引导学生反思，提高思维能力

引导学生反思，提高思维能力随着新课程在全国的全面推广，新课程所强调的“以学生为主体，以全面、主动发展为目的，关注每一个学生的情感、态度、价值观和一般能力的发展，突出数学思维能力的培养，增进理解和应用”的理念越来越被人们所接受。如何培养和提高学生的思维能力被提到了突出的位置。心理学研究表明，思维是学习过程中智力活动的核心，思维能力的提高与学习活动中及时，深刻反思密切相关。因此，荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。在数学活动中引导学生及时地、多角度的反思，能促使他们从新的角度，多层次多侧面地对问题进行全面考察、分析与思考，可以为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利条件，从而激发学生的数学学习兴趣，养成独立思考，积极探索的习惯，对思维能力的提高大有裨益。一、反思问题的条件解决好一个问题之后，若能从问题条件出发，试着去弱化、加强或改变条件看是否还能有类似的结论。问题 1 如图，若 1OA与 2外切于 A，BC 是 1O与 2A的外公切线，B、C 为切点，则 BC反思：两圆相切时有结论成立，由圆与圆的位置关系联想到，两圆外离或相交时，结论是否成立。1O 2OAB图 1C变题 1：若 1A与 2外离，BC 是 1A与 2外公切线， B、C 为切点，连心线 2O分别交 、 O于 M、N，BM 、CN 的延长线交于 P，则 BP 与 CP 是否垂直？O1 O2PBCM N变题 2：若 1OA与 2相交，BC 是 1OA与 2公切线， B、C 为切点，连心线1分别交 、 于 M、N，Q 是线段 MN 上一点，连结 BQ、CQ ，则BQ 与 CQ 是否垂直？2O1ON MQBC图 3事实上变题 1 结论成立，变题 2 结论不成立。问题 2：设如图 4，O 是边长为 a的正方形 ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 O 点处，并将纸板绕 O 点旋转，求证：正方形 ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a。分析：设扇形与正方形边交于 M、N，连结 AO，DO，易证 AM D，则 AMD，因此，被覆盖部分为 ANAB CDOMN图 4反思：对正方形有结论成立，若改为正三角形，正五边形或正 n边形会如何？变题 3：如图 5，将一块半径足够长的扇形纸板圆心放在边长为 a的正三角形或边长为 a的正五边形中心 O 点处，并将纸板绕 O 点旋转，当扇形纸板的圆心角分别为多少度时，正三角形和正五边形被覆盖部分总长为定值分析：由圆及正三角形的对称性，可知 2AMN，则2aAMBNC因此， 90O，因为 30O，所以 160，即圆心角 120。同理可得正五边形中圆心角为 7变题 4：将一块半径足够长的扇形纸板圆心放在边长为 a的正 n边形的中心 O处，并将纸板绕 O 点旋转，当扇形纸板的圆心角分别为多少度时，正 n边形的边被纸板覆盖部分总长度为定值 。AB CONM 1 2?5ABC DEOM N分析：因为正 n边形内角为 2180n，在理解了上面几种情形后，不难求出扇形圆心角为 36180n二、反思问题的结论不改变问题条件，对问题结论做进一步反思，看能否有其他或更一般的结论。问题 3：已知 1OA和 2外切于 P 点，直线 AB 切 1OA于 A，切 2于 B，的半径为 R， A的半径为 r（Rr） ，求证： 4Rr分析：这是圆与圆位置关系中的一个基本图形，连结 AP 并延长交 2于 D，连结 BP 并延长交 1O于 C，连结 AC，BD易证ABP 为直角三角形，因此APC= BPD=90。所以 AC、BD 为直径，再证 RtABC tD，可得 24ABCDRr解完本题后，做进一步反思，还能得到什么结论？ 注意到ABD，ABC 均为 Rt，AP，BP 为高，结合勾股定理和射影定理可得到 22PP PABPBD ABDr PABPCA C 改变辅助线添法，变化如图 7，则可以得到 RtAEQF，进一步思索，还可以得到一些结论。 变图如图 8，可证PACBPC，进一步可得 2PCB在数学学习中，对一些有意义的问题若都能尝试着做这样的反思，则能达2rPARr， 所 以1O2OABE FPQ图 71O2OBCDP图 61O2OBCP图 8AA到“通一题会一片” 。三、反思相关联的知识俗话说：牵一发而动全身。数学知识是一个完整的体系，许多知识是相关联的，认真反思这种联系，则能做到举一反三。例如，二次三项式 2axbc，二次函数 2yaxbc，二次不等式 2axbc 0（0） ，二次方程20axbc就有密切的联系，通过方程的解，韦达定理，二次函数图象就能有机地把它们串起来。因此，学习了这些知识之后，应该及时反思它们之间的联系，做到举一反三。又例如：相交弦定理、切割线定理、切线长定理可以通过 2PABdr（圆幂定理）联系起来。四、反思解题方法美妙的方法是师生在解决问题时的共同追求，不满足于现有解法，是思维积极活动的体现。问题 4：已知 210a， 4210b且 a 2b，求21a的值解法一：用求根公式，分别求出两方程根，得52或 52， 25或 25（ 2b0，舍去）由于 1a 2b，所以当 1a时， 21b225解法二： 1a和 2b可以看作方程 210x两根，又因为 5A0，所以方程有两个不等实根，又已知 a b，则由根与系数关系得21ba，即221解法三：由于 20， 420b，两式相减，得41ba，因式分解得 22()1)0ba2 21a 即 2211