2.1.3　分层抽样 学案（人教a版必修三）

2.1.3 分层抽样【明目标、知重点】1理解分层抽样的概念2会用分层抽样从总体中抽取样本3了解三种抽样法的联系和区别【填要点、记疑点】1分层抽样的概念在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样2分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法【探要点、究所然】情境导学 中国共产党第十八次代表大会 2 270 名代表是从 40 个单位中产生的，这 40 个单位分别是 131 为省( 自治区、直辖市)、32 中央直属机关、33 中央国家机关、34 全国台联、35 解放军、36 武警部队、37 中央金融系统、 38 中央企业系统、39 中央香港工委、40 中央澳门工委代表的选举 原则上是按各选举单位的党 组织数、党 员人数进行分配的这种产生代表的方法与我 们今天要学的分层抽样很相似探究点一 分层抽样的基本思想问题 某地区有高中生 2 400 人，初中生 10 900 人，小学生 11 000 人当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生抽取 1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？思考 1 为方便抽样，能否从小学生或初中生或高中生中抽取中小学生总数的 1%？为什么？答 不能，因为不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在明显差异，为了使样本具有较好的代表性，应该分高中、初中、小学三个层次分别抽样思考 2 在高中，初中和小学三部分学生中都按 1%的比例抽取，那么各抽取多少人？答 高中生中抽取 2 4001%24(人)，初中生中抽取 10 9001%109(人) ，小学生中 抽取 11 0001%110(人) 思考 3 在三类学生中具体抽取样本时，可以用哪种抽样方法进行抽样？答 由于样本总体较大，可以用系统抽样思考 4 上述抽样方法保证了抽样的公平性，并且样本具有较好的代表性，从而是一种科学、合理的抽样方法，这种抽样方法称为分层抽样你能归纳出分层抽样的概念吗？答 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样思考 5 适合用分层抽样的方法抽取样本的问题有什么特点？答 总体由差异明显的几部分组成，这样的问题适合用分层抽样例 1 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、20 种，现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )A4 B5 C6 D7答案 C解析 抽样比为 ，则抽取的植物油类种数是 10 2， 则抽取的果2040 10 30 20 15 15蔬类食品种数是 20 4，所以抽取的植物油 类与果蔬类 食品种数之和是 246.15反思与感悟 如果 A、B、C 三 层含有的个体数目分别是 x、y、z，在 A、B、C 三层应抽取的个体数目分别是 m、n、p，那么有 xyzmnp.跟踪训练 1 某校有学生 2 000 人，其中高三学生 500 人为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个 200 人的样本，则样本中高三学生的人数为_答案 50解析 抽样比为 ，样 本中高三学生的人数为 500 50.2002 000 110 110探究点二 分层抽样的一般步骤问题 某单位有职工 500 人，其中 35 岁以下的有 125 人，35 岁49 岁的有 280 人，50 岁以上的有 95 人为了调查职工的身体状况，要从中抽取一个容量为 100 的样本，如何进行抽取？思考 1 该项调查应采用哪种抽样方法进行？不同年龄段的职工中，按什么比例抽取人数？三个年龄层次的职工分别抽取多少人？答 分层抽样都按 51，即每 5 人中抽取一人35 岁以下：125 25(人)，35 岁49 岁：280 56(人)，50 岁以上：15 1595 19(人)15思考 2 在分层抽样中，如果总体的个体数为 N，样本容量为 n，第 i 层的个体数为 k，则在第 i 层应抽取的个体数如何算？答 由于抽取比例为 ，所以第 i 层应抽取的个体数为 k .nN nN思考 3 在各年龄段具体如何抽样？怎样获得所需样本？答 用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体；将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本思考 4 一般地，分层抽样的操作步骤如何？答 第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层) ；第二步，计算样本容量与总体的个体数之比；第三步，依据抽样比在各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；第四步，综合每层抽样，组成样本思考 5 样本容量与总体的个体数之比是分层抽样的比例常数，按这个比例可以确定各层应抽取的个体数，如果各层应抽取的个体数不都是整数该如何处理？答 如果不能调整样本容量，可以剔除不是整数层中的个体，剔除个体时一般使用简单随机抽样法抽取被剔除的个体，目的是为了保证每个个体被抽到的机会相等例 2 写出“问题”中的解题步骤解 (1)按年龄将 150 名职工分成三层：不到 35 岁的职工； 35 岁至 49 岁的职工；50 岁以上的职工(2)确定每层抽取个体的个数抽样比为 ，则在不到 35 岁的职工中抽取100500 15125 25(人)；在 35 岁至 49 岁的职工中抽取 280 56(人)；在 50 岁以上的职工中15 15抽取 95 19(人)15(3)在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本(4)综合每层抽样， 组成容量为 100 的样本反思与感悟 如果总体中的个体有差异，那么就用分层抽 样抽取样本用分 层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体组成一层跟踪训练 2 某市的 3 个区共有高中学生 20 000 人，且 3 个区的高中学生人数之比为235，现要从所有学生中抽取一个容量为 200 的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程解 (1)由于该市高中学生的视力有差异，按 3 个区分成三层，用分层抽样来抽取样本(2)确定每层抽取个体的个数，在 3 个区分别抽取的学生人数之比也是 235，所以抽取的学生人数分别是 200 40；200 60；200 100.22 3 5 32 3 5 52 3 5(3)在各层分别按系统抽样法抽取样本(4)综合每层抽样， 组成容量为 200 的样本探究点三 三种抽样方法的比较思考 简单随机抽样、系统抽样和分层抽样既有其共性，又有其个性，根据下表，你能对三种抽样方法作一个比较吗？方法类别 共同特点 抽样特征相互联系适用范围简单随机抽样系统抽样分层抽样答 方法类别 共同特点 抽样特征相互联系适用范围简单随机抽样从总体中逐个不放回抽取简单随机抽样是基础总体中 的个体 数较少系统抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等将总体分成均衡几部分，按规则关联抽取用简单随机抽样抽取起始号码总体中 的个体 数较多分层抽样将总体分成几层，按比例分层抽取用简单随机抽样或系统抽样对各层抽样总体由 差异明 显的几部分组 成例 3 某高级中学有学生 270 人，其中一年级 108 人，二、三年级各 81 人，现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号 1,2，270，并将整个编号依次分为 10 段如果抽得号码有下列四种情况：7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是 ( )A都不能为系统抽样B都不能为分层抽样C都可能为系统抽样D都可能为分层抽样答案 D解析 如果按分层抽样时，在一年 级抽取 108 4(人)，在二、三年 级各抽取 81102703(人) ，则 在号码段 1,2，108 抽取 4 个号码，在号码段 109,110，189 抽取 310270个号码，在号码段 190,191，270 抽取 3 个号码， 符合，所以可能是分层抽样，不符合，所以不可能是分层抽样；如果按系统 抽样时，抽取出的号码应该是“等距”的，符合，不符合，所以都可能为系统抽样，都不能为系统抽样反思与感悟 根据样本的号码判断抽样方法时，要 紧扣三 类抽样方法的特征利用 简单随机抽样抽取的样本号码没有规律性；利用分层抽样抽取的样本号码有规律性，即在每一层抽取的号码个数 m 等于 该层所含个体数目与抽样比的积，并且应该恰有 m 个号码在该层的号码段内；利用系统抽样取出的样本号码也有规律性，其号码按从小到大的顺序排列，则所抽取的号码是：l，l k， l2k， ，l( n1)k.其中， l 为第一个样本号码(lk)，n 为样本容量(n1,2,3，)， l 是第一组中的号码，k 为分段间隔总体容量/样本容量跟踪训练 3 一个总体中的 80 个个体编号为 0,1,2，79，并依次将其分为 8 个组，组号为 0,1，7，要用下述抽样方法抽取一个容量为 8 的样本：即在第 0 组先随机抽取一个号码 i，则第 k 组抽取的号码为 10kj，其中 jError! ，若先在 0 组抽取的号码为6，则所抽到的 8 个号码依次为_答案 6,17,28,39,40,51,62,73解析 因为 i6，第 1 组抽取号码为 101(61) 17，第 2 组抽取号码为102(62)28，第 3 组抽取号 码为 103(6 3)39，第 4 组抽取号码为104(6410)40，第 5 组抽取号码为 105(6 510)51，第 6 组抽取号码为 106(6610)62，第 7 组抽取号码为 107(6710)73.【当堂测、查疑缺】1为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )A简单的随机抽样 B按性别分层抽样C按学段分层抽样 D系统抽样答案 C解析 结合三种抽样的特点及抽样要求求解由于三个学段学生的 视力情况差别较大，故需按学段分层抽样2某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本若样本中的青年职工为7 人，则样本容量为 ( )A7 B15C25 D35答案 B解析 青年职工、中年职工、老年职工三层之比为 75 3，所以样本容量为 7 15.7153简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是 ( )A将总体分成几部分，按预先设定的规则在各部分抽取B抽样过程中每个个体被抽到的机会均等C将总体分成几层，然后分层按照比例抽取D没有共同点答案 B4一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员