四版-2随机误差的正态分布15节课

2 随机误差的正态分布一、频率分布相同条件下，测定某试样中 Ni% (n = 90)，结果如下：1.60 1.67 1.67 1.64 1.58 1.64 1.67 1.62 1.57 1.601.59 1.64 1.74 1.65 1.64 1.61 1.65 1.69 1.64 1.631.65 1.70 1.63 1.62 1.70 1.65 1.68 1.66 1.69 1.701.70 1.63 1.67 1.70 1.70 1.63 1.57 1.59 1.62 1.601.53 1.56 1.58 1.60 1.58 1.59 1.61 1.62 1.55 1.521.49 1.56 1.57 1.61 1.61 1.61 1.50 1.53 1.53 1.591.66 1.63 1.54 1.66 1.64 1.64 1.64 1.62 1.62 1.651.60 1.63 1.62 1.61 1.65 1.61 1.64 1.63 1.54 1.611.60 1.64 1.65 1.59 1.58 1.59 1.60 1.67 1.68 1.69 确定组数：分为 9 组； 计算 平均值： 1.62 %； 计算极差： R = 1.74 1.49 = 0.25； 计算组距： x = 0.25 / 90.03，确定每组的组界值； 数据 1.52应进入哪一组？ 统计测定值落在每组内的个数（频数）； 计算测定值出现在组内的频率（相对频数，即频数与样本容量之比）。分组（ % ） 频数 频率 (相对频数 )1.485 1.515 2 0.0221.515 1.545 6 0.0671.545 1.575 6 0.0671.575 1.605 17 0.1891.605 1.635 22 0.2441.635 1.665 20 0.2221.665 1.695 10 0.1111.695 1.725 6 0.0671.725 1.755 1 0.011 90 1.000 作频率分布直方图。测定值的分布具有规律性： 平均值 (1.62 )所在的组具有最大的频率 ，位于它两侧的组其频率次之，距离它越远的组其频率越小。类似峰状的图形显示了测定值既具有分散性 又具有 集中趋势的分布特性。二、正态分布 (高斯分布 )y 测定次数趋于无限时，测定值 xi 出现的概率密度； 总体平均值； 总体标准偏差。(一 )正态分布曲线的数学表达式 (高斯方程 )：图 4 - 5 正态分布曲线(二 )正态分布曲线的讨论 1. 测定值服从正态分布(1)曲线有最高点 (所对应的横坐标为 )，说明 总体平均值 是出现概率最大的值 ；(2)曲线在横坐标上的 位置 取决于 的数值；(3)曲线的 形状 取决于 的数值： .较小，曲线较陡峭、峰高而尖，表明测定值较集中，精密度较高； .较大，曲线较平坦，峰矮而平，表明测定值较分散，精密度较低。正态分布曲线的位置和形状取决于 和 ，因此 和 是正态分布曲线的两个基本参数 ，这种正态分布用 N(， 2)表示。2. 随机误差服从正态分布特点和规律：（ 1）对称性 ：绝对值大小相等的正负误差出现的概率相等，可能部分或完全相互抵消；（ 2）单峰性 ：曲线最高点对应的横坐标 (x )值等于零，表明随机误差为零的测定值出现的概率密度最大；（ 3）有界性 ：一般认为，误差大于 的测定值并非由随机误差所引起。3. 标准正态分布将正态分布曲线的横坐标用标准正态变量 u 表示：代入正态分布概率密度函数式，得：而 dx =du 曲线拐点的横坐标值为 ，故 2 = 1，而 = 0，故曲线的形状与 、 的大小无关。标准正态分布，以 N（ 0， 1）表示。标准正态分布函数： 图 4 - 6 标准正态分布曲线三、随机误差的区间概率正态分布曲线与横坐标之间所夹的总面积，等于概率密度函数 y 从 的积分值。表示来自同一总体的全部测定值或随机误差在 区间出现的概率 (P)总和为 100，即为 1。欲求测定值或随机误差在某区间出现的概率 ( P )，可取不同 u 值对上式进行积分。随机误差出现的区间测定值出现的区间 概率 (P)u = 1 x = 0.34132 = 0.6826u = 2 x = 2 0.47732 = 0.9546u = 3 x = 3 0.49872 = 0.9974正态分布概率积分表也可由概率确定误差界限：如要保证测定值出现的概率为 0.95，则随机误差的界限应为 1.96。实际工作中可查 p88 表 4-2(正态分布概率积分表 )，表中的值为单边积分值。例 1： 在消除系统误差的前提下，测得某样品中磷的质量分数为 0.099 %，已知 = 0.002 %，问测定值落在 0.095 % 0.103 %的概率是多少？问：测定值小于 0.095 % 的概率是多少？解： 根据 ，查 p88 表 4-2，得 P = 0.4773P(0.095 % 0.103 %) = 0.47732 = 0.955例 2： 对烧结矿试样进行 150次全铁含量分析，已知结果符合正态分布（ 0.4695， 0.00202）。求大于0.