人教版八年级上12.2直角三角形全等的判定同步测试附答案

人教版八年级上 12.2 直角三角形全等的判定同步测试附答案直角三角形全等的判定(45 分钟小测验)题号 一 二 三 四 总分得分 一、选择题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）如图，ABC 中，AB=AC，BD AC 于 D，CEAB于 E，BD 和 CE 交于 O，AO 的延长线交 BC 于 F，则图中全等的直角三角形有( )A. 3 对B. 4 对C. 5 对D. 6 对如图，若要用“HL”证明 RtABCRt ABD，则还需补充条件( ) A. BAC=BADB. AC=AD 或 BC=BDC. AC=AD 且 BC=BDD. 以上都不正确下列说法中，正确的个数是( )斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；两个锐角对应相等的两个直角三角形全等A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个下列说法：两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等角的对称轴是角平分线两边对应相等的两直角三角形全等成轴对称的两图形一定全等到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确的有( )个A. 2 B. 3 C. 4 D. 5下列说法不正确的是( )A. 有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等B. 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D. 有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等如图，ACB=90，AC=BC，AE CE 于E，BDCE 于 D， AE=5cm，BD=2cm，则 DE 的长是( )A. 8 B. 5 C. 3 D. 2二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）如图，已知 ABCD ，垂足为 B，BC=BE，若直接应用“HL ”判定ABCDBE ，则需要添加的一个条件是_ 如图，三角形 ABC 中 ADBC，CEAB，垂足分别为 D、E，AD、CE 交于点 H，请你填加一个适当的条件_，使AECCDA 如图，已知 ACBD 于点 P，AP=CP，请增加一个条件，使ABPCDP(不能添加辅助线 )，你增加的条件是_如图，在 RtABC 中，已知：C=90，A=60，AC=3cm，以斜边 AB 的中点 P 为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90得到 RtABC，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为_cm2如图，在 RtABC 中，BAC= 90，AB=AC，分别过点 B，C 作过点 A 的直线的垂线 BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则 DE= _ cm如图，若要用“HL”证明 RtABCRt ABD，则需要添加的一个条件是_三、计算题（本大题共 3 小题，共 18.0 分）如图，AD/BC，A=90，E 是 AB 上的一点，且 AD=BE，1= 2(1)求证：ADEBEC；(2)若 AD=6，AB=14 ，请求出 CD 的长 如图，点 E，C 在 BF 上，BE=FC， ABC=DEF=45 ，A=D=90(1)求证：AB=DE；(2)若 AC 交 DE 于 M，且 AB=3，ME=2，将线段CE 绕点 C 顺时针旋转，使点 E 旋转到 AB 上的 G 处，求旋转角ECG 的度数如图所示，已知 AB 是O 的直径，直线 L 与O 相切于点 C，AC= AD，CD 交 AB 于 E，BF 直线 L，垂足为 F，BF 交 O 于 C(1)图中哪条线段与 AE 相等？试证明你的结论；(2)若 sinCBF=5/5，AE=4，求 AB 的值 四、解答题（本大题共 2 小题，共 16.0 分）如图，已知 AC 平分BAD，CEAB 于 E，CFAD于 F，且 BC=CD，(1)求证：BCE DCF；(2)若 AB=21，AD=9，BC=CD=10 ，求 AC 的长 如图 1，OA=2 ，OB=4，以 A 点为顶点、 AB 为腰在第三象限作等腰 RtABC(1)求 C 点的坐标；(2)如图 2，P 为 y 轴负半轴上一个动点，当 P 点向 y轴负半轴向下运动时，以 P 为顶点，PA 为腰作等腰RtAPD，过 D 作 DEx 轴于 E 点，求 OP-DE 的值答案和解析【答案】1. D 2. B 3. C 4. B 5. C 6. C 7. AC=DE 8. CE=AD 或DAC=ECA 或BAC=ACB(正确即可) 9. BP=DP 或 AB=CD 或A= C 或B=D 10. 9/4 11. 7 12. AC=AD 或 BC=BD 13. 解：(1)AD/BC ，A=90，1=2，A= B=90，DE=CEAD=BE，ADEBEC.(3 分) (2)由ADEBEC 得AED= BCE ，AD=BE AED+BEC=BCE+BEC= 90DEC= 90 .(4 分) 又AD=6 ，AB=14，BE=AD=6，AE=14-6=8.(5 分) 1= 2，ED=EC=(AE2+AD2 )=10.(6 分 ) DC=(DE2+CE2 )=102.(7 分)(利用其它方法，参照上述标准给分) 14. (1)证明： BE=FC，BC=EF，又ABC=DEF，A=D ，ABCDEF，AB=DE(2)解：DEF=B=45，DE/AB，CME=A= 90，AC=AB= 3，MC=ME=2，在 RtMEC 中， EC=(ME2+MC2 )=(2 )2+(2 )2 )=2，CG=CE=2，在 RtCAG 中， cosACG=AC/CG=3/2，ACG=30 ，ECG=ACB-ACG=45-30 = 15 15. 解：(1)FG=AE，理由如下：连接 CG、AC、BD ； AC=AD，BACD ， BC=BD，即D=BCD；直线 L 切O 于 C，BCF=D=BCD ，FBC=ABC， CG=AC，CE=CF；AC=CG；ACE 和GCF 中，AC=CG、CE=CF，AEC=CFG= 90，RtAECRt GCF，则 AE=FG(2)FC 切O 于 C，FCG=FBC，即 sinFCG=sin CBF= 5/5；在 RtFCG 中，FG=AE=4，CG=FGsinFCG=45；AC=CG=45；在 RtABC 中，CEAB，由射影定理得：AC2=AEAB，即 AB=AC2AE=20 16. (1)证明： AC 平分BAD，CEAB 于 E，CFAD于 F，CFD=90，CEB=90 (垂线的意义) CE=CF(角平分线的性质 ) BC=CD(已知) RtBCERt DCF(HL) (2)解：由(1)得，RtBCE Rt DCF DF=EB，设 DF=EB=X CFD=90，CEB=90 ，CE=CF，AC=AC RtAFCRtAEC(HL) AF=AE 即：AD+DF=AB-BE AB=21，AD=9，DF=EB=x 9+x=21-x 解得，x=6 在 RtDCF 中，DF=6，CD=10 CF=8 RtAFC 中，AC2=CF2+AF2=82+(9+6)2=289 AC=17 答：AC 的长为 17 17. 解：(1)如图 1，过 C 作 CMx 轴于 M 点，MAC+ OAB=90 ，OAB+OBA=90，则MAC= OBA，在MAC 和OBA 中 (CMA=AOB=90MAC=OBAAC=AB) MACOBA(AAS)，CM=OA=2，MA=OB=4，OM=OA+AM=2+4=6，点 C 的坐标为(-6,-2)(2)如图 2，过 D 作 DQOP 于 Q 点，则 DE=OQ OP-DE=OP-OQ=PQ，APO+QPD=90，APO+OAP=90，QPD= OAP ，在AOP 和PQD 中，(AOP=PQD=90OAP=QPDAP=PD)，AOPPQD(AAS)PQ=OA=2即 OP-DE=2 【解析】1. 解：BDAC，CE AB，ADB= AEC=90 ，AC=AB，CAE=BAD，AECADB；CE=BD ，AC=AB，CBE= BCD ，BEC= CDB=90，BCECBD；BE=CD ，AD=AE ，AO=AO，AODAOE ；DOC=EOB，CODBOE；OB=OC ，AB=AC，CF=BF， AFBC，ACF ABF，COF BOF共 6 对，故选 DADOAEO， DOCEOB，COFBOF， ACFABF，ADB AEC，BCE CBD利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS 、HL. 做题时要由易到难，不重不漏2. 解：从图中可知 AB 为 RtABC 和 RtABD 的斜边，也是公共边很据“HL”定理，证明 RtABCRt ABD，还需补充一对直角边相等，即 AC=AD 或 BC=BD，故选 B根据“HL”证明 RtABCRtABD ，因图中已经有AB 为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可此题主要考查学生利用“HL”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题3. 解：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；故选 C根据 HL 可得正确；如果一直角边和一斜边对应相等，这两个直角三角形全等；由 AAS 或 ASA 可得正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等本题考查了直角三角形全等的判定，除了 HL 外，还有一般三角形全等的四个判定定理，要找准对应关系4. 解：两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故错误；角的对称轴是角平分线所在直线，故错误；两边对应相等的两直角三角形可以用 SAS，故正确；根据轴对称的性质可得，成轴对称的两图形一定全等，故正确；根据中垂线的性质定理的逆定理可得，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，故正确；综上所述，正确的说法有 3 个故选：B不存在 SSA 这种判定全等三角形的方法；根据角的轴对称性进行判断；斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，据此判断即可；根据轴对称的性质进行判断；根据线段垂直平分线的性质进行判断本题主要考查了轴对称的性质、直角三角形的判定、线段和角的轴对称性的综合应用，解题时注意：对称轴是一条直线；直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件5. 解： A、有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等，说法正确；B、有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，说法正确；C、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，说法错误；D、有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确；故选：C 根据三角形全等的判定定理进行分析即可本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS 、ASA 、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角6. 解：ACB=90， AC=BC，AE CE 于E，BDCE 于 D，CAE+ACD=ACD+BCD，CAE=BCD ，又AEC=CDB=90 ，AC=BC，AECCDBCE=BD=2，CD=AE=5 ，ED=CD-CE=5-2=3(cm)故选 C根据已知条件，观察图形得CAE+ACD=ACD+BCD， CAE=BCD ，然后证AEC CDB 后求解本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用CAE+ACD=ACD+BCD， CAE=BCD ，是解题的关键7. 解：AC=DE ，理由是：ABDC ，ABC=DBE=90，在 RtABC 和 RtDBE 中，(AC=DEBE=BC)，RtABCRtDBE(HL)故答案为：AC=DE先求出ABC=DBE=90，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有 SAS，ASA，AAS，SSS，HL8. 解：ADBC，CE AB AEC=CDA=90，当 CE=AD(HL)或DAC=ECA(AAS)或BAC=ACB(ASA) 时，AECCDAAEC 和CDA 中，已知了AEC=ADC=90，AC=AC，因此只需添加一组对应角相等，或一组直角边对应相等即可判定两三角形全等本题考查了直角三角形全等的判定；这是一道考查全等三角形判定方法的开放性试题，答案不唯一.熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题的关键9. 解：ACBD 于点 P，AP=CP ，又 AB=CD，ABPCDP增加的条件是 BP=DP 或 AB=CD 或A=C 或B=D故填 BP=DP 或 AB=CD 或A=C 或B=D要使ABPCDP，已知 ACBD 于点 P，AP=CP ，即一角一边，则我们增加直角边、斜边或另一组角，利用 SAS、HL、AAS 判定其全等本题考查了直角三角形全等的判定；这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种，注意要选择简单的，明显的添加10. 解：在直角 DPB 中，BP=AP=AC=3，A= 60，DP2+BP2=BD2，x2+32=(2x)2 ，DP=x=3，BP=BP ，B=B，BPH=BPD=90，BPHBPD，PH=PD=3，在直角BGH 中，BH=3+ 3，GH=(3+3)/2，BG= 3/2(3+ 3)，S_(BGH)=1/2(3+ 3)/23/2(3+3)=(63+9)/4，S_( BDP)=1/233=(33)/2，S_DGHP=(63+9)/4-(33)/2=9/4 cm2根据已知及勾股定理求得 DP 的长，再根据全等三角形的判定得到BPH BPD，从而根据直角三角形的性质求得 GH，BG 的长，从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积此题考查勾股定理，三角形的全等的判定及性质，旋转的性质等知识的综合运用11. 解： 在 RtABC 中，BAC= 90，ADB=AEC= 90 BAD+ EAC=90 ，BAD+ B=90 EAC=B AB=AC ABDACE(AAS) AD=CE，BD=AE DE=AD+AE=CE+BD=7cm故填 7用 AAS 证明ABDACE，得 AD=CE，BD=AE ，所以 DE=BD+CE=4+3=7cm本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS 、SAA 、ASA、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角12. 解：添加 AC=AD 或 BC=BD；理由如下：C=D=90，在 RtABC 和 RtABD 中，( AC=AD(AB=AB) )，RtABCRtABD(HL)，故答案为：AC=AD 或 BC=BD此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC=BD本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，HL13. (1)根据已知可得到A=B= 90，DE=CE，AD=BE 从而利用 HL 判定两三角形全等；(2)由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出DEC=90，由已知我们可求得BE、AE 的长，再利用勾股定理求得 ED、DC 的长此题考查学生对全等三角形的判定方法及勾股定理的运用能力14. (1)通过证明 ABCDEF 即可得出 AB=DE(2)要求角的度数就要解直角三角形，根据特殊角的三角函数值来计算本题综合考查了旋转变换作图，三角形全等和解直角三角形的综合应用15. (1)观察图象知：只有 FG 的长度与 AE 相当，可猜想 AE=FG，然后着手证明它们相等；求简单的线段相等，通常是证线段所在的三角形全等，那么本题需要构造全等三角形，连接 AC、CG，然后证AECGCF；连接 BD，由于弧 AC=弧 AD，那么 BACD，根据垂径定理