模煳数学模型

暑期培训 : 模糊数学刘云芬 2011.8.16一一 模糊集合概述二二 模糊聚类分析四四 模糊综合评判三三 模糊模式识别一、概述：什么是模糊数学秃子悖论 : 天下所有的人都是秃子设头发根数 n n=1 显然若 n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子模糊概念模糊概念： 从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。共同特点：模糊概念的外延不清楚。 术语来源Fuzzy: 毛绒绒的，边界不清楚的模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰模糊概念导致模糊现象模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。模糊性与精确性：对立统一，相互依存，可互相转化- 精确的概念可表达模糊的意思：如 “ 望庐山瀑布 ”“ 飞流直下 三千尺 ，凝是银河落 九天 ”- Fuzzy的概念也能表达精确的意思：模糊数学不是让数学变成模模糊糊的东西，而是让数学进入模糊现象这个禁区，即用精确的数学方法去研究处理模糊现象模糊性与随机性的区别事物事物分 确定性现象 与 非确定性现象- 确定性现象 ： 指在一定条件下一定会发生的现象- 非确定性 现象分随机现象与模糊现象 * 随机性 是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义，只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性* 模糊性 是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模糊的模糊数学发展简介模糊数学的广泛应用性模糊技术是 21世纪的核心技术模糊数学的应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域：1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析3）工业过程控制方面：模糊控制技术是复杂系统控制的有效手段4）家电行业：模糊家电产品5）航空航天及军事领域：指挥自动化系统6）人工智能与计算机高技术领域：模糊推理机、 F-C等7）其它国内外的研究现状日本与欧美的模糊技术热1 从八十年代起开展了模糊控制的研究与开发2 九十年代日本兴起模糊控制技术是高新技术领域的一次革命3 模糊产品给日本带来巨额利润4 日本模糊技术 21世纪的长远规划（ 6个重点课题）1）基础研究2）模糊电脑3）机器智能4）人机系统5）人与社会系统6）自然系统我国的模糊技术研究1) 70年代后期传到我国，起步晚，但发展快， “国际四强 ”2) 理论研究居世界领先地位，但应用与发达国家有差距3） “ 模糊技术产业化 ”4) 近几年国内掀起了模糊控制技术的研究与开发热，成绩喜人- 企业：大型家电集团已成功开发了国产模糊控制洗衣机 如： “ 小天鹅 ” ， “ 海尔 ” ， “ 小鸭 ” ， “ 金羚”等名牌智能洗衣机- 研究所，高校：清华大学北京师范大学四川大学（刘应明院士） 经典集合与特征函数 集合： 具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母 A、 B、 C等表示。论域： 对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母 U、 V、 X、 Y等表示。论域 U中的每个对象 u称为 U的 元素 。概述：模糊集合及其运算在论域 U中任意给定一个元素 u及任意给定一个经典集合 A，则必有 或者 ，用函数表示为：其中函数 称为集合 A的特征函数。 、模糊集合及其运算美国控制论专家 Zadeh教授正视了经典集合描述的“非此即彼 ”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是 “非此即彼 ”那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为 “亦此亦彼 ”的模糊现象。基于此， 1965年， Zadeh教授在 Information and Control 杂志上发表了一篇开创性论文 “Fuzzy Sets”,标志着模糊数学的诞生。1、模糊子集定义： 设 U是论域，称映射确定了一个 U上的 模糊子集 。映射 称为 隶属函数 ， 称为 对 的隶属程度，简称 隶属度 。模糊子集 由隶属函数 唯一确定，故认为二者是等同的。为简单见，通常用 A来表示 和 。模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（ 1） Zadeh表示法这里 表示 对模糊集 A的隶属度是 。如 “将一 1,2,3,4组成一个模糊集合 ”可表示为可省略（ 3）向量表示法（ 2）序偶表示法若论域 U为无限集，其上的模糊集表示为：例 设论域 U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位： cm)表示人的身高，那么 U上的一个模糊集 “高个子 ”(A)的隶属函数A(x)可定义为也可用 Zadeh表示法：还可用向量表示法：A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).另外，还可以在 U上建立一个 “矮个子 ”、 “中等个子 ”、 “年轻人 ”、 “中年人 ”等模糊子集 .从上例可看出：(1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集 ,而经典子集是有限的；(2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的 .隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方法 .如：考虑年龄集 U=0,100， A=“ 年老 ” ， A也是一个年龄集， u = 20 A， 40 呢？ 扎德给出了 “ 年老 ” 集函数刻画 :10 U50 100再如， B= “年轻 ”也是 U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数： 1025 50 UB（ u）2、模糊集的运算定义： 设 A， B是论域 U的两个模糊子集，定义相等：包含：并：交：余：表示取大；表示取小。几个常用的算子：（ 1） Zadeh算子（ 2）取大、乘积算子（ 3）环和、乘积算子概述：模糊集合及其运算（ 4）有界和、取小算子（ 5）有界和、乘积算子（ 6） Einstain算子模糊集合及其运算模糊集的并、交、余运算性质 幂等律： A A = A， AA = A；交换律： A B = B A， AB = BA；结合律： (A B) C = A (B C)，(AB)C = A(BC) ；吸收律： A (AB) = A， A( A B)= A； 分配律： (A B)C = (AC) (BC)；(AB) C = (A C)(B C)；0-1律： A U = U， AU = A；A = A， A = ；还原律： (Ac)c = A ；对偶律： (A B)c = AcBc，(AB)c = Ac Bc； 对偶律的证明：对于任意的 xU (论域 )，(A B)c(x) = 1 - (A B)(x) = 1 - (A(x) B(x)= (1 - A(x) (1 - B(x) = Ac(x) Bc(x)= AcBc (x)模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即A Ac U， AAc .模糊集不再具有 “非此即彼 ”的特点，这正是模糊性带来的本质特征 .例 设论域 U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集 )，在 U上定义两个模糊集： A =“商品质量好”， B =“商品质量坏 ”，并设A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).则 Ac=“商品质量不好 ”, Bc=“商品质量不坏 ”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可见 Ac B, Bc A. 又 A Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1)