差分方程例子

87第八章 差分方程模型差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。8.1 个人住房抵押贷款随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。1998 年 12 月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如下表所列:表 8.1 中国人民银行贷款利率表贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上利率 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整。表 8.2 和表 8.3 分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元) 还款额的部分数据 (仅列出了五年)。表 8.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年利率 6.12 6.225 6.390 6.525 6.660表 8.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年月还款（元） 到期一次还清本息总和（元） 10612.00444.3610664.54305.9911015.63237.2611388.71196.4111784.71一个自然的问题是,表 8.2 和表 8.3 是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？我们以商业贷款 10000 元为例,一年期贷款的年利率为 6.12,到期一次还本付息总计10612.00 元,这很容易理解。然而二年期贷款的年利率为 6.225,月还款数 444.36 元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。设贷款后第 k 个月时欠款余额为 Ak 元，月还款 m 元,则由 Ak 变化到 Ak+1,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。但时间仅过了一个月,当然应该是月利率,设为 r,从而得到=r -mk1或者Ak+1=(1+r)Ak-m , k=1，2 (8.1)88初时条件A0=10000 (8.2)这就是问题的数学模型。其中月利率采用将年利率 R=0.06255 平均。即r=0.06255/12=0.00512125 (8.3)若 m 是已知的,则由(8.1) 式可以求出 Ak 中的每一项,我们称(8.1)式为一阶差分方程。模型解法与讨论（1）月还款额二年期的贷款在 24 个月时还清,即A24=0 (8.4)为求 m 的值,设，k=1,2, (8.5)1kB易见 kkr)(1于是导出 Bk 的表达式Bk=B1(1+r)k-1, k=1,2, (8.6)由(8.5)式与(8.6)式得Ak-A0=B1+B2+Bk=B11+(1+r)+(1+r)k-1=(A1-A0) =(1+r)A0-m-A0 r)(1(从而得到差分方程(8.1)的解为Ak=A0(1+r)k-m(1+r)k-1/r, k=1,2, (8.7)将 A24,A0,r 的值和 k=24 代入得到 m=444.36(元), 与表 8.3 中的数据完全一致 ,这样我们就了解了还款额的确定方法。当然还款额表的制定依赖于年利率表,而后者又是怎样制定的呢？尽管我们无法获知银行方面的各种考虑,但还是可以通过比较分析得出一些结论。首先注意表 8.2 商业性贷款利率中有两个数据与中央银行公布的表 8.1 中的数据相同,不过相应的贷款年限则放宽了一档:6.12是一年期,而在表 8.1 中是上一档半年期,6.66是五年期而在表 8.1 中是上一档三年期。其次再考察表 8.2 商业性贷款二、三、四年期的利率,我们把这三个数字是如何得到的问题留给读者。依据这两个结论,请读者自己制定出住房商业性贷款直至二十年的利率表和还款额表。(2)还款周期我们看到个人住房贷款是采用逐月归还的方法,虽然依据的最初利率是年利率。那么如果采用逐年归还的方法,情况又如何呢？仍然以二年期贷款为例,显然,只要对(8.7)式中的利率 r 代之以年利率 R=0.06255,那么由 k=2,A2=0,A0=10000,则可以求出年还款额应为=5473.87(元)m这样本息和总额为2 =10947.73(元)远远超出逐月还款的本息总额。考虑到人们的收入一般都以月薪方式获得,因此逐月归还对于贷款者来说是比较合适的。读者还可以讨论缩短贷款周期对于贷款本息总额的影响。（3）平衡点89回到差分方程(8.1),若令 Ak+1=AK=A,可解出A=m/r (8.8)称之为差分方程的平衡点或称之为不动点。显然,当初值 A0=m/r 时,将恒有Ak=m/r,k=0,1,。 在住房贷款的例子里,平衡点意味着如果贷款月利率 r 和月还款额 m 是固定的,则当初贷款额稍大于或小于 m/r 时,从方程(8.1)的解的表达式(8.7)中容易看出，欠款额 Ak 随着 k 的增加越来越远离 m/r,这种情况下的平衡点称为不稳定的,对一般的差分方程Ak+1=f(Ak), k=0,1,2， (8.9)当初始值稍大于或小于平衡点的值 A 时,若, (8.10)klim则称 A 为稳定的,否则称 A 为不稳定的。判别平衡点 A 是否稳定的一个方法是考察导数:)(f当 1 时,A 是不稳定的。f )(f在金融乃至经济等其它领域中,还有许多问题的数学模型都可以用差分方程来表达。下面再介绍几个典型例子。8.2 养老保险养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型。通常保险公司会提供多种方式的养老金计划让投保人选择,在计划中详细列出保险费和养老金的数额。例如某保险公司的一份材料指出:在每月交费 200 元至 60 岁开始领取养老金的约定下,男子若 25 岁起投保,届时月养老金 2282 元;若 35 岁起投保 ,月养老金 1056 元; 若 45 岁起投保 ,月养老金 420 元。我们来考察三种情况所交保险费获得的利率。设投保人在投保后第 k 个月所交保险费及利息累计总额为 Fk,那么很容易得到数学模型(8.11) MNqrFpk ,2,1,)1( 其中,p,q 分别是 60 岁前所交的月保险费和 60 岁起每月领的养老金数(单位: 元),r 是所交保险金获得的利率,N,M 分别是投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(单位:月).显然 M依赖于投保人的寿命,我们取该保险公司养老金计划所在地男性寿命的统计平均值 75 岁,以25 岁投保为例,则有p0=200,q=2282;N=420,M=600而初始值 F0=0,据此不难得到(8.12) MNkrqrpNkNkk ,2,1,/)1()( 00 由此可得到关于 r 的方程如下(1+r)M-(1+q/p)(1+r)M-N+q/p=0 (8.13)记 x=1+r,且将已知数据代入 ,则只需求解方程90x600-12.41x180+11.41=0 (8.14)由方程(8.14)求得 x=1.00485, r=0.00485（非线性方程求近似解） 。对于 35 岁起投保和 45 岁起投保的情况,求得保险金所获得的月利率分别为 0.00461 和0.00413。8.3 金融公司支付基金的流动金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额 5400 万的基金,分开放置在位于 A 城和 B城的两家公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍然为 5400 万。经过相当长的一段时期的现金流动,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内,而 A 城公司有 10%支付基金流动到 B 城公司,B 城公司则有 12%支付基金流动到A 城公司。其初 A 城公司基金额为 2600 万,B 城公司基金为 2800 万。按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于 2200 万,那么是否需要在必要时调动基金?设第 k+1 周末结算时,A 城公司 B 城公司的支付基金数分别为 ak+1 和 bk+1(单位:万元),那么有(8.15)kkkbab8.01.29,210这是一个差分方程组,初始条件为a0=2600,b0=2800 (8.16)通过迭代,可以求出第 周末时的 ak 和 bk 的数额,下面的表 8.4 列出了几种情况下 1 至 12 周末两公司的基金数。表 8.4（a） 的两城支付基金表280,60k ak bk k ak bk 1234562676.0 2724.02735.3 2664.727815 2618.52817.6 2582.42845.7 2554.32847.7 2532.37891011122884.8 2515.22898.1 2501.929085 2491.52916.7 2483.32923.0 2477.02927.9 2472.1表 8.4（b） 的两城支付基金表260,80bak ak bk k ak bk 1234562832.0 2568.02857.0 2543.0 2876.4 2523.62891.6 2508.42903.5 2496.52912.7 2487.37891011122919.9 2480.12925.5 2474.52929.9 2470.12933.3 2466.72936.0 2464.02938.1 2461.9表 8.4（c） 的两城支付基金表240,30ba. 1.9.91k ak bk k ak bk 1234562988.0 24122978.6 2421.4 2971.3 2428.72965.6 2434.42961.2 2438.82957.7 2442.37891011122955.0 2445.02952.9 2447.12951.3 2448.72950.0 2450.02949.0 2451.02948.2 2451.8可以看出 A 城公司支付基金数在逐步增加,但增幅逐步减小;B 城公司的基金变化正好相反.然而,a k 是否有上界,b k 是否有下界?b k 是否会小于 2200?我们还是不能断言。解决这个问题有许多方法,下面我们借助线性代数知识来处理这个问题,将(8.15)式写成矩阵形式(8.17)kkbaba8.01291那么我们就可以得到(8.18)011.k利用正交变换（也可以利用矩阵迭代）,便可以圆满地回答前面的问题。对于本例，当充分大时，A 城公司的支付基金为 2945.8 万元，B 城公司的支付基金为 2454.2 万元。均k满足 2200 万元的最低保证金要求。 8.4 选举问题西方国家的政治生活中,选举是一件大事。随着选民人数的变化，选举的趋势会是怎样的？一直是各个政党十分关心的问题。本节我们介绍用差分方程建立一个由三个政党参加的选举问题。考虑有 三个政党参加每次的选举，每次参加投票的选民人数保持不变。通常情CBA,况下，由于社会、经济、各党的政治主张等多种因素的影响，原来投某党票的选民可能改投其它政党。为此，我们作如下假设：(1) 每次投 A 党票的选民，下次投票时，分别有 比例的选民投 政党的票，321,rCBA,每次投 B 党票的选民，下次投票时，分别有 比例的选民投 各政党的票，每1,s,次投 C 党票的选民，下次投票时，分别有 比例的选民投 各政党的票； 32,t ,（2） 表示第 n 次选举时分别投 各党的选民人数。 nzyx, CBA,每次投票的选民数变动情况见流程图 8.1。根据假设,可以得到如下差分方程组nnztysxrzy331221,1092（8.19） 其中, 。1,1,13232321 ttsr3r 3s1r21s2t 3t1t 2s图 8.1 选民变动流程图方程的平衡点满足方程ztysxrzyt332211（8.20）令 nzyxXtsrtA,321上式可以表示为矩阵形式nX1（8.21）如果给出问题的初始值，就可以利用递推方法，求出任一次选举时的选民投票情况。以下是几个实例模拟，我们将结果放在表 8.5 中，供大家参考。（i）取 4.0,2.,4.0,2.,.0,6.,2.0,5.,7.0 31321321 tttssrr，结果见表 8.5（a） 。TTzyx,78,表 8.5（a）n 0 1 2 3 4 5 6 7 8ABC2220 22210 222167800 7790 778410000 10000 10000 222197781100002222077801000022221 22222 22222 222227779 7778 7778 777810000 10000 10000 10000(ii)取 4.0,2.,4.0,2.,.0,6.,2.0,5.,7.0 31321321 tttssrr，结果见表 8.5（b） 。TTzyx1表 8.5（b）93n 0 1 2 3 4 5 6 7 8AB C13333 18000 20033 13333 11333 983313333 10667 10133210458928100272158084151000521870 22029 22116 22164 8129 7971 7884 7836 10001 10000 10000 10000 (iii) 取 4.0,2.,4.0,2.,.0,6.,2.0,5.,7.0 31321321 tttssrr，结果见表 8.5（c） 。TTzyx,1,表 8.5（c）n 0 1 2 3 4 5 6 7 8AB C10000 15500 1852520000 14500 1147510000 10000 10000201899811100002110488961000021607 21884 22036 221208393 8116 7964 7880 10000 10000 10000 10000 (iv) 取 4.0,2.,4.0,2.,.0,6.,2.0,5.,7.0 31321321 tttssrr，结果见表 8.5（d） 。TTzyx,表 8.5（d）n 0 1 2 3 4 5 6 7 8AB C20000 19000 2005020000 13000 103500 8000 96002094791339920215058511998421825 22003 22101 221568179 7998 7899 78449997 9999 10000 10000可以验证，当 时，四组初值条件下，三个政党的选票数将分别稳定在16n22222、7778、10000。进一步借助矩阵还可以证明，当 ， 2.0,5.,7.0321rr， ，如果总选民数为 40000，最终三个政党2.0,.,2.031ss 4.0,2.,4.3ttt的选票数将分别稳定在 22222、7778、10000。我们还可以借助这个模型,分析选民数有变化的情况。8.5 简单的种群增长模型假设在一个自然生态地区生长着一群鹿,在一段时间内,鹿群的增长受资源制约的因素较小。试预测鹿群的增长趋势如何?下面将建立一个简单的鹿群增长模型。假设:（1）公、母鹿占群体总数的比例大致相等,所以本模型仅考虑母鹿的增长情况；（2）鹿群中母鹿的数量足够大,因而可近似用实数来表示；（3）将母鹿分成两组:一岁以下的称为幼鹿组 ,其余的称为成年组；（4）将时间离散化,每年观察一次,分别用 表示第 n 年的幼鹿数及成年鹿数，且nyx94假设各年的环境因素都是不变的;（5）分别用 b1,b2 表示两个年龄组鹿的出生率,用 d1,d2 表示其死亡率。出生率、死亡率为常数，记 s1=1-d1, s2=1-d2;（6）鹿的数量不受自然资源的影响;（7）刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为 s， t1=sb1, t2=sb2。根据以上假设,建立模型如下n=0,1, (8.22)nnysxyt21或写成矩阵形式(8.23)nnyxstyx21令un= , A= 。yx21st则(8.23)式可表示为(8.24)n1于是可得到un=Anu0也即(8.25)021yxstyxnn其中 x0,y0 分别是初始时刻的幼鹿数与成年鹿数。的解法n假如 A 可以对角化,先将 A 对角化,如不能对角化,则将其化成约当标准型。对于本例,可作如下处理,令0I得到特征方程(8.26)0)(12212stst判别式 04t特征方程(8.26)有两个相异的实根 ,因此 A 可以对角化。对应的特征向量分别,)(2为, 。Ts)(121Ts,12由此得到A= (8.27)11s2101212s因而An= 1212sn2101212s95代入(8.25)式得=nyx1212sn2101cnnss2112)()(21c也即n (8.28),)()(2112nnnscycx 其中(8.29)01212yxsc故解为(8.30) ,1, ,)()(; 22114321022scscyyx最后,我们利用(8.30)式对下面一组数据进行验证x0=800,t1=0.24,s1=0.62 ; y0=1000,t2=1.2,s2=0.75 。经计算得46.3921将这组数据代入（8.29）得789.1302c由（8.30）式得 x 1，x 2，x 3， ，x 6=1.392，1.829，2.596，3.602，5.03，7.011,y 1，y 2，y 3， ，y 6=1.246, 1.798, 2.482, 3.471, 4.837, 6.746,模型分析该模型没有考虑资源的限制，所以当鹿群的增长接近饱和状态时，模型需要修正。读者可以作进一步考虑。8.6 Leslie 人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用前面提出的差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20 世纪 40 年代提出的 Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。模型假设(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为 1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变化。假设女性最大年龄为 S 岁，将其等间隔划分成 m 个年龄段（不妨假设 为 的整数Sm倍） ，每隔 S/m 年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;96(2) 记 ni（t）为第 i 个年龄组 次观察的女性总人数，记 n（t）=n 1（t ） ，n 2（t） ，tn3（t） ，nm（t） ， T。第 i 年龄组女性生育率为 bi（注：所谓女性生育率指生女率） ，女性死亡率为di，记 si=1-di，假设 bi，d i 不随时间变化;(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响 ;(4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。建立模型与求解根据以上假设，可得到方程n1(t+1)= tmiitb1)(i=1,2., -1。 t+1)1tstii写成矩阵形式为 图 8.2 存活率示意图n（t+1）=Ln（t） ，其中，L= 001211mmssbb （8.31）记n（0）=n 1（0） ，n 2（0） ，n m（0） T （8.32）假设 n（0）和矩阵 L 已经由统计资料给出，则n（t）=L tn（0） t =1，2，为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：(i) si 0，i=1，2，m-1;(ii) bi ，i=1，2，m，且 bi 不全为零。易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i） 、 （ii）下，下面的结果是成立的：定理 8.1 L 矩阵有唯一的单重正特征根 ，且对应的一个特征向量为0=1，s 1/ ，s 1s2/ ，s 1s2 sm-1/ T *n 10（8.33）定理 8.2 若 是矩阵 的任意一个特征根，则必有 。1 0定理 8.3 若 第一行中至少有两个顺次的 ，则L,1ib（i）若 是矩阵 L 的任意一个特征根，则必有 。1 0197（ii） = ， ttn0/)(lim*c（8.34）其中 c 是与 n（0）有关的常数。定理 8.1 至定理 8.3 的证明这里省去。由定理 8.3 的结论知道，当 t 充分大时，有(8.35)*)(0nctt定理 8.4 记 =bis1s2si-1，q（ ）= / + / 2+ / m，则 是 L 的非零特征根的充1分必要条件为q（ ）=1 （8.36）所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按 1 的比例增长。由（8.35）式可得到如下结论：(i) 当 1 时，人口数最终是递增的；(ii) 当 1 时，人口递增；当 R1 时，人口递减。Leslie 模型有着广泛应用，这里我们给出几个应用的例子，供大家参考。动物种群管理随着种群数量的增长,由于受食物、生存空间等自然资源的制约,种群的总量不能无限制地增长,增长比例会逐渐减小。而且让动物群体自然地增长,而不去捕获它,也会造成一种资源的浪费,但是过度的捕获会导致动物种群趋于灭绝。那么我们应该采取怎样的捕获策略呢?现在我们来考虑一个牧场或饲养场生长的一个动物种群,从经济的角度出发，我们总是希望尽可能多的饲养动物，但是，如果饲养的动物太多的话，牧场的条件又不许可。我们不妨假设动物的数量在牧场规模许可的范围内时，其食物、生存空间等自然因素对动物群体的增长不构成较大的制约。下面我们将给出一个持续稳定的的屠宰方案,进行周期的屠宰。假设每次屠宰都在生育期和哺乳期之后进行,每次屠宰数量相同,屠宰后的动物数量与上一次屠宰后的数量相同。类似于 Leslie 模型,我们仅考虑雌性动物数量的变化。仍然采用前面的一些记号,且假设第 i 个年龄组的动物按 hi 的比例屠宰,称其为第 i 组的屠宰率,并称矩阵 H=diag( )为屠宰矩阵。则各组的动物屠宰数量可用向量mh,21表示。根据持续屠宰策略的要求得到方程)(tHLnLn(t)-HLn(t)=n(t) (8.38)98上式表明 n(t)是矩阵 L-HL 的特征值为 1 所对应的特征向量。容易算出L-HL= (8.39) 0)1()1(00)( )1()(1232 1mmmshshs bhbhb 从上式可以看出,矩阵 L-HL 也是 Leslie 矩阵,因此该矩阵有正特征根 1 的充要条件为(1-h1) b1 + b2s1(1-h2) + b3s1s2(1-h2)(1-h3) + + bms1 s2sm-1(1-h2)(1-h3)(1-hm-1)=1 (8.40)该式表明,如果 h1,h2,hm 满足(8.40) 式,就能保证种群数量的稳定，此时对应的一个特征向量为n*=1, s1(1-h2), s1s2(1-h2)(1-h3), , s1s2sm-1(1-h2)(1-h3)(1-hm)T (8.41)下面考虑在任给一个初始年龄分布向量 n(0)=n1(0),n2(0),nm(0)T 后,怎样确定 hi。根据(8.40)式,令kn*= )0(n解得(8.42)mishkiii ,32),()1(1因此(8.43)minshiii m,32),0(/)(111要使解出的 hi 满足 0h i1,根据(8.43)式,只要初始年龄分布向量满足insiimi ,32),(11据此得到定理 8.5 设 n(0)=n1,(0),n2(0),nm(0)T 是一个初始年龄分布向量,如果 n(0)的分量满足99(8.44)minsimi ,32),0()(1则可以唯一确定一组 hi, ,其中(8.45),32),0(/)0(1/1minshsiii m满足方程(L-HL)n(0)=n(0)其中,L 是 Leslie 矩阵,H 为屠宰矩阵。最优年龄分布向量的确定从定理 8.5 可知,任意给定一组初始年龄分布向量,可以唯一确定一组 hi 。(8.45)式告诉我们,不同的初始年龄向量分布所确定的屠宰矩阵是不一样的。下面考虑怎样的初始年龄分布向量,可使屠宰数量最大。也就是说,当动物总数控制在某一范围内时,使每年的屠宰的数量为最大。假设动物群体的规模为 N,即当动物总数不超过 N 时,动物群体的增长几乎不受环境因素的制约。设初始年龄分布向量 n(0)=n1(0),n2(0),nm(0)T,则在下一次屠宰前,年龄分布向量为Ln(0)= T)0(),0(,)0( 1211 mii ssb由于动物的总数不能超过 N,即+ = N miinb1)0(1)(iismiinsb1)0(这里取 sm=0,各组动物的屠宰量可以由向量 Ln(0)-n(0)唯一确定,即HLn(0)=Ln(0)-n(0)屠宰总数 M 为M= + -n1(0)- iinb1)0(1)(miis 12)0(min（8.46） 最优年龄分布向量问题归结为如下线性规划问题 miiiiiimi iiNnsbmsnsb1111)0(,32,)(0(ax(8.47)此处我们不打算介绍线性规划问题的解法,有兴趣的读者可以参阅文献 15。8.7 差分形式阻滞增长模型100我们在前面介绍的都是线性差分方程模型,对这类方程的求解与稳定性分析是比较容易的。下面介绍的模型涉及非线性差分方程，对于一般的非线性差分方程，求解与稳定性分析都是比较困难的，通常需要借助计算机给出数值解。本节我们通过几个例子说明，非线性差分方程具有线性差分方程所没有的有趣的性质，比如，周期分支，混沌现象等。在第七章中，我们曾用微分方程形式的 Logistic 模型来描述种群增长，即)1(mNyrdt（8.48）但是，我们在处理实际问题时，通常用离散化的时间来研究会觉得更加方便，也能更好地利用观测资料。例如有些生物每年在固定的时间繁殖，通常人们对动物种群的观测也是定期进行的。于是需要阻滞增长的离散模型。将方程（8.48）离散化得到,21)1(1nNyrymnn（8.49）记 )1(),)1/(, xbfryxrbn（8.50） 则（8.49）式可以简化为,2)(1xfnn（8.51）上式是一阶非线性差分方程。在实际应用中通常没有必要找出该方程的一般解，因为给定初值后利用计算机就可以方便地递推出 。ny事实上，在应用差分形式的阻滞增长模型（8.49）或者（8.51）时，人们最关心的是时 或者 的收敛情况，即差分方程平衡点的稳定性问题。nnyx方程(8.48)有两个平衡点, 。 是不稳定的平衡点， 是稳定mNy*,00y mNy*的平衡点，即不论 和 取什么值都有：当 时，方程的解 。那)0(r)(mt t)(么该方程的差分形式的方程（8.51）是否也有同样的性质呢？下面的分析将会看到，情况并不完全一样。对于差分方程（8.51） ，因为 ，所以 。为了求（8.51）式的平衡点，令0r1b)1()xbfx容易得到其平衡点为 ，其中非零平衡点 所对应的就是（8.48）式的非/*,0 *x零平衡点 。为了分析 的稳定性，我们考虑（8.51）的局部线性化方程*N*)()(1ffn（8.52）关于 的局部稳定性有如下结论：x定理 8.6 若 ， 是方程（8.52）的稳定平衡点，也是方程（8.51）的稳定平衡点；1|*)(|fx若 ， 是方程（8.52）的不稳定平衡点，也是方程（8.51）不的稳定平衡点。|xf101因此 在分析方程稳定性的过程中具有重要作用。1|*)(|xf由 ，容易得到 。|f 3b根据定理 8.6，我们有：当 时， （8.51）式所给出的非零平衡点 与（8.48）式所给出的非零平衡点的31b *x稳定性是相同的，即都是稳定的，但是当 时， （8.51）式给出的平衡点是不稳定的，而3b（8.48）式 给出的平衡点仍然是稳定的，两者的稳定性并不相同。虽然 时，方程（8.51）的非零平衡点 是稳定的,即满足任意非零初值的解都x收敛到 ,但是对不同的 值，其解的收敛形式是不一样的。图 8.3 分别给出了不同 值的*xb b两种收敛形式。图 8.3 方程（8.51）有稳定平衡点31b上图对应的是 的情况，对于这样的 值，当初值 时， 关于 是单21b *),0(xn调递增趋向 的，当 时，经过有限次迭代， 的值就满足 ，以后的*x)*,(0xnx),(nx值关于 单调递增趋向 。下图对应的是 的情况，可以得到，经过有限次的迭代32b后， 的值就将会在 的左右跳动，表现为种群数围绕着 呈衰退状的上下振动。n*x *x102下面的图 8.4 给出了非平衡点不稳定的情况，即 的情况。3b图 8.4 方程（8.51）平衡点不稳定3b虽然 时，方程（8.51）的非零平衡点是不稳定的，但是方程（8.51）仍然可以求3b解，进一步计算 的值还是有一定规律的，对于某些 值， 具有某类周期性，即 包含nx bnxnx收敛到不同值的收敛子序列。下面我们通过几个例子来加以说明。倍周期收敛 利用差分方程（8.51） ，可以得到)()()(12 nnnn xgfxf（8.53）其中， 。)()()( 2bbfxg类似于（8.51）式的分析，可以得到（8.53）式的非零平衡点为bx231*,321（8.54）不难验证，当 时， ，且b132x， 是（8.53）式的不稳定的平衡点。1|*)(|xg*x，即 的稳定性相同。|)(|)( 3232f32,x此时)1()()( 3232bxg（8.55）类似于定理 8.6，我们有当 时，1|)(|)(|)(| 3232 xfxg 是稳定的平衡点； 32,x104当 时， 是不稳定的平衡点。1|)(|)(|)(| 3232 xfxg32,x据此，可以得到 的稳定条件为,613b（8.56）图 8.5 给出了方程（8.51）存在倍周期解的数值结果。 图8.5 方613b程(8.51) 存在倍周期稳定解 当 时,不再是(8.53) 的3,2x 稳定平衡点。令 )(4nnxgx（8.57）进一步分析还可以得到 4 周期解，8 周期解等形式的周期解。图 8.6 是一个 4 周期解的例子，迭代方程为（8.57）式，从图中我们可以看出，方程（8.57）共有 7 个非零平衡点，其中 3 个为方程（8.53）的平衡点，对于 ，这 3 个平衡点是不稳定的。类似与方61b程（8.53）的分析，可以得到另外 4 个平衡点的稳定性是相同的。其稳定条件为3.544 (8.58)b61图 8.6 方程(8.51)存在 4 周期稳定解54.361b按照这样的增长规律，我们可以讨论序列 的 周期的收敛情况。收敛性完全由参nx2数 确定。如果记 为 周期收敛的上限，则上面的结果给出： ，bnb2 61,30b105。更深入的分析，可以得到， 单调递增，且54.32b nb57.3limnb（8.59）当 时 就不再有任何 周期收敛情况的发生， 的趋势呈现一片混乱，7.xn2nx这就是所谓的混沌现象。图 8.7 就是其中的一个例子。图 8.7 混沌情形57.3b习题 81.已知一种昆虫每 2 周产卵一次,6 周以后即死亡,孵化后的幼虫 2 周后成熟,平均产卵 100 个,4 周龄的成虫平均产卵 150 个。假设每个卵发育为 2 周龄成虫的成活率为 0.09,2 周龄的成虫发育成 4 周龄成虫的成活率为 0.2。(1)假设开始时,02 周,24 周,46 周龄的昆虫数目相同 ,计算 2 周、4 周、6 周后各种周龄的昆虫数目；(2)讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的变化趋势,各周龄的昆虫的比例是否有一个稳定值；(3)假设使用了一种除虫剂来控制昆虫的数目,已知使用后各周龄昆虫的成活率减半,问这种除虫剂是否有效。2.(1)若某种群年龄结构矩阵及初始个体数为180)(,3/105.6XP讨论这个种群的年龄分布的发展趋势；(2)若01)(,2.01.XP时间单位为 2 周,讨论这个种群的年龄分布与个体总体数的发展趋势。3.著名哈德逊河的鲈鱼生活在大西洋,但是每年游到哈德逊河产卵。由于哈德逊河流域工业的发展引起重大的污染,使得河水温度升高,影响了产卵率和成活率。为了了解工业污染对鲈鱼的影响,将鲈鱼分成 16 个年龄组:01 年(卵),12 年(幼鱼)、2 龄鱼、3 龄鱼、, 15 龄鱼已知 515 年龄的鱼为成年鱼,允许捕捞 315 年龄的鱼。考虑自然死亡及捕捞等原因,得各年龄组的成活率 及每个雌性个体所产雌性后代 的统计资料如下:kPkF106年龄组 0 1 2 3 4 5 6 7 2.1210-5 0.3965 0.6000 0.8000 0.6387 0.5688 0.5688 kP0.5688 0 0 0 0 0 80110 162700 212700 F年龄组 8 9 10 11 12 13 14 150.5688 0.5688 0.5688 0.5688 0.5688 0.5688 0.5688 0.5688k267900 326400 386000 444500 499700 549600 592200 592200已知 1970 年各年龄组的鱼数为（千条）TX 087.1,2946.,57.234,9.71,8.243,716,2,4310,2.5)0(7(1)在所给条件下，求 矩阵的模最大特征值及稳定的年龄分布；L(2)假设生态条件不变，讨论何时鲈鱼达到稳定的年龄分布（精确到小数点后 2 位） 。(3)假设由于工业污染使卵的成活率降低 25%,幼鱼的成活率降低 15%，成年鱼的成活率降低 10%，对鲈鱼年龄分布结构进行特征分析，并预测种群的发展趋势：经过几年后，可捕捞的鱼数减半；(4)能否将模型简化?对简化的模型进行特征值分析,并讨论达到稳定的年龄分布的时间.将所得结果与(1)、(2)进行比较。 第九章 变分法模型变分法是研究函数极值问题的数学方法，本章先介绍变分法的基本知识，然后再介绍几个简单的用变分法解决的数学模型。1079.1 变分法基本知识基本概念泛函 设 S 为一函数集合，若对于每个函数 有一个实数 J 与之对应，则称 J 是定义在Stx)(S 上的泛函，记 为 ,S 称为 的容许集。)(txJJ泛函最简形式 21),(tdtxF（9.1）泛函极值 对任意与 接近的 ，都有)(0tx)(txS)(00txJtJ则称泛函 J 在 有极小值（极大值） 。t容许集 S 中函数距离 |)(|,)(|ma)(, 00021 txttxttxdt 泛函变分 记 称为函数增量，由它引起的泛函增量 )()(0ttx)()(0txJtxJ如果上式可以表示为 ,(0rL其中 是 的高阶项，则 称为泛函在 的变分，记为 。而)(,(0txr)t )(0tL)(0tx)(0txJ就称为泛函 J 的变分。)tJ泛函变分的重要形式0|)()( txttx（9.2）极值与变分 若泛函 J 在 达到极大值或极小值，则0t=0 00|)()(xJx（9.3）泛函极值的必要条件实际应用中，我们经常遇见的是泛函最简形式，下面主要讨论泛函最简形式的极值必要条件。设21)(,)()(,2xttxdtFJ（9.4）其中 F 具有二阶连续偏导数。容许函数集 S 为满足（9.4）初值条件的所有可微的二阶函数集合。则 J（ ）在 取得极值的必要条件为 满足下列欧拉方程)(txt )(tx108（ ） 0 xFFxtx 0xFdt（9.5）在推导（9.5）式时，用到如下引理：引理 设 是t 1，t 2内的连续函数，若对于任意的充分光滑函数 ，满足 ，)(g )(t0)(21tt且有210)(tdtg则在t 1，t 2内 。0)(欧拉方程可以推广到含两个或两个以上未知函数的情况，如21 )(,)(,()(,t dtutxtFutxJ（9.6）的欧拉方程是0uuxxFdt（9.7） 横截条件在考虑泛函极值时，如果容许函数 的一个端点 t=t2 不固定，而是在一条曲线)(tx上变动，于是端点条件变为)(tx)()(221ttx（9.8）)(ttx)(t1t2t2dt图 9.1 右端点在 上 )(x欧拉方程为 0|)(,)(021 txxxFtdF（9.9）上式中的第二式称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊形式：109（1） 垂直于横轴，t 1 固定但 自由变动，此时横截条件可简化为)(tx)(2tx0|2F（9.10）（2） 平行于横轴， ，横截条件变为)(tx=0 2|tx（9.11）条件极值与 Hamilton 函数下面给出条件泛函极值的相关结果，考虑如下问题：)(,()21tuxtftxdtFuJt（9.12）式中 是控制函数， 是状态函数。问题要求在条件 下，求泛函 J 的极值。)(tu)(t Stu)(用拉格朗日乘子法化条件极值为无条件极值，引入乘子函数构造泛函dtxtftuxtFtuxIt ),()(),)(,21 （9.13）记 （9.14),(),(),( xutfuxtuxtH）H 称为哈密尔顿函数 , （9.13 ）式可以写成dtxuxIt21)()(（9.15）条件极值（9.12）式与无条件极值问题（9.15）式等价。其欧拉方程为0)()( uuxxHdtH（9.16）也即0)(uHtx（9.17）110于是条件极值（9.12）问题归结为求解未知函数 的微分方程组：)(,)(tutx),(0)(uxtfHt（9.18）最优控制函数 和最优状态函数 由方程组（9.18）在 的端点条件下解出。)(tu