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文档简介

引导学生反思,提高思维能力随着新课程在全国的全面推广,新课程所强调的“以学生为主体,以全面、主动发展为目的,关注每一个学生的情感、态度、价值观和一般能力的发展,突出数学思维能力的培养,增进理解和应用”的理念越来越被人们所接受。如何培养和提高学生的思维能力被提到了突出的位置。心理学研究表明,思维是学习过程中智力活动的核心,思维能力的提高与学习活动中及时,深刻反思密切相关。因此,荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出:“反思是数学思维活动的核心和动力。在数学活动中引导学生及时地、多角度的反思,能促使他们从新的角度,多层次多侧面地对问题进行全面考察、分析与思考,可以为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利条件,从而激发学生的数学学习兴趣,养成独立思考,积极探索的习惯,对思维能力的提高大有裨益。一、反思问题的条件解决好一个问题之后,若能从问题条件出发,试着去弱化、加强或改变条件看是否还能有类似的结论。问题 1 如图,若 1OA与 2外切于 A,BC 是 1O与 2A的外公切线,B、C 为切点,则 BC反思:两圆相切时有结论成立,由圆与圆的位置关系联想到,两圆外离或相交时,结论是否成立。1O 2OAB图 1C变题 1:若 1A与 2外离,BC 是 1A与 2外公切线, B、C 为切点,连心线 2O分别交 、 O于 M、N,BM 、CN 的延长线交于 P,则 BP 与 CP 是否垂直?O1 O2PBCM N变题 2:若 1OA与 2相交,BC 是 1OA与 2公切线, B、C 为切点,连心线1分别交 、 于 M、N,Q 是线段 MN 上一点,连结 BQ、CQ ,则BQ 与 CQ 是否垂直?2O1ON MQBC图 3事实上变题 1 结论成立,变题 2 结论不成立。问题 2:设如图 4,O 是边长为 a的正方形 ABCD 的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 O 点处,并将纸板绕 O 点旋转,求证:正方形 ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a。分析:设扇形与正方形边交于 M、N,连结 AO,DO,易证 AM D,则 AMD,因此,被覆盖部分为 ANAB CDOMN图 4反思:对正方形有结论成立,若改为正三角形,正五边形或正 n边形会如何?变题 3:如图 5,将一块半径足够长的扇形纸板圆心放在边长为 a的正三角形或边长为 a的正五边形中心 O 点处,并将纸板绕 O 点旋转,当扇形纸板的圆心角分别为多少度时,正三角形和正五边形被覆盖部分总长为定值分析:由圆及正三角形的对称性,可知 2AMN,则2aAMBNC因此, 90O,因为 30O,所以 160,即圆心角 120。同理可得正五边形中圆心角为 7变题 4:将一块半径足够长的扇形纸板圆心放在边长为 a的正 n边形的中心 O处,并将纸板绕 O 点旋转,当扇形纸板的圆心角分别为多少度时,正 n边形的边被纸板覆盖部分总长度为定值 。AB CONM 1 2?5ABC DEOM N分析:因为正 n边形内角为 2180n,在理解了上面几种情形后,不难求出扇形圆心角为 36180n二、反思问题的结论不改变问题条件,对问题结论做进一步反思,看能否有其他或更一般的结论。问题 3:已知 1OA和 2外切于 P 点,直线 AB 切 1OA于 A,切 2于 B,的半径为 R, A的半径为 r(Rr) ,求证: 4Rr分析:这是圆与圆位置关系中的一个基本图形,连结 AP 并延长交 2于 D,连结 BP 并延长交 1O于 C,连结 AC,BD易证ABP 为直角三角形,因此APC= BPD=90。所以 AC、BD 为直径,再证 RtABC tD,可得 24ABCDRr解完本题后,做进一步反思,还能得到什么结论? 注意到ABD,ABC 均为 Rt,AP,BP 为高,结合勾股定理和射影定理可得到 22PP PABPBD ABDr PABPCA C 改变辅助线添法,变化如图 7,则可以得到 RtAEQF,进一步思索,还可以得到一些结论。 变图如图 8,可证PACBPC,进一步可得 2PCB在数学学习中,对一些有意义的问题若都能尝试着做这样的反思,则能达2rPARr, 所 以1O2OABE FPQ图 71O2OBCDP图 61O2OBCP图 8AA到“通一题会一片” 。三、反思相关联的知识俗话说:牵一发而动全身。数学知识是一个完整的体系,许多知识是相关联的,认真反思这种联系,则能做到举一反三。例如,二次三项式 2axbc,二次函数 2yaxbc,二次不等式 2axbc 0(0) ,二次方程20axbc就有密切的联系,通过方程的解,韦达定理,二次函数图象就能有机地把它们串起来。因此,学习了这些知识之后,应该及时反思它们之间的联系,做到举一反三。又例如:相交弦定理、切割线定理、切线长定理可以通过 2PABdr(圆幂定理)联系起来。四、反思解题方法美妙的方法是师生在解决问题时的共同追求,不满足于现有解法,是思维积极活动的体现。问题 4:已知 210a, 4210b且 a 2b,求21a的值解法一:用求根公式,分别求出两方程根,得52或 52, 25或 25( 2b0,舍去)由于 1a 2b,所以当 1a时, 21b225解法二: 1a和 2b可以看作方程 210x两根,又因为 5A0,所以方程有两个不等实根,又已知 a b,则由根与系数关系得21ba,即221解法三:由于 20, 420b,两式相减,得41ba,因式分解得 22()1)0ba2 21a 即 2211

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