物理性质不同，如沿三个 坐标轴方向的导热系数大小不等。,各向异性材料的导热系数在空间的分布成椭球形状，椭球的三个主轴 、 、 方向上的导热系数称为主导热系数 、 、 。,2018/7/28,22,7.各向异性材料的导热系数,在主轴方向上的热流密度可以表示为：,2018/7/28,23,7.各向异性材料的导热系数,1）在直角坐标系方向上的热流密度为：,2018/7/28,24,7.各向异性材料的导热系数,主轴方向上的温度对距离的导数可以用坐标轴方向上的温度对距离的导数表示。,代入直角坐标系方向上的热流密度方程则为：,2018/7/28,25,7.各向异性材料的导热系数,2018/7/28,26,7.各向异性材料的导热系数,各向异性的材料的导热系数包含九个分量，它们是二阶张量的分量，即,2018/7/28,27,7.各向异性材料的导热系数,对于各向异性材料，热平衡关系式仍然成立，在没有内热源的情况下，方程可变为:,热流密度的向量不与等温面垂直,2018/7/28,28,7.各向异性材料的导热系数,上面推导代入该方程可得到：,此为各向异性材料的导热微分方程，如果坐标轴与 导热系数的主轴重合，上式为,2018/7/28,29,7.各向异性材料的导热系数,则,选一参考的导热系数 ，并令,2018/7/28,30,7.各向异性材料的导热系数,和各向同性的材料导热方程相同,当固体边界平面垂直于热传导主轴，或固体无限大时，这一变换可以将各向异性的问题转化为相应的各向同性固体的问题。,2）柱坐标系的各向异性材料没有内热源的导热方程为 ：,2018/7/28,31,7.各向异性材料的导热系数,各向异性材料导热微分方程中增加了温度对空间坐标的交叉导数。故分析求解更困难。 分析二维各向异性材料的例子，这时热传导主轴并不于物体的边界面相互垂直。,3）球坐标系的各向异性材料没有内热源的导热方程也一样可求出。,4）如果材料有内热源，则在方程中增加内热源发射率 一项。,2018/7/28,32,7.各向异性材料的导热系数,如图，物体放置于（ ， ）坐标系中，材料的热传导 主轴于坐标系形成一个角度 ，坐标系（ ， ）是 和热传导主轴相重合的，可以把经过物体的热流通量 看作为由坐标 和 方向的热流通量的分量组成。,2018/7/28,33,7.各向异性材料的导热系数,则 和 方向的热流通量为：,2018/7/28,34,7.各向异性材料的导热系数,通过下列关系：,由图中几何关系：,2018/7/28,35,7.各向异性材料的导热系数,把温度梯度转换为 和 方向的的温度梯度，整理后可得出热流通量的表达式：,2018/7/28,36,7.各向异性材料的导热系数,应用热传导方程的通用形式和上面热流通量关系式的推导，可把二维各向异性材料的热传导方程表示为：,对于各向同性材料， 则上式简化为：,2018/7/28,37,7.各向异性材料的导热系数,注意:如果一块各向异性的板，放置在导热系数测定仪的两个等温面之间，如果板的热传导主轴和等温面之间的夹角为 ，取决于测量的方向是 或 ,测出的导热系数由下式表示：,2018/7/28,38,7.各向异性材料的导热系数,例：设一块叠层板用于导热系数的实验，叠层的方向和试样的光滑表面之间的夹角为 ，两个表面温度保持恒定，但温度不等（即为等温面），要求计算热流通量向量和等温面法线方向之间的夹角。,2018/7/28,39,7.各向异性材料的导热系数,从图中知，对于,又从前面推导可知 :,则,2018/7/28,40,7.各向异性材料的导热系数,以上可看出，热流通量向量并不像各向同性材料 那样，它并不与等温面垂直。如果 （木材 情况下可能），则,于是,从分析可知，边界面是等温面，所以坐标轴 是法线 方向， 轴处在等温面上，故,2018/7/28,41,导热的基本定律及导热方程(推导过程),二.导热微分方程及单值性条件由伏利叶定律知道，要求导热传热量，就要知道温度梯度。因此导热理论的首要任务是确定导热物体的温度场。1.直角坐标系的导热微分方程 依据伏利叶定律和能量守恒来建立的。由物体中取一微元控制体。其体积为V，表面积为A，表面积外法向为 n。,2018/7/28,42,由热力学第一定律控制体内能量平衡关系单位时间通过控制体进入热量单位时间控制体内产生热量单位时间内控制体内内能的增加,第一项由伏利叶定律为：,第二项为,2018/7/28,43,导热的基本定律及导热方程(推导过程),为单位时间单位体积内物体发热量，称为“内热源发射 率”。物体内热源生成：导电体通电流时发热、核燃料反应热、化学反应吸热、放热。,第三项为,为外法向热流密度,2018/7/28,44,导热方程(推导过程),奥斯特罗格拉得斯基公式：,对于各向同性,2018/7/28,45,导热的基本定律及导热方程(推导过程),或写成：,为温度梯度的散度; 如果为 const 则：,2018/7/28,46,导热的基本定律及导热方程(推导过程),导温系数（热扩散系数）是物性参数。为导热能力； 储热能力。 表示物体内部温度趋于均匀一致能力（即表示物体温度改变的快慢。 越大，热惯性越小。） 如无内热源,2018/7/28,47,导热的基本定律及导热方程(推导过程),常物性、无内热源的稳态导热方程，可简化为拉普拉斯方程 2.柱坐标系的导热微分方程可通过坐标转换将直角坐标系的导热微分方程转为柱坐标系的导热微分方程。,2018/7/28,48,2018/7/28,49,导热的基本定律及导热方程(推导过程),同样：,，,，,2018/7/28,50,导热的基本定律及导热方程(推导过程), 代入上面是式子：,，,(1)+ (2)得：,(1),(2),2018/7/28,51,导热的基本定律及导热方程(推导过程),代入前面方程：,3.球坐标系导热方程:,2018/7/28,52,导热的基本定律及导热方程(推导过程),可得到：,其中相关项：,2018/7/28,53,导热的基本定律及导热方程(推导过程),得到：,最终得到球坐标系导热微分方程 ：,2018/7/28,54,导热的基本定律及导热方程(推导过程),4.单值性条件,物体及过程有关外界介质的物 理性质.如、c及他们随温度T变化。,1)几何条件:物体的形状、大小。,2)物理条件:,3)时间条件:,时间特点。与无关,为稳态;与有关,瞬态。 需要知道各种影响条件随变化关系。特别 是初始条件在0，Tf(x,y,z,0),2018/7/28,55,导热的基本定律及导热方程(推导过程),4)边界条件:,物体在边界上过程进行特点。,a)第一类边界条件:,b)第二类边界条件:,2018/7/28,56,导热的基本定律及导热方程(推导过程),c)第三类边界条件:给定物体周围介质温度 和物体表面与周围介质之间的对流换热系数 。当然 和可随表面位置和时间变化,也可不变. 由于物体壁面上对流换热热流密度:,2018/7/28,57,导热的基本定律及导热方程(推导过程),而物体壁面上导热热流热流密度:根据能量守恒 当 , 由第三类边界条件转化为第一类边界条件。 微分方程+边界条件 对导热问题给予了完整解。,2018/7/28,58,d)接触性边界条件,e)其它边界条件（非线性边界条件）,2018/7/28,59,双曲型导热微分方程,三.双曲型导热微分方程,热在物体中传播速度无限大,在非稳态导热过程 中,任何瞬时, 变化和 改变是同步的.这种假设 对于缓慢非稳态导热过程是可用的,为抛物线方程.,2018/7/28,60,双曲型导热微分方程,(对于低温度下急剧变化的非稳态过程不能把热扰动传播速度看成是无限大)由于物体有热惯性,温度场的重新建立和温度梯度变化是滞后边界条件的.温度场重新建立滞后于热扰动(热流密度变化),滞后时间称为松弛时间 。,热扰动传播速度 与松弛时间 关系为：,2018/7/28,61,双曲型导热微分方程,考虑热扰动传播速度为有限值,则伏利叶定律中的热流密度要增加一个附加项,为导温系数.热惯性,则松弛时间,;, 则,2018/7/28,62,双曲型导热微分方程,由控制体能量平衡关系：,;,;,2018/7/28,63,双曲型导热微分方程,其对 求导： 将其代入为const,则,为热扰动在物体中的传播速度为有限值的导热微分 方程.为双曲型微分方程。,2018/7/28,64,双曲型导热微分方程,为方程中增加的一项。一般松弛时间,很小,只有在一些极快速瞬态导热才需要考虑,对一般 过程,其,可忽略不计,这些分析有助于我们对导,热机理研究。,2018/7/28,65,变分形式的导热方程,四. 变分形式的导热方程根据变分原理,泛涵求极值的计算在数学上等价于微分方程求解,即对求极值可得到满足相应微分方程和边界条件某一函数微分方程在一定边界条件下的解.下面将介绍导热微分方程变分描述基本概念。 1.泛涵：函数与泛涵的区别,2018/7/28,66,函数与泛涵的区别,函数自变量是数,而泛涵的自变量是函数.即泛涵是函数的函数.,J= J (y)=J y (x) (2),y = y (x) (1),例: x为自变量,y为因变量.函数可表示为 :,设J又是y的函数,那么泛涵J可表示为,2018/7/28,67,变分形式的导热方程（举例）,对泛涵具体例子,举一个最速降落线的问题（伯努力1696年提出 ）。 例:试确定一条曲线y =y (x),连接不再同一铅垂线上两定点A和B,使得质点M在重力的作用下,沿着这条曲线由较高点A自由滑到较低点B(不计摩擦),所需时间为最短。具有这种性质曲线为最速降落线.,2018/7/28,68,根据无阻力及能量守恒条件,物体在重力加速度g作 用下,降落至同一水平面时具有相同的速率,所以物体在 曲线上任一点M处的速率v必与自由落体在下降相同y距 离时的速率相同,由物理学知道,2018/7/28,69,变分形式的导热方程,根据速率定义,可知从A到B所需时间,式中y = y (x)为函数,t为y的函数.,2018/7/28,70,固定端点的变分,T y (x)称为泛涵,y( x)为函数,它必需满足t为最小值的条件,这就是一个对泛涵求极值的问题,在数学上称为变分。变分计算的目的是把极值曲线y(x)找出来。,2.固定端点的变分：,求一函数yy (x)，满足如下条件,;,并能使J达极值。,设有泛涵,2018/7/28,71,2018/7/28,72,泛函步骤,泛涵部分大致有如下三步骤 1.找一任意光滑连续函数 (x)满足 2.取一参变量,它可在步态大的正负范围内变化,为使问题简化,令与x无关. 3.设y (x)为待求的极值曲线,则: y( , x)=y (x)+ (x)为通过A、B两点邻近于极值曲线的无限多曲线,满足是专门的变分符号.,2018/7/28,73,函数的微分于泛涵的变分对照,函数的微分于泛涵的变分对照 ：y =y (x),函数增量y=y (x+ x)- y (x) 则函数微分：函数取极值条件为：泛涵JJ y (x),泛涵增量 函数增量为,2018/7/28,74,泛涵取极值的必要条件,而函数的变分为：泛涵取极值的必要条件为：,2018/7/28,75,变分基本性质,基本性质 ： 变分运算与微分运算有相同之处 设有函数 y (x) ,n 为常量 设有函数 u (x), v (x)则 设有函数 y (x)，则 微分和变分次序可变,2018/7/28,76,性质 证明, 是由 引起,突出自变量.而 并不是 引起的。是在x时得到的。是定义在x为给定值时的一条垂直线上 （即变分计算时x为常量） 【证明：,2018/7/28,77,变分形式的导热方程,对x求导，,由上面式子得,2018/7/28,78,变分形式的导热方程（极值条件）,对于泛涵 也可写作 即 或写为 泛涵取极值的条件为 :,2018/7/28,79,函数取极值条件,函数取极值得条件为：,2018/7/28,80,函数取极值条件证明,取极值,则,2018/7/28,81,泛函取极值条件证明,2018/7/28,82,推导欧拉方程理论基础,求对于泛涵 取极值时，函数y(x) 必须满足的条件： y (x)邻近曲线代入 J 则 （莱布尼滋法则）,介绍推导欧拉方程理论基础,2018/7/28,83,欧拉方程理论基础,考虑,与 无关，并将 的关系代人,2018/7/28,84,欧拉方程理论基础,即,2018/7/28,85,欧拉方程理论基础,则,利用,条件,2018/7/28,86,欧拉方程,极值曲线应满足的必要条件（非充分条件）要求这个微分方程，可得无穷多个极值曲线，把边界条件代人看到唯一的曲线。,上式积分对任意函数都为0，则可推出,欧拉方程,0,2018/7/28,87,欧拉方程（特殊情况1）,推出最后欧拉方程,两种特殊情况：,（1）F中不含y，即由,积一次分,再积一次分可得极值曲线。,2018/7/28,88,欧拉方程（举例）,例： 满足边界条件的极值曲线不含y，所以欧拉方程的首次积分 对 求偏导,2018/7/28,89,欧拉方程（总结）,总结：变分求解方程 从泛涵取极值出发，产生与变分代表同一物理过程的微分方程，即欧拉方程。用数学方法求微分方程，从而得到满足变分的极值曲线。,极值曲线是一个圆，将边界条件代人可求出,2018/7/28,90,欧拉方程（特殊情况2）,（2）F中不含x，这时欧拉方程展开式 写成全微形式,2018/7/28,91,欧拉方程（特殊情况2证明）,2018/7/28,92,可动端点变分,3.可动端点变分除了两端点固定变分外，还有极值曲线的一端点可在已知曲线上移动的变分问题，上面例子是A不动，B移动。B在任一给定位置都可得到一条极值曲线（为给定端点极值曲线），可动端点变化就是在上述曲线（极值上）再作一比较，以求出B坐在某一高度时降落时间最短。（即从一系列固定曲线中挑选出来）,2018/7/28,93,可动端点变分,可动端点与固定端点变化基本相同，还是对 求极值曲线。但有不同边界条件只有 ;而 不确定。故选取任意光滑连续函数 与上面相同,2018/7/28,94,可动端点变分,由于欧拉方程必须满足,同时对任意,（自然边界条件 ）, 求解欧拉方程得：两个积分常数 自然边界条件 ，可得出唯一的解。,2018/7/28,95,重积分下的变分（固定边界）,4.重积分下的变分（固定边界） （1）公式推导上面泛涵 ， 只是 的函数，现在讨论 ，T是 、 的函数，是平面温度函数在区域D边界上有已知值。,（已知）,2018/7/28,96,2018/7/28,97,重积分下的变分（固定边界）,泛涵求极值时，极值曲面的一系列临近曲面在区域D中的值可改变，在边界上的值不能变。 同上面固定端点变分法一致,为绝对值较小参变量，与 、 无关,2018/7/28,98,重积分下的变分（固定边界）,代人泛涵,泛涵取极值,（ 格林公式）,在区域D和边界 上的任意函数,2018/7/28,99,重积分下的变分（固定边界）,看后两项：,第一项用格林公式,则,2018/7/28,100,重积分下的变分（固定边界）,欧拉方程,2018/7/28,101,重积分下的变分（固定边界）,同样,2018/7/28,102,第一类边界条件平面稳定温度场,（2）第一类边界条件平面稳定温度场,求泛涵,极值曲面,其中 T在区域D边界 温度已知,公式中不含 、 、T,故,2018/7/28,103,第一类边界条件平面稳定温度场,同样,；,；,拉普拉斯方程,极值曲面为满足拉普拉斯方程的一系列曲面。为了唯一确定极值曲面，用固定边界给出定解条件（第一类边界条件）,2018/7/28,104,第一类边界条件平面稳定温度场,上述泛涵 在边界条件约束下变分所得 的极值函数 就是拉普拉斯方程在第一类边界 条件下的解 。,2018/7/28,105,重积分下变分（可动边界）,5.重积分下变分（可动边界）,(1)公式推导 是一个未知变量，其温度场为可动 边界变分问题，其泛涵一般形式,2018/7/28,106,(2)二类边界条件平面稳定温度场,求泛涵,极值曲面 , 为边界上的热流密度,二类边界条件平面稳定温度场,（A）,(B),2018/7/28,107,由上面A代人,；,；及,代人(B)得：,二类边界条件平面稳定温度场,2018/7/28,108,二类边界条件平面稳定温度场,由于边界,则,（二类边界条件）,2018/7/28,109,三类边界条件平面稳定温度场,（3）三类边界条件,求泛涵,的极值曲面 ； 为介质温度， 为介质对固体的换热系数， 为固体导热系数。,；,；,则,（拉普拉斯方程 ）,2018/7/28,110,三类边界条件平面稳定温度场,则,为温度场的三类边界条件。,结论： 泛涵取极值的极值曲面 ，就是拉普拉斯方程在边界条件下的解：,2018/7/28,111,绝热。方程与第一类相同的泛涵，但是可动边界变分与固定边界变分问题，所得极值曲面具有不同的性质。, ， 化为一类边界条件。故即可采用固定边界条件，也可采用可动边界条件变分。,三类边界条件平面稳定温度场,2018/7/28,112,具有内热源温度场,（4）具有内热源温度场,求泛涵,求极值曲面 必须满足的条件。,上式与前面比多了一项,，则,代入欧拉方程,（为内热源平面温度场的微分方程及边界条件）,2018/7/28,113,轴对温度场变分问题（柱坐标）,6.轴对温度场变分问题（柱坐标） 1）无内热源轴对称稳定温度场,相应泛涵为,2018/7/28,114,轴对温度场变分问题（柱坐标）,；,；,；,而自然边界条件得：,将,、,和,代入,2018/7/28,115,轴对温度场变分问题（柱坐标）,，,为任意值,2018/7/28,116,有内热源轴对称稳定温度场,2）有内热源轴对称稳定温度场,2018/7/28,117,不稳定温度场变分（无内热源）,7.不稳定温度场变分 1）无内热源平面不稳定温度场,为已知,（1）,（2）,（3）,（方程(1）为抛物型方程，其泛涵变分问题还没有很好解决),2018/7/28,118,不稳定温度场变分（无内热源）,现有两种解决方法, 令时间 变量暂时固定（即考虑在一瞬时的条件下 仅是位置函数）对泛涵变分，然后再考虑,的变化，把,用差分展开。,泛涵,（4）,2018/7/28,119,不稳定温度场变分（无内热源）,利用前面讲的,做变分计算,注意： 做常数 处理，可得微分方程(1)、(3).初始条件（2）作为定解条件在以后的计算中代入,2018/7/28,120,不稳定温度场变分（无内热源）, 先把（1）用向后差分改写为,此时，对应的泛涵为：,再利用前面讲的,可得到（1）、（3）。两种方法可得到相同的变分计算结果。,2018/7/28,121,不稳定温度场变分（内热源）,2）有内热源空间不稳定温度场,初始条件,为已知时极值曲面,必须满足的条件同前面一样，只是要用空间概念代替平面概念，即相应欧拉方程,2018/7/28,122,不稳定温度场变分（内热源）,空间格林公式,由此得到,必须满足条件,2018/7/28,123,不稳定温度场变分（内热源）,为已知,（1）,（2）,（3）,泛涵变分计算可用微分方程求解代替，微分方程求解也可用泛涵变分计算来代替。,2018/7/28,124,各向异性材料的导热方程,五.各向异性材料的导热方程工程材料、成层的金属、复合材料属于各向异性材料。不同空间方向上材料的物理性质不同，如 在空间的分布成椭球形状。,2018/7/28,125,导热无量纲变量,六.导热无量纲变量引入无量纲导热问题变量可使变量数减少，便于揭示物理现象本质。一维具有均匀内热源的非稳态导热为例导出一些典型无量纲变量，其微分方程,，,2018/7/28,126,导热无量纲变量,以介质温度 为过余温度，进行方程无量纲化,则微分方程无量纲化为;,2018/7/28,127,导热无量纲变量,伏利叶数,毕奥数,其为导热中两个重要无量纲数。,导热过程发展的时间,热扰动扩展到面积,上所需时间之比,2018/7/28,128,导热无量纲变量, ， 物体内长度为L上的导热热阻,物体表面对流换热热阻,若 ,工程上取 则导热热阻小，物体 内温度一致,，工程上取 ，对流换热强，物体表面温度 介质温度，三类边界条件变为一类边界条件。,2018/7/28,129,第二章 稳态导热,2018/7/28,130,简单形体一维稳态导热,一.简单形体一维稳态导热 1.平壁 一维无内热源 得出：据伏利叶定律：,2018/7/28,131,1.平壁,，不随T变化 。大温差时, 工程中采用线性关系为0导热系数，a为温度系数。在 和 之间平均导热系数,2018/7/28,132,2018/7/28,133,简单形体一维稳态导热,判断 曲线向上弯， 曲线向下弯 多层壁不同材料：,多层壁总热阻等于各组成壁分热阻之和,不随温度改变时， 呈直线分布，多层壁为折线。,2018/7/28,134,简单形体一维稳态导热,第三类边界条件：,2018/7/28,135,平壁,多层壁：,结合面温度：,2018/7/28,136,2圆筒,2018/7/28,137,2.圆筒,温度分布为对数曲线，通过圆筒壁热流量：,2018/7/28,138,2.圆筒,对于稳态：任意半径为 等温面， 相同；但圆柱表面积不同,工程上用单位长度管壁热流密度来表示热流密度,2018/7/28,139,多层圆管壁：,交界面,注意： 圆管计算中包含对数项，实用不方便，按平壁计算,圆筒壁平均直径：,，厚度,2018/7/28,140,用校正系数 法修正误差,2018/7/28,141,可作图,2018/7/28,142,是 的函数。,，则, ；,时，,把 取 1 ，误差为4，,工程中 时，可按平壁计算圆筒壁导热。,2018/7/28,143,第三类边界条件：,管子内、外两侧介质温度为 ，内外表面与流体介质之间对流换热系数为 和 ，由此，按平壁长度计算热流密度,多层壁：,2018/7/28,144,2018/7/28,145,3热绝缘的临界直径,3热绝缘的临界直径管道载热输送要包热绝热层，以减少热损失，稳态传热，系统项周围介质散热损失，以单位长度热流密度计算。,2018/7/28,146,总热阻增加与否存在 值。,，则,增加；,，则,减小,2018/7/28,147,2018/7/28,148,临界毕奥数,工程中考虑自然对流情况,2018/7/28,149,4球壁,4球壁 导热微分方程,一类边界条件,双曲线型式,圆球壁热流量,2018/7/28,150,第三类边界条件：,多层壁 ：,球形罐加保温层临界直径：,工程中考虑自然对流情况,2018/7/28,151,枢轴稳态导热,二枢轴稳态导热,枢轴横截面A，截面周长P，,轴周围介质温度为,侧面与周围介质之间的对 流换热系数,，端面,材料,。枢轴根部温度,枢轴温度仅沿轴向变化。,2018/7/28,152,能量平衡关系,2018/7/28,153,三种情况,其解为：, 轴为有限长，轴端绝热,2018/7/28,154, 轴为有限长，轴端轴端与外界换热,为双取正弦、余弦、正切函数,2018/7/28,155,轴表面与周围介质换热量：,2018/7/28,156,肋的稳态导热,三.肋的稳态导热,肋设计主要确定肋的型式、肋面的大小。,设计中要计算：肋表面的温度分布、流动阻力、 加肋后肋的尺寸、重量。,2018/7/28,157,1.等截面直肋（常用枢轴导热第二种情况 ）,端面放热影响，肋修正高度,其中,2018/7/28,158,矩形截面直肋热流量：,肋端过余温度,也适用于直径 的等直径针形肋，,2.最小重量肋,一定热流量情况下，肋具有最轻重量。，肋的温度沿肋高线性变化,2018/7/28,159,肋轴向热流密度为,肋法向热流密度为：,2018/7/28,160,轮廓线是半径为,的圆弧,这种肋用材最省，重量最小，但其制造难，使应用受限制。,2018/7/28,161,3.三角形和梯形截面的肋,通解为：,梯形肋边界：,2018/7/28,162,三角形直肋边界：,4.等厚度环形肋,为边界条件,2018/7/28,163,5.肋效率,沿肋高能保持温度 ，则肋能传递最大热流量,肋高的 变化，由肋根 肋端逐步减小,工程中由手册查 乘 得到,6.肋的选用和设计,2018/7/28,164,设计要求 传热效果好 材料费用、制造成本低 重量轻、体积小 肋间流动阻力小,加肋使换热面积增加，使对流换热热阻减小，但导热热阻增加。,肋化的临界条件：,不加肋，物体后面对流换热热流量为,2018/7/28,165,加矩形截面的直肋以后，肋表面散热流量,要求 :,为临界条件,只有在半厚度为 特征厚度的 时加肋才有意义。,2018/7/28,166,肋的最佳尺寸：,单位宽度的矩形截面传递热流量,使 达到最大值的肋厚度 为最佳尺寸,用图解法或数值计算来解,一定，最大 为 与 的最佳搭配。这时：,2018/7/28,167,同样，对三角形直肋：,肋端过余温度 ：,在热流量 和肋根温度 都相同的情况下，,在相等热流量情况下，减轻44重量。,2018/7/28,168,以矩形截面直肋为例，在一定 下，从前面的方程可知：,热流量增加1倍，则体积和重量增加8倍, 肋尽可能做得小些有力（用导热系数大， 小造肋是合适的）,2018/7/28,169,接触热阻,四、接触热阻,两物体接触，接触面有热量传递，接触面上有温度突跃,例： 涡轮叶片与盘连接中榫槽和榫齿间导热 镶嵌肋片与本体间导热,设A、B为两互相接触的等截面固体，横截面积为A，,导热系数为 、,其周围绝热，仅在轴向有热流（一维稳态）,2018/7/28,170,2018/7/28,171,2018/7/28,172,为接触热阻，,接触系数；接触表面有若干接触点，其它是空隙，,接触热阻,在接触点上热量传递为固体导热，空隙上热量传递为气体导热；,2018/7/28,173,空隙气体导热是产生接触热阻的主要原因。,为固体接触面积， 表示空隙面积， 表示空隙厚度，,接触系数：,2018/7/28,174,减小接触热阻所采取方法为： 增大接触压力，以增大接触面面积； 增加固体导热，减少气体导热，从而减小接触热阻； 工程上加一层延展性好，导热系数高的材料或涂上导热脂、硅油，使接触热阻下降。,2018/7/28,175,五.多孔冷却平壁的导热,工程上发散冷却叶片、火箭发动机喷嘴、再入大气层导弹,假设:1）多孔壁内热量传递是依靠固体传热2）多孔壁的任何点上，3） 空隙在壁内均匀分布,多孔壁孔隙度 P 定义为：孔容积/壁总体容积,多孔冷却平壁的导热,2018/7/28,176,2018/7/28,177,（1）,同样，在 范围流体内,（2）,2018/7/28,178,方程（1 ）通解,（2）通解,消去方程中,多孔冷却介质为液体时，往往在高温壁面有蒸发相变,，边界条件用第三类边界条件。,2018/7/28,179,，,，,没有蒸发相变,2018/7/28,180,具有内热源物体的一维稳态导热,六.具有内热源物体的一维稳态导热,2018/7/28,181,1.一维平壁,图中 足够大时，壁面热流方向可能颠倒, 壁内温度出现极值（极大值或极小值）,2018/7/28,182,2.长圆柱体,2018/7/28,183,圆柱表面热流密度：,三类边界条件变为一类边界条件，即,2018/7/28,184,3.圆筒壁,通过外表面散热,2018/7/28,185,则外表面放热：,变为一类边界条件,热量由内表面散走，内表面,、,2018/7/28,186,内表面热流密度,，,，,2018/7/28,187,内外表面散热，在壁内有一个最大温度等温面将管子分 为两层，内层向管子里传热，外层向管子外传热。对应 最大温度值,可得最高点半径,只和管子尺寸有关，与热条件无关。,为三类边界条件,，还要增加两个方程确定,2018/7/28,188,二维平面稳态方程,七.二维平面稳态方程,1.二维矩形平面,一矩形截面长柱，长度 、 方向尺寸，,微分方程：,分离变量法：,2018/7/28,189,令其为,、,、,、,2018/7/28,190,，,（,2018/7/28,191, 微分方程和边界条件为线性，则所有特解叠加 是方程的通解,2018/7/28,192,根据边界条件,因为 温度值满足连续、单值、有限要求。可展为 伏利叶级数， 是伏利叶正弦函数级数。,2018/7/28,193,若,2018/7/28,194,四个边界只有一个是非齐次,根据叠加原理可得四个以内非齐次边界条件解。,；,；,2018/7/28,195,2018/7/28,196,2018/7/28,197,对二类、三类边界条件组合问题，采用过余温度,因有两个非齐次边界条件，可分解为：,2018/7/28,198,由第一种情况,超越方程，可用作图法求解，无穷多个特解叠加得其通解。,2018/7/28,199,2018/7/28,200,条件决定,两边各乘,并对 积分,根据三角函数正交性质,2018/7/28,201,2018/7/28,202,类似可得,2018/7/28,203,2.三维矩形六面体,2018/7/28,204,分离变量法:,2018/7/28,205,根据边界条件确定，最终求得矩形六面体温度分布,2018/7/28,206,八.有限长轴圆柱体稳态导热,有限长轴圆柱体稳态导热,工程上轴对称零部件很多，对于轴对称二维,2018/7/28,207,通解：,表示第一类、第二类零阶贝塞尔函数。,A、B、C、D由边界条件确定。,2018/7/28,208,第三章 非稳态导热,2018/7/28,209,非稳态导热,例：物体温度 ，放到,恒温炉内加热，,中心温度,炉子给物体加热,2018/7/28,210,一.内部热阻可忽略的非稳态导热,一.内部热阻可忽略的非稳态导热,（反映物体内部导热热阻与边界对流热阻之比）,毕奥数,伏利叶数,（反映在给定时间内，边界上温度扰动波及的深度,与物体特征尺度之比）,2018/7/28,211,2018/7/28,212,2018/7/28,213,2018/7/28,214,2018/7/28,215,与环境换热的物体，从传热学角度分析确定,集总物体的根据为:,边界条件、材料的热物性、过程所经历的时间长短,很小，则,特征尺度定义为,很小；,很大，则,很小；,2018/7/28,216,非稳态导热,工程上：,时，忽略物体内部导热热阻,时，忽略物体外部对流热热换阻,，物体内均匀一致,叫“薄物体”,2018/7/28,217,非稳态薄物体导热,1.边界条件为对流换热,物体密度 比热 ,体积,周围环境温度,物体与周围环境之间换热系数,物体初始温度,2018/7/28,218,非稳态薄物体导热,瞬时热平衡关系：,（1）,2018/7/28,219,引进过余温度,，,（2）,具有时间量纲，定义为时间常数,经过一个时间常数，温度降到 36.8%初始过余温度。,对时间求导，当,2018/7/28,220,2018/7/28,221,（3）,由（3）式知，如果物体以初始冷却速度进行冷却，则经过一个 时间常数，就可使温度 下降到 ，达到新的稳定状态，,与物体的物性形状有关,表示物体热容量， 反映物体的冷却条件。,2018/7/28,222,时间常数表征瞬态过程的反应速率， 越短，物体热惯性越小，温度响应速率越大。,过程进行四个时间常数,初始热流量,由 时间，物体累计传出热量,2018/7/28,223, 环境温度随时间线性变化,则方程（1）可写成,（4）,由初始条件可得到物体温度响应：,2018/7/28,224,2018/7/28,225, 环境温度随时间变化,（5）,齐次方程通解,（5）式中一个特解,（6）,（7）,7）应满足（5），代入（5）,（8）,2018/7/28,226,2018/7/28,227,根据式（8）用图解法确定,通解:,根据初始条件确定c为,2018/7/28,228,物体温度滞后于环境温度,相位不同。落后相位,2018/7/28,229,2018/7/28,230,1）,物体初始温度为 当物体温度响应,则,2),物体初始