数字信号第5章答案

EDITED BY LB5.1 证明随机变量的均值的线性性质即式(5.16)和式(5.17)。证明E( )= = +mnyxdxymnpyxmnx),()(, dxymnxpmny),(,dpnyx,其中=mnyx),(, yyxnpmn|),(,=dpn, xn|,由于的概率 的概率,),(, mnyx yxmn n),(nxP的概率 的概率,pn ymmy的概率0,),(, mnyx yxmn的概率0,n 所以dyxpmny),(, ),(),(nxpxnmnyx),(, ),(),(mymy最后得E = + =E +E ndxnpx),(dypm),(nxm另一方面，有Ea = =a =aE nxanx),(nx),(n故随机变量的均值具有线性性质。5.2 已知 x(n)和 y(n)是不相关的两个随机信号，它们的方差分别是 和 ，求 w(n)=x(n)2xy+y(n)的方差 。2根据随机信号的均值的线性性质，得到yxx mnyExnyxEnm)()()()(EDITED BY LB 222 22 22 )()(2)()()( ) ()( yxyxyxyxyx mnEmnEnyxEm由于 x(n)和 y(n)是不相关的两个随机信号，所以在上列最后一个式子中yxxn)()(因此2 22222 22222 )()( )()()()(yx yxyx yxyxmnEnEy 5.3 设有 3 个白噪声序列 x (n)、x (n)和 x (n)，它们分别在区间(-q,0)、(-q/2,q/2)和(0,2 )123 上呈均匀分布。(1) 画出它们的概率密度函数图形。(2) 计算它们各自的均值。(3) 计算它们各自的方差。解(1) 、 和 的概率密度函数分别为1()xn23()xn1,0()xqp其 它2,|0),所以式（2）成为EDITED BY LBEx(n)u(n+m)= (3)2(0),hm由题给差分方程可求出系统函数pkkzazH1)(根据初值定理，有（4）11)()0(limlipkkzz zaHh将式（4）代入式（3） ，得Ex(n)u(n+m)= (5)2,0将式（5）代入式（1） ，最后得pkxx kmRa1)()( 2,0这就是 x(n)的自相关序列 应满足的方程式。(x5.12 有一线性非移变系统，其单位冲激响应为 h(n)= ,若在该系统输入2sin()00,端作用一个离散随机信号 x(n)，则在系统输出端得到 y(n)。(1) 求输出信号 y(n)的自相关序列。(2) 求输入信号 x(n)与输出信号 y(n)的互相关序列。(3) 证明(2)所算得的互相关序列是奇序列。(4) 若用 x(n)和 y(n)构成一个复序列 (n), (n)=x(n)+jy(n)请计算 (n)的自相关序列。(5) 求用 (n)的功率谱。解：(1)首先求 h(n)的傅里叶变换)(jeHnnjeh)( 212)/sinnj12)/(sinjeEDITED BY LB 21)cos(nnje12)cos(nje 1)(nnj1)(nj 1)cos(nenjjj 21i)(nnj 1)si()(n1)si(n其中 1 |,2i)(n 1)si(n,0,2因此，当 时0jjeHj )2()(即)(j,0j由此得到 1|jeH由于 y(n)的功率谱 与功率谱 有以下关系：)(jyS)(jxeS )(jyeSjjej 2|jH)(jxeS )(jx且功率谱与自相关序列之间有傅里叶变换关系，即)(jyeSmnjyeR)(EDITED BY LB)(jxeSmnjxeR)(所以，最后得到)(y)(x(2)x(n)与 y(n)的互相关序列Ex(n)y(n+m) Ex(n) )(mRxy kkmnh)() knxEh)()( kxkmR)()(3)因 x(n)是实序列，有)(x)(xh(n)是奇序列，即h(n)h(n)所以 )(mRxkxkRh)()xkmRh)() kx)()kx)() Ry即(2)所算得的互相关序列是奇序列。(4) 的自相关序列为)(nE E(x(n)+jy(n)(x(n+m)-jy(n+m)mR)()*mnEx(n)x(n+m)+Ey(n)y(n+m)+jEy(n)x(n+m)-jx(n)y(n+m) )(x)(Ry)(jyx)(mRjxy将(1)和(3) 的结果，即 和 代)(x)(mRyx入上式，得 2 j2 2 j)(m)(x)(xy)(xkxkh(5)因 0，所以 0，于是 的功率谱为xynEDITED BY LB)(jeSmnjxeR)(利用(4)的结果，有2 j2 2 j2)(jemnjxe)(mnjxyeR)()(jxeS)(jxye利用(2)的结果，有)(jxyS)(jH)(jxS故 2 1j jejeje0,4(),0jxS5.13 有一线性非移变系统，它有两个输入端 1、2 和一个输出端，从输入端 1 至输出端的单位取样响应为 h (n)，从输入端 2 至输出端的单位取样响应 h (n)。当两输入端分别作1 2用有互不相关的两随机序列 x (n)和 x (n)时，试证明：它们产生的各自对应的输出1y (n)和 y (n)也是不相关的。12解：因为是线性非移变系统，所以有)(1nkknxh)()1)(2yl l)(2因此， 与 的互相关序列为1n2E E( )( )(1y2mkknxh)()1l lmxh)()2 kl lEl)()()(2121由于 和 互不相关，因此上式中有)(1nx2E E E k)lm)(1knx)(2lmx所以E )(2y1EDITED BY LB kl lmxknElh)()()(2121E E kx)()1l lh)()2E E 1ny2m所以 和 不相关。)(5.14 有一线性移不变系统，其单位取样响应为 h(n)，它由单位取样响应分别为 h (n)和1h (n)2的两个子系统级联而成。设系统输入端作用有一个白噪声序列 x(n)，第 1 个子系统的输出是 y(n)，第 2 个子系统的输出( 也是整个级联系统的输出)是 w(n)。设 x(n)的均值为零，方差为 。x(1) 以下 3 个关系式是否都正确，为什么？(a) 2yx021)(nh(b) 2y02)(n(c) 2x02)(nh解：因为 x(n)的均值为零，所以 y(n)的均值也为零，因此E 2y)(E( )( )01)i inxh01)(j jnxh 021)()i iE jii lnxiEj01)()()( （1）021)(ixRhjiixjRh01)()(由于 x(n)是一个均值为零、方差为 的白噪声随机信号，所以2x)(x2xEDITED BY LB0，)(jiRxji将上二式代入式（1） ，得2yx021)(ikh所以式（a）是正确的。根据式（1）的结果，可以得出第 2 个级联子系统 的输出 的方差，即)(2nhn （2）202)(kyRhjiiyjiRkh02()虽然 x(n)是一个白噪声随机信号，但是，第 1 个级联子系统 的输出，即)(1nh第 2 个级联子系统 的输入 y(n) ，在一般情况下不是白噪声)(2nh01)(kknxh随机信号，因此，在式（2）中的 和 具有以下性质)(yRjiy2xjijiy,0)(所以题中给出的式（b）不正确。题中给出的式（c） ，表示整个系统 h(n)的输入 x(n)和输出 的方差之间的关)(n系。由于 x(n)是白噪声随机信号，h(n)是线性移不变因果系统，所以式（ c）是正确的。(2)设 h (n)=a u(n)，h (n)=b u(n)，这里，|a| 则 经过周期延拓后不会发生混)(jaxT/)(jSaxEDITED BY LB叠失真，因而能够不失真地由 得到 ，即有)(jxeS)(jSax ，)(jxeS)(1Tjax|5.16 已知连续时间随机信号 x (t)的功率谱如图 P5.16 所示，以周期 T 对 x (t)等间隔取样a a得到离散时间随机信号 x(n)=x (nT)。01()ajXse0(1) 求 x(n)的自相关序列 R (m)。x解： 0 01()()()21sin2aajmTxxxjmTRSeded(2) 为了使 x(n)是白色随机序列，应如何选择 T？解：若 ，k 是正整数，则上式化为00sin()()()xmR这是白色随机序列的自相关序列的形式。因此，只要取样周期 T 是 的整数倍，0/那么 x(n)就是白色随机序列。5.17 假设连续时间随机信号 x (t)的功率谱如图 P5.17 所示，重做 5.16 题。aEDITED BY LB01()ajXse0解：x(n)的自相关序列为（1）11()()()()()()()px kpkkxRmEnxExnamunakuxn式（1）右端第二项（2）020 02()()()1)(ll lEnumEhulnmhnl 由于 h(n)是因果系统，即满足条件 h(-m)=0(m0),所以式（2）成为（3）2(),()0hmExnu由题给差分方程可求出系统函数1()pkkHzaz根据初值定理，有（4）1(0)lim()lipzzkkhaz将式（4）代入式（3） ，得（5）2,0()Exnu将式（5）代入式（1） ，最后得EDITED BY LB21,0()()pxkxmRma这就是 x(n)的自相关序列 应满足的方程式。x5.18 将题 5.16 和题 5.17 推广到一般情况。设连续时间随机信号 x (t)的功率谱为 S (t)，a)(ax对 x (t) 以等时间间隔 T 取样后得到离散时间随机序列 x(n)。为使 x(n)是白色随机a0序列，讨论 S (t)和 T 应满足什么条件？)(ax5.19 设均值为零、方差为 的白噪声序列 u(n)作用于一个传输函数为 H (z)=2MA的线性移不变系统，得到输出信号 x(n)。qkkzb0(1) 写出系统的差分方程。解：求系统的差分方程根据系统函数 H (z)= 可看出单位取样响应 h(n)是有限长序列MAqkkzb0,10qnb因此 x(n) （1）)(knuhqknub0)(2) 用系统的冲激响应 h(n)表示 x(n)的自相关序列 R (m)。x解：用 h(n)表示 x(n)的自相关序列Ex(n)x(nm)(mRxE kknuh)(rrmnuh)( k)(rE)() kh)(rukrmR)(令 rkl，上式变成EDITED BY LB )(mRxkh)(lulmRk)()lulR)(kklh)(其中 Eu(n)u(n+m-l)u 2因此 （2）)(xll)(2kklh)(kkmh)(2(3) 利用系统的频率响应 H (e )表示 x(n)的功率谱 S (e )。MAj xj解：用 表示 x(n)的功率谱()jMAe由于 h(k)的自相关序列 实际上是 h(k)与 h(-k)的线性卷积，因此()khmk的傅里叶变换等于乘积。这样，对式（2）求傅里叶变换()khm与 h(-k)的傅里叶变换 的乘积。边样，对式（2）求傅里叶变jMAHe()jMAHe换，便得到（3）2 22()()()|()|j jj jxMAASe(4) 证明自相关序列满足差分方程 R (m)= x20,1,qmkbq解：由 可以求得0()qkMAkHzb)(1)huq这里 u(k)表示单位阶跃序列。因此（4）0,(),1qmkk b将式（4）代入式（2） ，得20,1,(),qmkxbRqEDITED BY LB5.20 设均值为零、方差为 的白噪声序列 x(n)作用于一个传输函数为 H (z)=2AR的线性移不变系统，得到输出随机信号 x(n)。pkkza1(1) 写出系统的差分方程。解：设系统的输入和输出信号的 Z 变换分别为 U(z)和 X(z),于是1()()ARpkkUzXzHa由上式得1()()pkkXzz取逆 Z 变换，得系统的差分方程（1）1()()(pkxnaun或1()()(pkxx(2) 证明 x(n)的自相关序列满足差分方程 R (m)= x21(),0,1pkxkxaRm解：将式（2）代入 x(n)自相关序列定义式，得（3）11()()()()()xpkpkkxxuRmEnxaunmEaRm设系统的单位取样响应为