二次型化为规范型

二次型化为规范型篇一：化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax2?2bxy?cy2?f. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度?，作转轴（反时针方 ?x?xcos?ysin? 向转轴） ? （2） ?y?xsin?ycos? 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 x 二次齐次多项式设 P 是一数域，一个系数在数域 P上的 x1,x2,.,的 nf(x,x,.n,?x)11a1?x12 2 12 2a1?xx?2.1n2?a1 n xx2?a?x22 2 ?2a?x x2n 2 nn .na x 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设 x1,x2,.,xn；y1,y2,.,yn 是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式 ?x1?c11y1?c12y2?.c1nyn ? x?c21y1?c22y2?.c2nyn?2? ?x3?c31y1?c32y2?.c3nyn （4） ?.?xn?cn1y2?cn2y2?.cnnyn 称为由 x1,x2,.,xn 到 y1,y2,.,yn 的一个线性替换， 。如果 cij?0，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 aij=aji，i f(x1,x2,.,xn)?a11x1?2a12x1x2?.?2a1nx1xn?a22x2?.?2a2nx2xn?.?annxn n n2 2 2 =? i?1 ?a j?1 ij xixj 它的系数排成一个 n*n 矩阵 ?a11 a12?a1n?a21 a22?a2n A? ? ?an1 an2?anm? ? 它就称为二次型的矩阵。显然它是对称矩阵。 ?x1?x2 令 X? ?xn ? ? 于是二次型可写成 f(x1,x2,.,xn)=XAX 非退化线性替换可以表示成 X=CY 三、化二次型为标准形的方法之一：配方法 定理：数域 P 上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。 证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法” 。 我们对变量的个数做数学归纳法。 2 对于 n=1，而二次型就是 f(x1)?a11x1 已经是平方和的形式了。现假定对 n-1 元二次 nn ij 型，定理的结论成立。再假设 f(x1,x2,.,xn)?分三种情况来讨论： ?a i?1 j?1 xixj（aij=aji） 1）aii（i=1，2，n）中是少有一个不为零，例如 a11?0。这时 n 21 nnn f(x1,x2,.,xn)=a11x +?a1jx1xj+?ai1xix1+? j?2 i?2 ? aijxixj i?2j=2 n 21 nn =a11x +2?a1jx1xj+? j?2 ? aijxixj 2 i?2j=22 =a11 ? ?x1? ?x1? n ? j?2n n ?n?1?1 a11a1jxj?-a11?a1jxj?+? ?j?2?i?2 2 n ? j=2 aijxixj =a11 这里 n ? j?2 n?1 a11a1jxj?+? i?2? n ? j=22 bijxixj， n ? i?2j=2 bijxixj=-a ?1 11 n ?n? ?a1jxj?+?j?2?i?2 n ? j=2 aijxixj 是一个 x2,.,xn 的二次型。令? ?y1?x1? ?y2?x2?.?yn?xn n ? j?2 ? aa1jxj ?x1?y1? 即?x2?y2 ?.?xn?yn -1 11 n ?a j?2 -111 a1jxj nn 这是一个非退化线性替换，它使 f(x1,x2,.,xn)=a11y+? 21? bijxixj。 i?2j=2 nn 有归纳法假定，对?b ij yiyj 有非退化线性替换 i?2j?2 ?z2?c22y2?c23y3?.c2nyn? ?z3?c32y2?c33y3?.c3nyn222 能使它变成平方和 d2z2?d3z3?.dnzn。 ? ?. ?z?cy?cy?.cy n22n33nnn?n 于是非退化的线性替换 ?z1?y1 ? z?c22y2?c23y3?.c2nyn?2? ?z3?c32y2?c33y3?.c3nyn ?.?zn?cn2y2?cn3y3?.cnnyn 222 就使 f(x1,x2,.,xn)变成 f(x1,x2,.,xn)=d2z2?d3z3?.dnzn 由归纳法，即证。 2）所有 aii 都等于 0，但至少一 a1j?0（j1） ，不是一般性，设 a12?0。令 ?x1?z1?z2 ? ?x2?z1- z2 它是非退化线性替换，且使 f(x1,x2,.,xn)=2a12x1x2?.? .? ?x?z?nn 22 =2a12(z1?z2)(z1- z2)?.=2a12z1?2a12z2?. 这时上式右端是 z1,z2,.,zn 的二次型，且 z1 的系数不为 0，属于第一种情况，定理成立。 3）a11?a12?.a1n?0 由于对称性，有 a21?a22?.a2n?0 n n ij 2 这时 f(x1,x2,.,xn)? ?a i?2j?2 xixj 是 n-1 元二次型。根据归纳假设，它能用非退化线性替 换变成平方和。这样就完成了定理得证明。 说明：虽然配方法是基础方法，但在应用化简二次型时比较麻烦。配方法需要通过观察来配方，对初学者来讲，具有一定的盲目性。 四、化二次型为标准形方法之二：合同变换法（初等变换法） 由上述配方法即得： 定理 在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵。 即对于任意一个对称矩阵 A，都可以找到一个可逆矩阵 C 使 CTAC 成对角形。 即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵。 典型例题：用合同变换法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。 f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x2?2x1x3 2 2 2 ?1 ? 解：f(x1,x2,x3)的矩阵为 A=1 ?1? 120 ?1?0 ?1? 以下为合同变换过程： ?1 ?1?1?1?0?0?1?0?0? 1XX0011 ?1?1*(?1)0?2?1?0? 0?1? ?1?1?3?1*(1)?2? ?1 ?0?1?1?0?0? 011 110010 ?1?1?2?1*(?1)?1?1 ?0?1?1?0?0?010 011?110 ?1?1*(1)1?3? ?1?0?0 ?1? 0? ? 0 ?1? 0?2*(?1)1?3?2? ?1 ?0?0? ?1?0?0?0? 1?3? ?2*(?1)?3? ?1 ?0?0?1?0?0? ?110010 0? 0?1?0?0 ?3? ?1 ?0?0? ?110 1? 0 ?1?1 ?0?0? ?110 1?0 ?1? ?1 ?0?0? ?110 2?1 ?1? ?1?因此 D=0 ?0? 010 0?1?0，C=0?0?3? ?110 2? ?1 ?1? 令 X=CY，得 f(x1,x2,x3)=y12?y22?3y32 五、 化二次型为标准形方法之三：正交变换法（实二次型） 利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论： 对于任意一个 n 级是对称矩阵 A，都存在一个 n 级是正交矩阵 T，使 T-1 TAT=TAT 成对角形。 nn ij 定理 任意一个实二次型 f(x1,x2,.,xn)? ?a i?1 j?1 xixj （aij=aji） 222 都可经过正交的线性替换变成平方和 f(x1,x2,.,xn)=d2z2?d3z3?.dnzn 其中平方项系数 d1,d2,.,dn 就使矩阵 A 的特征多形式全部的根。 因此只要求出特征根，二次型标准形也就求出来了。正交变换更具实用性。如： 典型例题：作直角变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲面？ x?2y?3z?4xy?4yz?1 2 2 2 解：此方程左端的二项式部分为：f(x,y,z) =x2?2y2?3z2?4xy?4yz 下把它正交替换成标准型： ?1? 它的矩阵 A=?2 ?0? ?22?2 0?1? ?2?E?A=2? 03? 2 02 ?22 =（?2） （?5） ?3 （?1）,A 的全部特征值是 2，5，-1.对于特征值 2，求出（2E-A）X=0 的一个基础解系：?2? ? 3 ?2?1?1?1?1 单位化，得?1?,把;对于特征值5，求出（5E-A）X=0 的一个基础解系：?3? ?2?2? ?3?1?3 ?1? 2? ?2?;对于特征值-1，?2?2,把?2 单位化，得求出（-E-A）X=0 的一个基础解系：?3? ?2?2? ?3? 篇二：化二次型为标准型的方法一、绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本应属于函数讨论的范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。 我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定，而任一实对称矩阵都可以化成一对角矩阵，相应的任一实二次型都可以化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法：配方法和正交变换法；此外，由于任意矩阵可以利用初等变换化为对角矩阵，因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。 通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法。 以下就是几种方法的简单介绍，并且又提出了一种新的方法：雅可比方法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax2?2bxy?cy2?f. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度?，作转轴（反时针方 ?x?xcos?ysin? 向转轴） ? （2） ?y?xsin?ycos? 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 x 设 P 是一数域，一个系数在数域 P 上的x1,x2,.,n 的二次齐次多项式 f(x,x,.n,?x)11a1?x12 2 12 2a1?xx?2.1n2?a1 n xx2?a?x22 2 ?2a?x x2n 2 nn .na x 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设 x1,x2,.,xn；y1,y2,.,yn 是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式 ?x1?c11y1?c12y2?.c1nyn?x?c21y1?c22y2?.c2nyn?2? ?x3?c31y1?c32y2?.c3nyn （4） ?.?xn?cn1y2?cn2y2?.cnnyn 称为由 x1,x2,.,xn 到 y1,y2,.,yn 的一个线性替换， 。如果 cij?0，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 aij=aji，i f(x1,x2,.,xn)?a11x1?2a12x1x2?.?2a1nx1xn?a22x2?.?2a2nx2xn?.?annxn n n2 2 2 =? i?1 ?a j?1 ij xixj 它的系数排成一个 n*n 矩阵 ?a11 a12?a1n? a21 a22?a2n A? ? ?an1 an2?anm ? ? 它就称为二次型的矩阵。显然它是对称矩阵。 ?x1?x2?令 X?xn ? ? 于是二次型可写成 f(x1,x2,.,xn)=XAX 非退化线性替换可以表示成 X=CY 三、化二次型为标准形的方法之一：配方法 定理：数域 P 上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。 证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法” 。 我们对变量的个数做数学归纳法。 对于 n=1，而二次型就是 f(x1)?a11x1 2 已经是平方和的形式了。现假定对 n-1 元二次型，定理的结论成立。再假设 n n ij f(x1,x2,.,xn)? ?a i?1 j?1 xixj（aij=aji） 分三种情况来讨论：1）aii（i=1，2，n）中是少有一个不为零，例如 a11?0。这时 n 21 nnn f(x1,x2,.,xn)=a11x +?a1jx1xj+?ai1xix1+? j?2 i?2 ? aijxixj i?2j=2 n 21 nn =a11x +2?a1jx1xj+? j?2 ? aijxixj 2 i?2j=22 =a11 ? ?x1? ?x1? n ? j?2n n ?n?1?1 a11a1jxj?-a11?a1jxj?+? ?j?2?i?2 2 n ? j=2 aijxixj =a11 这里 n ? j?2 n?1 a11a1jxj?+? i?2? n ? j=22 bijxixj， n ? i?2j=2 bijxixj=-a ?1 11 n ? ?a1jxj?+?j?2?i?2 n n ? j=2 aijxixj 是一个 x2,.,xn 的二次型。令 ? ?y1?x1? ?y2?x2?.?yn?xn n ?a j?2 -1 11 a1jxj 即 ? ?x1?y1? ?x2?y2?.?xn?yn n ? j?2 a11a1jxj -1 nn 这是一个非退化线性替换，它使 f(x1,x2,.,xn)=a11y+? 2 1? bijxixj。 i?2j=2 nn 有归纳法假定，对?b ij yiyj 有非退化线性替换 i?2j?2 ?z2?c22y2?c23y3?.c2nyn?z3?c32y2?c33y3?.c3nyn ? ?. ?z?cy?cy?.cy n22n33nnn?n 222 能使它变成平方和 d2z2?d3z3?.dnzn。 于是非退化的线性替换 ?z1?y1 ? z?c22y2?c23y3?.c2nyn?2? ?z3?c32y2?c33y3?.c3nyn ?.?zn?cn2y2?cn3y3?.cnnyn 就使 f(x1,x2,.,xn)变成 f(x1,x2,.,xn)=d2z2?d3z3?.dnzn 2 2 2 由归纳法，即证。 2）所有 aii 都等于 0，但至少一 a1j?0（j1） ，不是一般性，设 a12?0。令 ?x1?z1?z2? ?x2?z1- z2 ? ?.?x?z?nn 它是非退化线性替换，且使 f(x1,x2,.,xn)=2a12x1x2?. =2a12(z1?z2)(z1- z2)?. 22 =2a12z1?2a12z2?. 这时上式右端是 z1,z2,.,zn 的二次型，且 z1 的系数不为 0，属于第一种情况，定理成立。 3）a11?a12?.a1n?0 由于对称性，有 a21?a22?.a2n?0 n n ij 2 这时 f(x1,x2,.,xn)?