2.2.1　用样本的频率分布估计总体分布(1) 学案（人教a版必修三）

2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(一)【明目标、知重点】1通过实例体会分布的意义和作用；2在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图，能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计【填要点、记疑点】1用样本估计总体的两种情况(1)用样本的频率分布估计总体的分布(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征2数据分析的基本方法(1)借助于图形分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此法可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息(2)借助于表格分析数据的另一方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式，此法是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式3频率分布直方图在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用小长方形的面积来表示，各小长方形的面积的总和等于 1.【探要点、究所然】情境导学 通过抽样方法收集数据的目的是从中寻找所包含的信息，用样本去估计总体如何根据样本的情况对总 体的情况作出推断是我们将要学 习的内容探究点一 频率分布表问题 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准 a，用水量不超过 a 的部分按平价收费，超出 a 的部分按议价收费如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准 a 定为多少比较合理呢？思考 1 你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？答 为了制定一个较为合理的标准 a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况思考 2 为了了解全市居民日常用水量的整体分布情况，用怎样的方法了解？答 采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况例 1 从某校高一年级的 1 002 名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为 100 的身高样本，如下(单位：cm)作出该样本的频率分布表，并估计身高不小于 170(cm)的同学所占的百分率.168 165 171 167 170 165 170 152 175 174165 170 168 169 171 166 164 155 164 158170 155 166 158 155 160 160 164 156 162160 170 168 164 174 170 165 179 163 172180 174 173 159 163 172 167 160 164 169151 168 158 168 176 155 165 165 169 162177 158 175 165 169 151 163 166 163 167178 165 158 170 169 159 155 163 153 155167 163 164 158 168 167 161 162 167 168161 165 174 156 167 166 162 161 164 166解 (1)在全部数据中找出最大值 180 与最小值 151，它们相差(极差)29，决定组距为 3；(2)将区间150.5,180.5分成 10 组；分别是150.5 ，153.5)，153.5,156.5)，177.5,180.5)；(3)从第一组150.5,153.5)开始分别统计各组的频数，再 计算各 组的频率，列频率分布表：分组 频数累计 频数 频率150.5,153.5) 4 0.04153.5,156.5) 8 0.08156.5,159.5) 8 0.08159.5,162.5) 11 0.11162.5,165.5) 22 0.22165.5,168.5) 19 0.19168.5,171.5) 14 0.14171.5,174.5) 7 0.07174.5,177.5) 4 0.04177.5,180.5) 3 0.03合计 100 1根据频率分布表可以估计，估 计身高不小于 170 的同学所占的百分率 为(0.14 0.07 0.040.03) 100%21%.171.5 170171.5 168.5反思与感悟 分析数据的基本方法之一是用 紧凑的表格改变数据的排列方式， 为我们提供解释数据的新方式跟踪训练 1 有 100 名学生，每人只能参加一个运动队，其中参加足球队的有 30 人，参加篮球队的有 27 人，参加排球队的有 23 人，参加乒乓球队的有 20 人(1)列出学生参加运动队的频率分布表(2)画出频率分布条形图解 (1)参加足球队记为 1，参加篮球队记为 2，参加排球 队记为 3，参加 乒乓球队记为4，得频率分布表如下：试验结果 频数 频率参加足球队(记为 1) 30 0.30参加篮球队(记为 2) 27 0.27参加排球队(记为 3) 23 0.23参加乒乓球队(记为 4) 20 0.20合计 100 1.00(2)由上表可知频率分布条形图如下：探究点二 频率分布直方图问题 分析数据的另一种基本方法是用图将它们画出来，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息下面我们学习的频率分布直方图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况思考 1 频率分布直方图中长方形的高 ，小长方形的面积表示什么？所有小长方形频 率组 距的面积和等于多少？答 小长方形的面积表示该组的频率，所有小长方形的面积和等于 1.反思与感悟 样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的，频率分布直方图的作图步骤为第一步，画平面直角坐标系第二步，在横轴上均匀标出各 组分点，在 纵轴上标出单位长 度第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形例 2 调查某校高三年级男生的身高，随机抽取 40 名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171 163 163 166 166 168 168 160 168 165171 169 167 169 151 168 170 168 160 174165 168 174 159 167 156 157 164 169 180176 157 162 161 158 164 163 163 167 161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图解 (1)最低身高 151 cm，最高身高 180 cm，它们的差是 18015129，即极差为 29；确定组距为 4，组数为 8，列表如下：分组 频数 频率149.5,153.5) 1 0.025153.5,157.5) 3 0.075157.5,161.5) 6 0.15161.5,165.5) 9 0.225165.5,169.5) 14 0.35169.5,173.5) 3 0.075173.5,177.5) 3 0.075177.5,181.5 1 0.025合计 40 1(2)频率分布直方图如图所示反思与感悟 频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的，它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式，是通过各小组数据在 样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以 让我们更清楚地看到整个样 本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况跟踪训练 2 下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高(单位：cm).区间界限 122，126) 126，130) 130，134) 134，138) 138，142)人数 5 8 10 22 33区间界限 142，146) 146，150) 150，154) 154，158)人数 20 11 6 5(1)列出样本频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高小于 134 cm 的人数占总人数的百分比分析 根据样本频率分布表、 频率分布直方图的一般步骤 解题解 (1)样本频率分布表如下：分组 频数 频率122,126) 5 0.04126,130) 8 0.07130,134) 10 0.08134,138) 22 0.18138,142) 33 0.28142,146) 20 0.17146,150) 11 0.09150,154) 6 0.05154,158) 5 0.04合计 120 1(2)其频率分布直方图如下：(3)由样本频率分布表可知身高小于 134 cm 的男孩出现的频率为0.040.070.080.19，所以我 们估计身高小于 134 cm 的人数占总人数的 19%.探究点三 频率分布表及频率分布直方图的应用例 3 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图) ，图中从左到右各小长方形面积之比为24171593，第二小组频数为 12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？解 (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小 组内的频率大小，因此第二小组的频率为： 0.08；又因为频率 ，所以样本42 4 17 15 9 3 第 二 小 组 频 数样 本 容 量容量 150.第 二 小 组 频 数第 二 小 组 频 率 120.08(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为100%88%.17 15 9 32 4 17 15 9 3反思与感悟 在频率分布直方 图中，各小 长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于 样本容量， 频率之和等于 1.跟踪训练 3 在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量) 共有 100 个数据，将数据分组如下表：分组 频数 频率1.30,1.34) 41.34,1.38) 251.38,1.42) 301.42,1.46) 291.46,1.50) 101.50,1.54 2合计 100(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；(2)估计纤度落在1.38,1.50) 内的可能性及纤度小于 1.42 的可能性各是多少？解 (1)频率分布表如下：分组 频数 频率1.30,1.34) 4 0.041.34,1.38) 25 0.251.38,1.42) 30 0.301.42,1.46) 29 0.291.46,1.50) 10 0.101.50,1.54 2 0.02合计 100 1.00频率分布直方图如图所示(2)纤度落在1.38,1.50)的可能性即为纤度落在1.38 ，1.50)的频率，即为0.30.290.100.6969%.纤度小于 1.42 的可能性即为纤度小于 1.42 的频率，即 为 0.040.250.300.5959%.【当堂测、查疑缺】1一个容量为 n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为 40,0.125，则 n 的值为( )A640 B320 C240 D160答案 B解析 依题意得 ， n 320.40n 0.1251 400.1252有一个容量为 45 的样本数据，分组后各组的频数如下：(12.5，15.5 ，3；(15.5,18.5，8；(18.5,21.5，9；(21.5,24.5，11；(24.5,27.5 ，10；(27.5,30.5 ，4.由此估计，不大于27.5 的数据约为总体的 ( )A91% B92% C95% D30%答案 A解析 不大于 27.5 的样本数为：389111041，所以约占总体百分比为100%91%.41453一个容量为 20 的样本数据，数据的分组及各组的频数如下：10,20)，2；20,30) ，3；30,40)，4；40,50) ，5；50,60) ，4；60,70，2.则样本在区间(10,50)上的频率为 ( )A0.5 B0.7 C0.25 D0.05答案 B解析 频率为 0.7.14204下列命题正确的是_(1)频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数；(2)频率分布直方图的面积为对应数据的频率；(3)频率分布直方图中各小矩形高( 平行于纵轴的边)表示频率与组距的比答案 (3)解析 在频率分布直方图中，横 轴表示样本数据；纵轴表示 .由于小矩形的面积组频 率组 距距 频率，所以各小矩形的面 积等于相应各组的频 率，因此各小矩形面 积之和等频 率组 距于 1.综上可