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一、连续函数的运算法则 第九节二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与初等函数的连续性第一章 定理 2. 连续单调递增 函数的反函数在其 定义域内连续一、连续函数的运算法则定理 1. 在某点连续的 有限个 函数经 有限次 和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明 )商 (分母不为 0) 运算 , 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如 ,例如 , 在 上 连续单调递增，其 反函数(递减 ). (证明略 )在 1 , 1 上也连续单调递增 .递增(递减 ) 也 连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 3. 连续函数的复合函数是连续的 .在 上 连续 单调 递增 ,其 反函数 在 上也连续单调递增 .证 : 设函数于是故 复合函数又 如 , 且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 是由连续函数链因此 在 上连续 .复合而成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1 . 设 均在 上 连续 , 证明函数也在 上 连续 .证 :根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在 定义区间内连续例如 ,的 连续区间为 (端点为单侧连续 )的 连续区间为的 定义域为因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 求解 : 原式例 3. 求解 : 令 则原式说明 : 当 时 , 有机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 :所以运用等价无穷小的代换 , 有例 4. 求例 5. 设解 :讨论复合函数 的连续性 .故此时连续 ; 而故 x = 1为第一类间断点 .在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 6. 求函数 的连续区间 , 并求所以函数 f (x) 的连续区间为解:解 :例 7. 求内容小结基本初等函数 在定义区间内 连续连续函数的 四则运算 的结果连续连续函数的 反函数 连续连续函数的 复合函数 连续初等函数在定义区间内连续说明 : 分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5思考与练习续 ? 反例x 为有理数x 为无理数处处
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