二次函数的图象分析

二次函数的图象分析武汉市“图象分析”类中考试题，新颖活泼，光艳照人，魅力非凡，它集逻辑推理、逆向思维、综合运用等式、不等式于一体，它立意考查学生数形结合的思想、理解分析能力、数据处理能力，要求考生从图象中攫取信息，并用这些信息来揭示问题的本质属性，由于本题的难度较大，对学生的个性思维品质也是一个考验，为了让同学们快速搞定此类问题，现将本题近两年的两种类型及其解决办法分析如下，供参考一、基本概念: 对于二次函数yax2+bx+c(a0)1函数图象开口方向决定 a 的符号，开口向上，a0，开口向下， a02对称轴的位置决定 a，b 符号的异同，对称轴为，对称轴在 x 轴的负半轴时 a，b 同号， 对称轴在 x 轴的正半轴时 a，b 异号3函数图象与 y 轴的交点位置决定 c 的符号，当图象与 y 轴的交点在正半轴时 c0，交点在负半轴时 c04函数图象与 x 轴交点的横坐标为 x1，x2，由根与系数的关系知：， 5函数图象一般来说与 x 轴有交点，则二、基本类型（一）对称轴不明确型【例 1】 （XX 年非课改区中考试题）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于（x1，0） ，（x2，0） ，且 0x11， 1x22，与 y轴交于点（0，2） ，下列结论：2a+b13a+b0a+b2a-1，其中正确的个数有（）(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个（二）基本方法方法 1：数形结合法1先确定 a，b，c 的符号，2根与系数的关系3由特殊点列出等式与不等式4灵活运用上述 3 个步骤中的条件逐步验证各个待定结论【解析】画出草图，如图，由图象可知：a0，b0，c2，0x11，1x22， 1x1x23，0x1x22， ，两边同时乘以a，得，ab3a， 3ab0，结论错误，由，得，两边同时乘以 a，得 022a， a1，结论正确，当 x1 时，yab20，故ab2， 结论错误，当 x2 时，y4a2b20， 2ab1， 结论也不对，故选 A.方法 2:赋值法0x11， 1x22，不妨设x10.5，x21.5，设二次函数的解析式为ya（x0.5） （x1.5） ，因抛物线过点（0，2） ，0.75a2，得，则该二次函数解析式为a，b，c2，2ab+1，3ab=0，ab=2， a1，容易验证只有一个结论是正确的，故选 A.点评：由于本题中 x1，x2 的范围限定得很窄，加上过一个定点，我们就可以从特殊值的角度来确定二次函数的 yax2+bx+c(a0)的解析式，将解析式中 a，b，c 的值求出，分别代入各待定结论中，加以验证，存真去伪，本法解题快捷，易于操作.（三）对称轴明确型在新课改“减轻学生课业负担”宗旨下，加上课标人教版新教材弱化了一元二次方程中“根与系数的关系”的教学内容，故在 XX 年武汉市课改区同类考题中，明确了二次函数的对称轴，增强了对称观念、削弱了“根与系数的关系” ，同时减少了待定结论、降低了试题难度、提升了得分机会，值得关注.【例 2】 （XX 年中考试题）已知抛物线yax2bxc（a0）的对称轴为 x1，交x 轴的一个交点为（x1，0） ，且 0x11， 下列结论：9a3c0ba3ac0，其中正确的个数有（）(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个【解析】画出大致草图如右，由图象可知：a0，b0，c0，由图象的对称性知，x3 时，y9a3bc0，则结论正确，对称轴是 x1，即，b2a，ba=2aa=a0，则 ba，结论错误，当 x=1， abc0， b=2a，3ac0，结论正确.正确.故选 C.武汉市“图象分析”类中考试题，新颖活泼，光艳照人，魅力非凡，它集逻辑推理、逆向思维、综合运用等式、不等式于一体，它立意考查学生数形结合的思想、理解分析能力、数据处理能力，要求考生从图象中攫取信息，并用这些信息来揭示问题的本质属性，由于本题的难度较大，对学生的个性思维品质也是一个考验，为了让同学们快速搞定此类问题，现将本题近两年的两种类型及其解决办法分析如下，供参考一、基本概念: 对于二次函数yax2+bx+c(a0)1函数图象开口方向决定 a 的符号，开口向上，a0，开口向下， a02对称轴的位置决定 a，b 符号的异同，对称轴为，对称轴在 x 轴的负半轴时 a，b 同号， 对称轴在 x 轴的正半轴时 a，b 异号3函数图象与 y 轴的交点位置决定 c 的符号，当图象与 y 轴的交点在正半轴时 c0，交点在负半轴时 c04函数图象与 x 轴交点的横坐标为 x1，x2，由根与系数的关系知：， 5函数图象一般来说与 x 轴有交点，则二、基本类型（一）对称轴不明确型【例 1】 （XX 年非课改区中考试题）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于（x1，0） ，（x2，0） ，且 0x11， 1x22，与 y轴交于点（0，2） ，下列结论：2a+b13a+b0a+b2a-1，其中正确的个数有（）(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个（二）基本方法方法 1：数形结合法1先确定 a，b，c 的符号，2根与系数的关系3由特殊点列出等式与不等式4灵活运用上述 3 个步骤中的条件逐步验证各个待定结论【解析】画出草图，如图，由图象可知：a0，b0，c2，0x11，1x22， 1x1x23，0x1x22， ，两边同时乘以a，得，ab3a， 3ab0，结论错误，由，得，两边同时乘以 a，得 022a， a1，结论正确，当 x1 时，yab20，故ab2， 结论错误，当 x2 时，y4a2b20， 2ab1， 结论也不对，故选 A.方法 2:赋值法0x11， 1x22，不妨设x10.5，x21.5，设二次函数的解析式为ya（x0.5） （x1.5） ，因抛物线过点（0，2） ，0.75a2，得，则该二次函数解析式为a，b，c2，2ab+1，3ab=0，ab=2， a1，容易验证只有一个结论是正确的，故选 A.点评：由于本题中 x1，x2 的范围限定得很窄，加上过一个定点，我们就可以从特殊值的角度来确定二次函数的 yax2+bx+c(a0)的解析式，将解析式中 a，b，c 的值求出，分别代入各待定结论中，加以验证，存真去伪，本法解题快捷，易于操作.（三）对称轴明确型在新课改“减轻学生课业负担”宗旨下，加上课标人教版新教材弱化了一元二次方程中“根与系数的关系”的教学内容，故在 XX 年武汉市课改区同类考题中，明确了二次函数的对称轴，增强了对称观念、削弱了“根与系数的关系” ，同时减少了待定结论、降低了试题难度、提升了得分机会，值得关注.【例 2】 （XX 年中考试题）已知抛物线yax2bxc（a0）的对称轴为 x1，交x 轴的一个交点为（x1，0） ，且 0x11， 下列结论：9a3c0ba3ac0，其中正确的个数有（）(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个【解析】画出大致草图如右，由图象可知：a0，b0，c0，由图象的对称性知，x3 时，y9a3bc0，则结论正确，对称轴是 x1，即，b2a，ba=2aa=a0，则 ba，结论错误，当 x=1， abc0， b=2a，3ac0，结论正确.正确.故选 C.武汉市“图象分析”类中考试题，新颖活泼，光艳照人，魅力非凡，它集逻辑推理、逆向思维、综合运用等式、不等式于一体，它立意考查学生数形结合的思想、理解分析能力、数据处理能力，要求考生从图象中攫取信息，并用这些信息来揭示问题的本质属性，由于本题的难度较大，对学生的个性思维品质也是一个考验，为了让同学们快速搞定此类问题，现将本题近两年的两种类型及其解决办法分析如下，供参考一、基本概念: 对于二次函数yax2+bx+c(a0)1函数图象开口方向决定 a 的符号，开口向上，a0，开口向下， a02对称轴的位置决定 a，b 符号的异同，对称轴为，对称轴在 x 轴的负半轴时 a，b 同号， 对称轴在 x 轴的正半轴时 a，b 异号3函数图象与 y 轴的交点位置决定 c 的符号，当图象与 y 轴的交点在正半轴时 c0，交点在负半轴时 c04函数图象与 x 轴交点的横坐标为 x1，x2，由根与系数的关系知：， 5函数图象一般来说与 x 轴有交点，则二、基本类型（一）对称轴不明确型【例 1】 （XX 年非课改区中考试题）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于（x1，0） ，（x2，0） ，且 0x11， 1x22，与 y轴交于点（0，2） ，下列结论：2a+b13a+b0a+b2a-1，其中正确的个数有（）(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个（二）基本方法方法 1：数形结合法1先确定 a，b，c 的符号，2根与系数的关系3由特殊点列出等式与不等式4灵活运用上述 3 个步骤中的条件逐步验证各个待定结论【解析】画出草图，如图，由图象可知：a0，b0，c2，0x11，1x22， 1x1x23，0x1x22， ，两边同时乘以a，得，ab3a， 3ab0，结论错误，由，得，两边同时乘以 a，得 022a， a1，结论正确，当 x1 时，yab20，故ab2， 结论错误，当 x2 时，y4a2b20， 2ab1， 结论也不对，故选 A.方法 2:赋值法0x11， 1x22，不妨设x10.5，x21.5，设二次函数的解析式为ya（x0.5） （x1.5） ，因抛物线过点（0，2） ，0.75a2，得，则该二次函数解析式为a，b，c2，2ab+1，3ab=0，ab=2， a1，容易验证只有一个结论是正确的，故选 A.点评：由于本题中 x1，x2 的范围限定得很窄，加上过一个定点，我们就可以从特殊值的角度来确定二次函数的 yax2+bx+c(a0)的解析式，将解析式中 a，b，c 的值求出，分别代入各待定结论中，加以验证，存真去伪，本法解题快捷，易于操作.（三）对称轴明确型在新课改“减轻学生课业负担”宗旨下，加上课标人教版新教材弱化了一元二次方程中“根与系数的关系”的教学内容，故在 XX 年武汉市课改区同类考题中，明确了二次函数的对称轴，增强了对称观念、削弱了“根与系数的关系” ，同时减少了待定结论、降低了试题难度、提升了得分机会，值得关注.【例 2】 （XX 年中考试题）已知抛物线y