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1. 多元函数的连续性6-3 多元函数的连续性定义 设 在点 的一个邻域内有定义 ,若则称 在 点连续 .多元函数的连续性与一元函数的连续性类多元函数的连续性与一元函数的连续性类似似 ,与函数的极限密切相关与函数的极限密切相关 .用 严格定义连续性 .若 在区域内有定义且在内每一点都连续，则称 在区域内 连续 . 上述不等式可以换成而所定义的连续性是彼此等价的 .例 1 函数证而故有证毕 .例 2 设解故k 值不同极限不同 !在 (0,0) 点不连续 .2. 关于二元函数连续性的几个定理定理 1 设 与 在点 处连续， 及在点 处也连续若 则在点连续定理 (复合函数的连续性 )设 在点 附近内有定义 , 且在 连续，又设 在点 的附近有定义 ,且在 点连续，则复合函数在 点连续定理 3 二元初等函数在其定义域内是连续的 .二元初等函数 如果它是从自变量 x与 y出发进行有限次加减乘除或复合以一元初等函数的结果 .类似地可定义多元初等函数 .映射的连续性如果在区域中每一点都连续，则称 在中 连续 定义例 3 考虑映射一元连续函数在闭区间上的性质 , 推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质 .有界闭区域上连续函数的性质在 的边界点 连续 使得当时 ,有 即首先定义 f在边界点 的连续性 .定理 （有界性定理）设函数 在有界闭区域 上连续，则 在 上有界即存在常数 使换句话说，当 P落在集合定理 最大 (小 )值定理设函数 在有界闭区域 上连续，则 在 上达到最大值和最小值即存在点 使定理 （介值定理）设函数 在闭区域 上连续，并假定与 m分别是 在 上的最大值和最小值，则对于任意的一定有一点 使得多元函数间断点多元函数间断点多元函数的间断点可以构成一些直线、曲线、曲面等 , 也可以是某些点的集合 .情形比较复杂情形比较复杂例如 函数其定义域为而 f(x,y)在 C上没有定义，当然 f(x,y)在 C上各点都不连续，所以园周上各点都是该函数的间断点 .内容小结1. 区域 邻域 : 区域 连通的开集 2. 多元函数概念n 元函数常用 二元函数(图形一般为空间曲面 )三元函数有3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数2) 闭域上
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