数学专业毕业论文-基于多材料混合的物体模拟仿真研究

目录致谢 I目录 III摘要 VABSTRACTVII第一章绪论 11.1 3D打印简介 11.2多材料的3D打印 21.3相关工作 21.4本文的内容和形式 3第二章算法原理 52.1问题概述 52.2问题的数学描述 52.3弹力的定义 72.4优化过程 82.5仿真框架 92.5.1仿真基础 102.5.2欧拉隐式积分格式 102.5.3牛顿-拉弗森方法 112.6超弹性仿真 12第三章结果 133.1超弹性仿真结果 133.2算法的实验结果 14第四章总结和展望 174.1总结 174.2对未来的展望 17参考文献 19III中国科学技术大学学士学位论文摘要近年来随着3D打印技术的发展,多材料打印逐渐变成了现实.这项技术使得打印机可以在同一个模型上打印多种材料,从而体现一些特殊的性质.多材料物体的可计算模型一直是图形学研究的热点,研究者们发明了很多种仿真模型去仿真多材料物体的形变.本文提出了一个基于多材料物体的优化算法,在输入源模型和目标模型的情况下,算法通过优化我们事先设定的一些能量,可以计算出合适的材料分布和稀疏外力,使得在这样的材料分布和外力作用的情况下,源模型可以变形到尽量接近目标模型.我们的能量包括逼近目标模型,保证外力稀疏,保证体积变动不大,保证材料分布连续等.由于co-rotational框架所定义的弹力的导函数没有解析形式,本文在此处采用超弹性的Neo-Hookean模型.同时由于Neo-Hookean模型的弹力的二阶导数计算起来非常费时,为了算法的速度,本文采用拟牛顿法中的BFGS方法去优化整个目标函数.由于目标函数的高度非线性,本文采取先固定一个变量优化另一个变量,再固定另一个变量优化原来的变量的方法.为了验证结果的正确性,本文还设计了一个超弹性的仿真框架.关键词：多材料,3D打印,计算几何,模拟仿真V中国科学技术大学学士学位论文ABSTRACTAs the development of the 3D print technology in the recent years,multi material3D printing has became a reality.This technology would let printer be able to print atthe same object with several materials,which can let the object show some special prop-erty.The computational model of multi-material object is always hot issue in computergraphics research,researchers invent lots of simulation model to simulate the deforma-tion of multi-materials object.Thisarticleraisesaoptimizationalgorithmbasingonmulti-materialsobject.Asweinput the source mesh and the target mesh,this algorithm can compute proper externalforce and material distribution by optimize some energy we set in advance,in whichcase the object can deform to approximate the target mesh as well as possible.Our ener-gy include the approximation of the target mesh,the sparsity of external force,the littlechangeinvolume,thecontinuityoftheyoungsmodule,etc.Becausetheelasticforcede-finedbyco-rotationalframedoesnothaveanalyticform,weuseNeo-Hookeanmodelinhyper-elastic model here.At the same time,because of the large time cost of the compu-tation of the second derivation of the elastic force defined by Neo-Hookean model,weuse BFGS of the quasi-newton methods to optimize the objective function.For the highno-linearity of the objective function,we fix one variable to optimize another one,andthen fix another one to optimize the formal one.This article has designed a simulationframe using hyper-elastic material to prove our results correction in addition.Keywords: multi-materials,3D printing, computational design,simulationVII中国科学技术大学学士学位论文第一章绪论1.1 3D打印简介3D打印,也称快速成型技术，或增材制造（Additive Manufacturing，AM）。它是一种以三维数字模型文件为输入，使用可粘合材料如粉末状金属或塑料等，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术。传统工艺通常使用切、削、钻孔等方法去制造最终产品，可以称之为“减材”制造。与之不同，3D打印，也称增材制造技术，是在系统的控制之下，逐层地打印材料，然后再将材料堆积成型。3D打印可以制造出一些使用传统方法难以制造的复杂形状的三维曲面。如图1.1。三维打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的。现在存在着许多不同的三维打印技术。它们的不同之处在于以可用的材料的方式，并以不同层构建创建部件，以打印材料的性质和形态区分，可以分成挤压型，线型，粒状型，粉末层型，层压型，光聚合型。挤压型的打印技术包括熔融沉积式（Fused deposition modeling，FDM），线型的打印技术包括电子束自由成型制造（Electron-Beam Freeform Fabrication，EBF），粒状型的打印技术包括直接金属激光烧结（Directmetallasersintering，DMLS）、电子束熔化成型（Electronbeammelting，EBM）、选择性激光熔化成型（Selectivelasermelting,SLM）、选择性热烧结（Selective heat sintering，SHS）、选择性激光烧结（Selective laser sintering，SLS），粉末层型的打印技术包括石膏3D打印(Plaster-based 3D printing, PP)，层压型的打印技术包括分层实体制造（laminated object manufacturing，LOM），光聚合型的打印技术包括立体平板印刷（Stereolithography，SLA）、数字光处理(Digital-Light Processing, DLP)。图1.1使用传统方法难以制造的三维曲面(图片来源1 )1中国科学技术大学学士学位论文1.2多材料的3D打印随着3D打印技术的发展，多材料混合的3D打印也逐渐成为了现实。多材料的混合3D打印方式能够创造一个本身具有不同属性的产品而无需组装，其目的是通过减少制造产品的步骤来提高效率。与单一材料3D打印相比，它可以一次制造拥有有多种的功能或物理属性的产品，而不需要再把各种部件组装起来。多材料混合3D打印技术加快了拥有日益复杂部件的产品推向市场的速度，并可以精确计算所需的原材料数量，减少了生产浪费。从美观角度来说，多材料混合3D打印打印出来的模型也更加丰富多彩。图1.2和图1.3都是多材料混合3D打印的一个例子。图1.2多变扭曲六边盒子(图片来源2 )图1.3彩色的孔明锁(图片来源2 )1.3相关工作本文研究如何在给定源模型和目标模型的情况下，优化出适合的材料分布和外力分布，在给出材料分布和外力分布的同时，要保证如下几点：1:在我们计算出的外力和材料分布的作用下，源模型的实际变形结果要尽量接近目标模型。2:我们所计算出的外力应保持稀疏，否则在施加外力时会比较困难。3:我们所计算出的材料分布应保持连续，否则打印起来十分费时。4:由于我们仅仅使用两种材料,因而每个体素的杨氏模量应为两种材料之一.在这一节,我们将回顾一下最近的可编程材料的相关进展.我们的工作和最近的关于多材料打印变形模型、可编程材料、模拟仿真的研究息息相关。2中国科学技术大学学士学位论文变形物体的仿真是计算机图形学中很成熟的一个问题。其中有限元方法（Finite Element Method，FEM）是最流行的方法之一。3 和4 给出了这方面工作的一个概述。为了构建一个视觉效果好的模拟过程，我们必须选择一个合适的材料模型并且调试好该模型的参数。为了规避调参的复杂性，一些作者选择从实际物体得到材料参数。很多方法被发明出来用以测量材料的杨氏模量和泊松比5 和6 以及7 。随着高维度的所有四面体的杨氏模量材料分布优化，8 通过力和位移的测量获得了真实物体的非均匀材料分布。研究者们发明了大量用于构建预期变形行为的数据驱动材料设计方法9 和10 。本文的工作包含了最近在多材料3D打印方面的进展11 和12 和用以构造非均匀空间材料分布的物体的交互式材料设计13 。本文的工作和14 的可计算设计有些类似，但也有很多不同之处。例如，本文的的输入模型均以三维体网格作为输入，而14 的输入是以二维面网格作为输入。除此之外，本文的优化方法也和14 的不尽相同。最近一年，15 通过改变非均匀空心模型的厚度设计了一种弯曲变形方法，实现了期望的弯曲变形。16 介绍了一种允许多材料形变的可编程材料。1.4本文的内容和形式本文主要研究如何在给定源模型和目标模型的情况下，优化出适合的材料分布和外力分布。本文的结构安排如下：第一章为绪论，简要介绍了3D打印和多材料混合3D打印，并且介绍了本文的相关工作。第二章介绍本文的问题和相关约束，并且详细介绍了本文的算法和实现细节。第三章展示了本文的算法制造的结果。第四章是对本文工作的总结以及对未来的展望。3中国科学技术大学学士学位论文第二章算法原理2.1问题概述本问题的输入是源模型的四面体网格和目标形状的四面体网格，以及两种材料的杨氏模量，本文的算法也支持多种材料，为了简化起见，这里我们只讨论两种材料的情况。输出有三个，第一个是源模型的材料分布，第二个是逼近目标形状的实际变形形状，第三个是变形所需要的外力的位置和大小以及方向。图2.1基本说明了本文的工作流程。首先，我们接收两个体网格作为程序的输入，然后我们利用example-based learning方法，给出材料分布的初值，并且设置好实际变形形状的初值。然后我们输出计算结果并将计算结果导入到仿真框架中，验证我们的计算结果的有效性和合理性。我们需要考虑如下四个约束：1:在我们计算出的外力和材料分布的作用下，源模型的实际变形结果要尽量接近目标模型。2:我们所计算出的外力应保持稀疏，否则在施加外力时会比较困难。3:我们所计算出的材料分布应保持连续，否则打印起来十分费时。4:由于我们仅仅使用两种材料,因而每个体素的杨氏模量应为两种材料之一。我们利用在目标函数中加入对应的能量亦或是在优化问题加入等式约束来使得本问题的输出能够满足我们所指定的四个约束。因为各个约束的能量是互相制约的，所以调试参数也是本文很重要的工作之一。在实验的过程，我们发现优化过程中内部力应当保持为0，否则优化的过程中内部的四面体将会发生翻转，这是模拟仿真所不允许的情况。因为四面体一旦翻转，就不符合物理现实了。这样有限元仿真就和实际情况相去甚远了。2.2问题的数学描述首先我们给出一些记号。记输入的四面体网格的边界点集为B,输入的源模型的所有点的坐标构成一个向量P R3np,其中np代表顶点的数目,对应的目标形状所有点的坐标构成的向量记为t R3np.我们把实际变形结果的的所有点的坐标记为x R3np,记整个模型的杨氏模量分布为E Rnt,nt代表四面体单元的数目.记T代表整个模型的四面体单元集合.图2.1我们的工作流程5中国科学技术大学学士学位论文然后我们考虑优化问题需要加入的能量.首先要求杨氏模量,因此加入能量:ETLE,其中L为定义在四面体网格上的标量场（在此处为E）的拉普拉斯矩阵，离散拉普拉斯矩阵定义如下:(LE)i =mj=1i;j(Ei Ej) (2.1)这里i;j = 1如果四面体i和四面体j是面相邻的，其他情况i;j = 0。显然拉普拉斯矩阵L是半正定的而且是非满秩的，L的零空间是一维的，而且包含均匀分布（即所有的Ee都相同的情况），通过计算可以得到:ETLE =1 i 2来保证优化结果是稀疏的，ksparse为稀疏能量的系数。同时为了保证有限元仿真的精度,如果实际变形结果导致四面体单元的体积变化过大，那么有限元仿真的实际精度便会下降。因此我们需要变形结果保体积,因此加入保体积能量:i(V i V iprim)2.为了节约成本,我们希望尽可能少地使用柔性材料,因此加入能量:e(Ee E1)2.最后内部点的弹力应当为0,加入能量: e;e/2B feint 2。6中国科学技术大学学士学位论文下面考虑约束,唯一的约束就是每个单元的杨氏模量应当是两种材料的杨氏模量之一.在一开始，我曾经考虑过将内部点弹力为0的条件作为等式约束加进来。后来在实际的计算中发现这样会导致收敛速度过慢。原因很简单，这样做的话我们加了两个等式约束，注意到弹力同时和实际变形结果x以及材料分布E都相关，如果使用增广拉格朗日法去优化，想要两个等式约束同时成立，增广系数必须相当大。而只加入杨氏模量这一个约束的话，我们可以只在优化E的时候增大增广系数，而且由于程序使用的模型特殊性，优化E的速度相比优化x快很多。后来我发现，即便不把内力为0的条件作为等式约束加进去，单纯增大内部力对应的能量项也能达到不错的效果。所以为了速度，我舍弃了这个想法。综上所述,这个优化问题可以描述为:minE;xa1ETLE + a2 xt 2 +a3Rsparse(feint(x,E)(e B)+ a4i(V i V iprim) + a5e;e/2B feint 2 +a6e(Ee E1)2 (2.6)s.t.Ee = E1 or Ee = E2,e T (2.7)其中ai,i 1,2,3,4,5均为要调试的参数.2.3弹力的定义给定一个未变形模型和一个变形模型，我们应该如何计算变形模型上每一点的弹力呢？如果不是大变形的情况的话，我们可以直接使用胡克模型。然而一般而言，本问题中遇到的实际情况都是复杂的大变形情况。在计算机图形学中，对于大变形计算弹力的问题，我们一般有两种模型可供计算，一是超弹性模型，一是co-rotational模型。简要说明的话，超弹性模型是假设物体有一个应变势能，当物体发生应变时，物体产生的应力取决于当前能量在此处的负梯度。与之对应，co-rotational模型则是假设物体的每一小段形变都是线性的，然后逐步变形到目标形状。实际应用中，co-rotational的计算速度比超弹性模型快很多，因此在模拟仿真中，co-rotational模型有着广泛的应用。在我们的问题中，我们需要弹力对实际变形结果的坐标x和杨氏模量E的导函数用于优化，使用co-rotational模型计算这个导函数事实上是不可能的。所以我们只能选择超弹性模型。既然超弹性模型是假设物体有一个应变势能，那么根据应变势能（更准确的说是应变势能密度）的定义不同，超弹性模型也有很多种模型。大体上可以分成几何非线性和材料非线性两类。几何非线性指应变和位移的关系是非线性关系，材料非线性指应力和应变的关系是非线性关系。下面我们介绍几种超弹性模型。7中国科学技术大学学士学位论文首先还是给出一些记号。下面的应变势能密度定义都是针对单个四面体单元的。设四面体变形前四个点的坐标为Xe0,Xe1,Xe2,Xe3 R3，对应的变形后四个点的坐标为xe0,xe1,xe2,xe3 R3。定义矩阵d = xei xe0i=1;2;3，D =Xei Xe0i=1;2;3。那么变形梯度定义为Fe = dD 1。柯西格林张量定义为Ce = (Fe)TFe。拉格朗日格林张量定义为Ee = Ce I。参数为一阶拉梅常数，为二阶拉梅常数。Neo-Hookean模型:其应变势能密度的定义为：e(Fe) = (tr(Ce)3)(det(Fe) 23+2(det(Fe) 1)2。不可压缩的Neo-Hookean模型:其应变势能密度的定义为：e(Fe) =(tr(Ce) 3) + 2(det(Fe) 1)2。SaintVenantKirchhoff模型：其应变势能密度的定义为：e(Fe) = tr(Ee)2)+2(tr(Ee)2。在本文中，我采用的是Neo-Hookean模型。在给出了应变势能密度的之后，我们就可以计算单个四面体元的应变势能：We(Xe,xe) = V ee(Xe,xe)。然后将每个四面体元的应变势能加起来就得到整个物体的应变势能:W(X,x) =eWe(Xe,xe)。这样就可以定义弹力:f(x) = W(X;x)x。从中我们也可以直接得到弹力的导函数。2.4优化过程首先我们考虑初值问题。从3.1给出的优化问题来看，我们所优化的变量包括E,x，x的初值可以自然地设置成目标形状t。但是给出一个合适的E的初值并不简单。注意到我们的输入只有源模型和目标形状的体网格。因此我们要从两个体网格直接导出材料分布。一种自然的想法的是给源模型中变形较大的四面体单元赋以柔性材料，给变形较小的四面体单元赋以刚性材料。那么，如何衡量四面体单元的变形度呢？这里我们准备采用参考文献17的LSD变形度定义。为了不再累述这些符号的定义，此处我直接引用3.2中的符号，并且假设E1代表刚性材料的杨氏模量。LSD变形度的定义为:L(Fe) = L2(Fe)2det(Fe) + L2(Fe)2det(Fe)13withL2(Fe) = 1p3 Fe 2F。通过此处变形度的定义我们可以得到材料分布E的初值。然后我们需要考虑整个优化问题的优化方法。这是一个约束优化问题，而且约束为纯等式约束。在实践中，f的二阶导数求起来实在太过费时，事实上求f的一阶导数就已经不是一件简单的事情了。调试程序的过程中我发现大量的时间都浪费在求梯度的计算中，原因在于f和f的导函数的每个分量计算起来要上千次运算，即便是并行计算都非常的慢。因此为了速度我们准备采用拟牛顿法中的BFGS方法去优化这个函数。我们准备采用增广拉格朗日法去处理这个约束优化问题，由于此处我们的优化方法是拟牛顿法，如果使用较为简单8中国科学技术大学学士学位论文的二次罚函数法，当系数较大时，海森矩阵的病态性质会极大地影响我们的优化效果。此处目标函数的变量有两个：E和x。我们采取常用的方法，先固定E再优化x，然后再固定x优化E。算法2.1详细描述了我们的优化算法的主要流程。1 Initialize利用example-based learning方法给出E的初值,并且将目标形状t设为变形形状x的初值.并设置增广拉格朗日系数和的初值;2 while d =e(Ee E1)2(Ee E2)2 1 do3 while |f1 f2| 2 do4 f1 = f2;5固定E,优化x.这一步的优化可以描述为一个无约束优化问题:minxa2 xt 2 +a3Rsparse(feint(x,E)(e B) + a4i(V i V iprim)2+ a5e;e/2B feint 26我们采用拟牛顿法去优化这个能量;7固定x,优化E.这一步的优化可以描述为一个无约束优化问题:minEa1ETLE + a3Rsparse(feint(x,E)(e B) + a5e;e/2B feint 2 +a6e(Ee E1)2 + e(Ee E1)(Ee E2)2ee(E1 Ee)(Ee E2)我们采用拟牛顿法去优化这个能量;8计算f2;9 end10 = (E1 Ee)(Ee E2);11 = 10;12 end算法2.1:多材料混合问题的优化算法2.5仿真框架当我们计算出所期望的材料分布，实际变形结果，稀疏外力（此处外力即为边界上弹力的方向相反、大小相等的力）之后，需要输出结果到我们的仿真框架中用于验证结果的有效性和合理性。本节将详细叙述仿真的理论基础以及超弹性模型的仿真结果和co-rotational模型的结果对比。9中国科学技术大学学士学位论文2.5.1仿真基础仿真算法的关键在于牛顿第二定律:f = mx，变形得到:x = fm，这里x代表质点坐标对时间的二阶导数。此公式可以用于计算质点的加速度。为了便于实际计算，我们将这个二阶的微分方程分成两个一阶的微分方程:v = f(x,v)m (2.8)x = v (2.9)这个微分方程的积分形式为:v(t) = v0 +w tt0f(t)/mdt (2.10)x(t) = x0 +w tt0v(t)dt (2.11)这里v0 = v(t0),x0 = x(t0)，仿真本质意义上也就是从t0开始计算得到每个t对应的v(t)和x(t)，因此，“仿真”和“对时间积分”这两个词经常可以混用。我们用差分去逼近（2.10）和（2.11）两个式子：v = vt+1 vtt + O(t2) (2.12)x = xt+1 xtt + O(t2) (2.13)这里t是离散的时间步长。结合式（2.8）和式（2.9）我们得到：vt+1 = vt + tf(xt,vt)/m (2.14)xt+1 = xt + tvt (2.15)这便是常用的欧拉显式积分格式。由于下一个时间节点的信息可以完全由当前时间节点的状态的一个显式公式，因此这是显式格式。一个常用的使得该格式更加稳定的技巧是在式（2.13）的右边用vt+1代替vt。欧拉显式积分格式是最简单的积分方法之一，但是它有一个非常不好的缺点。显式格式只对充分小的时间步长稳定。我们定性地分析这个问题的原因，显式格式假定在时间步长之内，力f是常量，因此如果时间步长取得过大，那么力f甚至可能改变至相反的方向，这导致能量不守恒。质点在这个积分过程中获得了额外的能量，这样的过程叠加起来，最终质点可能获得相当大的能量，从而导致格式不稳定。解决这个问题的方法便是我们即将提到的欧拉隐式积分格式。2.5.2欧拉隐式积分格式在实时仿真中，例如电脑游戏，一个无条件稳定的格式意味着在任何时间步长下该格式都是稳定的，这非常重要。一种解决这个问题的方法便是使用隐10中国科学技术大学学士学位论文式积分格式。而计算机图形学中最常用的隐式积分格式便是欧拉隐式积分格式。式（2.12）和式（2.13）的显式积分格式做如下修改即可变成隐式格式：vt+1 = vt + tf(xt+1)/m (2.16)xt+1 = xt + tvt+1 (2.17)可以看出，最核心的改变在于在方程的右边使用了下一个时间节点的位置和速度代替当前时间节点的位置和速度。现在不可能通过这两个方程直接解出下一个时间节点的信息了，取而代之的是两个以下一个时间节点的位置和速度为变量的非线性方程。我们定义质量矩阵M R3n 3n为对角元为m1,m1,m1mn,mn,mn的对角矩阵。将质量矩阵代入式（2.14）和式（2.15）得到：Mvt+1 = Mvt + tf(xt+1) (2.18)将式（2.17）代入式（2.18）得到：Mvt+1 = Mvt + tf(xt + vt+1) (2.19)这个动力系统是非线性的，因为力和位置的关系一般而言是非线性的。2.5.3牛顿-拉弗森方法通常解决这样的一个系统的方法是使用牛顿拉弗森方法。这个方法从一个vt+1的猜测值开始，不断地迭代得到近似值。最后，线性化这个方程用以找到一个更好的逼近。这个过程重复直到误差降到某个容忍值以下。对实时的应用而言，多次迭代找寻精确值代价太大了。所以一般而言只线性化一次，并且使用vt作为vt+1的猜测值。牛顿第一定律指出在没有外力的作用下，速度会保持不变。因此这说明vt是vt+1很好的一个猜测值。在xt处线性化这个方程得到：Mvt+1 = Mvt + tf(xt) + xf(xt) (tvt+1) (2.20)= Mvt + tf(xt) + t2Kvt+1 (2.21)这里K R3n 3n是力f的雅可比矩阵。K包含3n个力的分量对于3n个坐标分量的所有导数。K是通过当前的质点的位置来计算的，整理上述方程得到一个标准化的线性化方程：M t2Kvt+1 = Mvt + tf(xt) (2.22)Avt+1 = b (2.23)这里A R3n 3n。这个方程可以通过共轭梯度法去解出来。右边的b则可以通过已知的信息直接计算出来。11中国科学技术大学学士学位论文2.6超弹性仿真根据2.3节所述，在超弹性模型中，弹力的定义为：f(x) = W(X,x)x (2.24)自然的可以定义2.5.3中的K：Ki;j = 2W(X,x)xixj (2.25)结合2.5节我们可以得到超弹性模型仿真的算法：1 Initialize x0,v0;2 for j = 1;j maxtime;j + + do3 compute f;4 compute K;5 compute b = Mvt + tf(xt);6 compute A = M t2K;7 solve vt+1 byM t2Kvt+1 = Mvt + tf(xt)update xt+1 by xt+1 = xt + vt+1t;8 end算法2.2:超弹性模型仿真算法12中国科学技术大学学士学位论文第三章结果3.1超弹性仿真结果首先我们展示三个使用超弹性仿真框架仿真得到的例子，用以证明我们的超弹性仿真框架是正确的。值得注意的是，由于超弹性仿真的速度太慢，以下的仿真结果中时间步长t = 0.01s，取的非常大，不过由于我们使用的隐式格式，所以一般而言是没有什么影响的。图4.1的例子是固定了左端的顶点，然后施加重力，物体在重力的作用下弯曲，其中物体为均质材料。由于我在整个系统中加了阻尼，经过足够长的时间后，物体的弯曲会停下来。图4.2的例子是固定了左端顶点，然后最右端的一层以及最左端的一层小正方体的材料为刚性材料，其余均为柔性材料。然后在最右端的四个角顶点施加和边方向相同的外力，由此来导致物体的扭曲。图4.3的例子没有固定任何顶点，最左端和最右端的一层小正方体的材料为刚性材料，其余均为柔性材料，然后在最左端和最右端共计8个角顶点上施图3.1固定左边顶点，重力作用下弯曲的例子图3.2固定左边顶点，在最右边施加4个稀疏外力使得物体扭曲的例子13中国科学技术大学学士学位论文图3.3不固定顶点，施加8个稀疏外力使得物体扭曲的例子加方向相反稀疏外力，由此来导致物体的扭曲。可以看出，仿真结果大体上还是得到了我们想要的结果，可以证明我们的超弹性仿真框架是正确的。3.2算法的实验结果在展示完超弹性的仿真结果之后，我们来证明我们的算法的有效性和合理性。我们使用co-rotational仿真框架构造了两组输入（这是为了得到的输入并不是那么好，co-rotational模型和超弹性模型有一些区别），然后将两组输入导入到我们的算法程序中，然后算法程序输出外力，材料分布，和实际变形结果。我们将外力，材料分布，源模型导入到超弹性的仿真框架中再得到仿真结果，然后对比仿真结果和实际变形结果。图4.4展示了我们的算法对扭曲情况的结果。其中的目标形状我是用co-rotational仿真框架加8个外力输入得到。在设置稀疏外力的时候，取边界上最大的10个外力。其中仿真结果那张图中，红色部分代表刚性材料，蓝色部分代表柔性材料，坐标对比的那张图中，颜色是渐变的，偏蓝色说明坐标和目标形状差距越大，偏红色说明坐标和目标形状差距越小，这里需要注意我们的算法仅仅逼近边界点，从图中可以看出，大部分点都是偏红色的，因此我们的算法还是取得了不错的结果。图4.5展示了我们的算法对弯曲情况的结果。其中的目标形状是由co-rotational仿真框架施加15个外力得到的。在设置稀疏外力的时候，取边界上最大的20个外力。与图4.4一样，其中仿真结果那张图中，红色部分代表刚性材料，蓝色部分代表柔性材料，坐标对比的那张图中，颜色是渐变的，偏蓝色说明坐标和目标形状差距越大，偏红色说明坐标和目标形状差距越小。图中大部分点都是偏红色的，故我们的算法的结果还是不错的。14中国科学技术大学学士学位论文图3.4算法对扭曲情况的结果图3.5算法对弯曲情况的结果15中国科学技术大学学士学位论文第四章总结和展望4.1总结本文聚焦于可编程的材料分布计算问题和多材料物体的模拟仿真问题，本文的主要贡献有以下几点：1：针对给定的变形结果，本文可以计算出合理的外力分布和材料分布使得变形结果逼近目标形状。2：本文解决了14 的3D情形的问题3：本文系统地叙述了仿真的理论基础，并且使用仿真框架来验证本文计算结果的合理性4：本文系统地介绍了超弹性材料的性质，并且针对Neo-Hookean模型完成了超弹性材料的仿真框架。4.2对未来的展望可以看出本文给出的实验例子都非常简单，这并非是我不想使用复杂的例子，而是计算速度所限。对一个非常简单的376个顶点的例子，本文的计算程序需要5个小时的时间，而一般的复杂模型有超过5000个顶点，此时BFGS不太适用，稠密矩阵的相乘运算会占用大量的时间，但即使使用L-BFGS方法去优化，按照本文的算法，时间复杂度是线性增加的，那么需要超过一周的时间。未来的工作应该聚焦在加速程序的运行。超弹性模型的仿真也非常之慢，主要原因在于应变势能的导函数形式实在太过复杂，未来的工作可以考虑将超弹性模型线性化，用以加速其运算。17中国科学技术大学学士学位论文参考文献1制造业革命3D打印的主流工艺盘点. /bandaoti/gongyi/20130407312949.html .2国内发布首台三色混合3D打印机. /m/press/dzzdq-hdmoe.html .3 NealenA,MllerM,KeiserR,etal. PhysicallyBasedDeformableModelsinComputerGraph-ics, 2005.4 Sifakis E, Barbic J. FEM Simulation of 3D Deformable Solids: A Practitioners Guide toTheory,DiscretizationandModelReduction. ProceedingsofACMSIGGRAPH2012Courses,New York, NY, USA: ACM, 2012. 20:120:50.5 VerstraetenB,SermeusJ,SalenbienR,etal. Determinationofthermoelasticmaterialpropertiesbydifferentialheterodynedetectionofimpulsivestimulatedthermalscattering. Photoacoustics,2015, 3(2):64 77.6 Becker M, Teschner M. Robust and Efficient Estimation of Elasticity Parameters using thelinear Finite Element Method. In: Schulze T, Preim B, Schumann H, (eds.). Proceedings ofSimVis. SCS Publishing House e.V., 2007. 1528.7 Lee H P, Lin M C. Fast optimization-based elasticity parameter estimation using