高中数学指数函数优秀教案设计精选

高中数学指数函数优秀教案设计精选 导语：指数函数是一种函数模型，其基本特征是自变 量在指数位置.底数取值范围有规定，使得这一模型形式简 单又不失本质.不必纠结于“y=22x 是否为指数函数” ，把重 点放在概念的合理性的理解以及体会模型思想.以下是品才 网小编整理的高中数学指数函数优秀教案设计精选，欢迎 阅读参考！ 高中数学指数函数优秀教案设计 第 1 课时 整体设计 教学内容分析 本节课是普通高中课程标准实验教科书数学(1) (人教 A 版)第二章第一节第二课()指数函数及其性质. 根据实际情况，将指数函数及其性质划分为三节课 指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)， 指数函数及其性质的应用(2) ，这是第一节课“指数函数 的图象及其性质”.指数函数是重要的基本初等函数之一， 作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基 础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数 函数应重点研究. 学生学习情况分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了 函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质 的第一次应用.教材在之前的学习中给出了两个实际例子 (GDP 的增长问题和碳 14 的衰减问题)，已经让学生感受到 了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来 说有些陌生.本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出 想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望. 设计思想 1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置.如何 突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号 语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思 考价值的问题，激发学生的求知欲望持久的好奇心.我 们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法， 以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是 借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的. 本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行 一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让 学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其 他函数的 研究中去. 2.在本节课的教学中我努力实践以下两点： (1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积 极主动、勇于探索的学习方式. (2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且 在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学 生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法. 3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法. 教学目标 根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指 数函数的概念，能画出具体指数函数的图象;在理解指数函 数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学 问题;在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这 两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数 的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体 会数学思想方法之重要;同时通过本节课的学习，使学生获 得研究函数的规律和方法;培养学生主动学习、合作交流的 意识. 重点难点 教学重点：指数函数的概念、图象和性质. 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳 指数函数的性质. 教学过程 一、创设情境、提出问题(约 3 分钟) 师：如果让 1 号同学准备 2 粒米，2 号同学准备 4 粒米， 3 号同学准备 6 粒米，4 号同学准备 8 粒米，5 号同学准备 10 粒米，按这样的规律，51 号同学该准备多少粒米? 学生回答后教师公布事先估算的数据：51 号同学该准 备 102 粒米，大约 5 克重. 师：如果改成让 1 号同学准备 2 粒米，2 号同 学准备 4 粒米，3 号同学准备 8 粒米，4 号同学准备 16 粒米，5 号 同学准备 32 粒米，按这样的规律，51 号同学该准备 多少粒米? 学情预设 学生可能说出很多或能算出具体数目. 师：大家能否估计一下 51 号同学该准备的米有多重吗? 教师公布事先估算的数据：51 号同学所需准备的大米 约重亿吨. 师：亿吨是一个什么概念?根据 XX 年 9 月 13 日美国农 业部发布的最新数据显示，XXXX 年度我国大米产量预计 为亿吨.这就是说 51 号同学所需准备的大米相当于 XXXX 年度我国全年的大米产量! 设计意图 用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准 备;同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸 增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望. 在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用 y 表示，每位同学的座号数用 x 表示，y 与 x 之间的关系分别 是什么? 学生很容易得出 y=2x(xN*)和 y=2x(xN*). 学情预设 学生可能会漏掉 x 的取值范围，教师要引导学生思考 具体问题中 x 的取值范围. 二、师生互动、探究新知 1.指数函数的定义 师：其实，在本章开头的问题中，也有一个与 y=2x 类 似的关系式 y=(x N*，x20). (1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出，约 3 分 钟)： y=2x(xN*)和 y=(xN*，x20)这两个解析式有什 么共同特征? 它们能否构成函数? 是我们学过的哪个函数?如果不是，你能否根据该函 数的特征给它起个恰当的名字? 设计意图 引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型.学 生对比已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数，发 现 y=2x，y=是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函 数命名，由此激发学生的学习兴趣. 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自 变量. 师：如果可以用字母 a 代替其中的底数，那么上述两 式就可以表示成 y=ax 的形式.自变量在指数位置，所以我 们把它称作指数函数. (2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约 6 分钟). 对于底数的分类，可将问题分解为： 若 a 若 a=0，会有什么问题?(对于 x0，ax 都无意义) 若 a=1 又会怎么样?(1x 无论 x 取何值，它总是 1， 对它没有研究 的必要) 师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定 a0 且 a1. 在这里要注意生生之间、师生之间的对话. 若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师 可以问，为什么要求 a0，且 a1;a=1 为什么不行? 若学生只给出 y=ax，教师可以引导学生通过类比一 次函数(y=kx+b，k0)、反比例函数(y=kx，k0)、二次 函数(y=ax2+bx+c，a0)中的限制条件，思考指数函数中 底数的限制条件.学情预设 设计意图 对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研 究一个函数应注意它的实际意义和研究价值; 讨论出 a0，且 a1，也为下面研究性质时对底数 的分类做准备. 接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义， 能否写出一两个指数函数?教师也在黑板上写出一些解析式 让学生判断，如 y=23x，y=32x，y=-2x. 学情预设 学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的. 设计意图 加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解. 2.指数函数的性质 (1)提出两个问题(约 3 分钟) 目前研究函数一般可以包括哪些方面? 设计意图 让学生在研究指数函数时有明确的 目标：函数三要素 (对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇 偶性). 研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究?用什 么方法、从什么角度研究? 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究;可以 从具体的函数入手(即底数取一些数值);当然也可以用列表 法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出 此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才 能事半功倍!还可以借助一些数学思想方法来思考. 设计意图 让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此 引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度 对函数进行研究; 对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、 数形结合、分类讨论)的有机渗透. (2)分组活动，合作学习(约 8 分钟) 师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对 指数函数进行研究. 让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画 图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图 象的角度入手研究指数函数; 每一大组再分为若干合作小组(建议 4 人一小组); 每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流. 学情预设 考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个 别组可做适当的指导. 通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主 人更可加深对所得到结论的理解.设计意图 (3)交流、总结(约 1012 分钟) 师：下面我们开一个成果展示会! 教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选 一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角 度入手研究的结果. 教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论 进行适当的点评或要求学生分析.这里除了研究定义域、值 域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性 质? 师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、 奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢?如过定点 (0，1)，y=ax 与 y=1ax 的图象关于 y 轴对称 学情预设 首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报; 对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分 类的小组上台汇报; 问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生 对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的 单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函 数图象的变化. 设计意图 函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法， 通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多 个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一 些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证;特别是 定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的. 让学生上台汇报研究成果，使学生有种成就感，同 时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学 素养; 对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让 学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自 然. 师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶 性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定;从解 析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但 对底数的分类却很难想到. 教师通过几何画板中改变参数 a 的值，追踪 y=ax 的图 象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变 化规律. 师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总 结边板书. 图象 0 a1 定义域 R 值域 (0，+) 性质 过定点(0,1) 非奇非偶 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 三、巩固训练、提升总结(约 8 分钟) 1.例：已知指数函数 f(x)=ax(a0，且 a1)的图象经 过点(3，)，求 f(0)，f(1)，f(-3)的值. 解：因为 f(x)=ax 的图象经过点(3，)，所以 f(3) =， 即 a3=.解得 ，于是 f(x)= . 所以 f(0)=1，f(1)=3，f(-3)=1. 设计意图 通过本题加深学生对指数函数的理解. 师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么 条件吗? 师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因 此只要一个条件，即布列一个方程就可以了. 设计意图 让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生 渗透方程的思想. 2.练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出 y=3x 和 y=13x 的大致图象，并说出这两个函数的性质; (2)求下列函数的定义域： ; . 3.师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识? 你有什么收获? 学情预设 学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引 导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数. 设计意图 让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角 度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移 到其他函数的研究中去. 总结本节课中所用到的数学思想方法. 强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相 互作用，才能融会贯通. 4.作业：课本习题组 5. 教学反思 1.本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从 不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究， 不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要 的是 让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他 函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非 “授之以鱼”. 2.教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、 立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、 突破教学重点、提高课堂效率，本节课使用几何画板可以 动态地演示出指数函数的底数的变化过程，让学生直观地 观察底数对指数函数单调性的影响. 3.在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学 生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之 重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、 思考问题. 指数函数及其性质的应用 整体设计 三维目标 1.知识与技能 理解指数函数的图象和性质，会利用性质来解决问题. 2.过程与方法 能利用指数函数的图象和性质来比较两个值的大小， 图象间的平移，去探索利用指数函数的单调性来求未知字 母的取值范围. 3.情感、态度与价值观 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类 重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学 生的创新意识. 重点难点 教学重点：指数函数的图象和性质. 教学难点：指数函数的性质应用. 教学过程 第 2 课时 指数函数及其性质的应用(1) 作者：王建波 导入新课 思路 1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概 念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象 和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题， 这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题. 思路 2.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函 数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理 论上，我们能否严格的证明(特别是指数函数的单调性)， 以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这 个问题.教师板书课题：指数函数及其性质的应用(1). 应用示例 例 1 比较下列各题中的两个值的 大小： (1)与;(2)与;(3)与 活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方 法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案(最好用 实物投影仪展示写得正确的答案).比较数的大小，一是作 差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大; 图 1 二是作商，但必须是同号数，看商与 1 的大小，再决 定两个数的大小;三是计算出每个数的值，再比较大小;四 是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其 他学生的解答，发现问题及时纠正并评价. 解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计 算器或计算机画出 y=的图象，如图 1. 在图象上找出横坐标分别为,3 的点，显然，图象上横 坐标为 3 的点在横坐标为的点的上方，所以 解法二：用计算器直接计算：,， 所以 解法三：利用函数单调性， (1)与的底数是，它们可以看成函数 y=，当 x=和 3 时 的函数值;因为1，所以函数 y=在 R 上是增函数，而 (2)与 的底数是，它们可以看成函数 y=，当 x=-和-时的函数值; 因为 0-，所以 (3)因为=1, 点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决， 但解法三不适合.由于与不能直接看成某个函数的两个值， 因此，在这两个数值间找到 1，把这两数值分别与 1 比较大 小，进而比较与的大小，这里的 1 是中间值. 思考 在上面的解法中，你认为哪种方法更实用? 活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无 定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法， 这要通过反复练习强化来实现. 变 式训练 1.已 知 a=，b=，c=，按大小顺序排列 a，b，c. 解：b 2.比较 与 的大小(a0 且 a1). 解：分 a1 和 0 当 a1 时， . 例 2 用函数单调性的定义证明指数函数 y=ax(a0，且 a1)的单调性. 活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤， 单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写. 证法一：设 x1，x2R，且 x1 y2-y1= . 因为 a1，x2-x10，所以 ，即 -10. 又因为 0，所以 y2-y10，即 y1 所以当 a1 时，y=ax，xR 是增函数. 同理可证，当 0 证法二：设 x1，x2R，且 x1 因为 a1，x2-x10，所以 1，即 y2y11，y1 所以当 a1 时，y=ax，xR 是增函数. 同理可证，当 0 变式训练 若指数函数 y=(2a-1)x 是减函数，则 a 的取值范围是 多少? 解：由题可知 0 例 3 截止到 1999 年底，我国人口约 13 亿，如果今后 能将人口年平均增长率控制在 1%，那么经过 20 年后，我国 人口数最多为多少(精确到亿)? 活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式， 建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生 注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长 的情况，再从中发现规律，最后解决问题： 1999 年底 人口约为 13 亿; 经过 1 年 人口约为 13(1+1%)亿; 经过 2 年 人口约为 13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2 亿; 经过 3 年 人口约为 13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿; 经过 x 年 人口约为 13(1+1%)x 亿 ; 经过 20 年 人口约为 13(1+1%)20 亿. 解：设今后人口年平均增长率为 1%，经过 x 年后，我 国人口数为 y 亿，则 y=13(1+1%)x， 当 x=20 时，y=13(1+1%)2016(亿). 答：经过 20 年后，我国人口数最多为 16 亿. 点评：类似此题，设原值为 N，平均增长率为 p，则对 于经过时间 x 后总量 y=N(1+p)x(xN)，像 y=N(1+p)x 等形 如 y=kax(kR，且 k0;a0，且 a1)的函数称为指数型 函数. 知能训练 1.函数 y=a|x|(a1)的图象是( ) 图 2 解析：当 x0 时，y=a|x|=ax 的图象过(0,1)点，在第 一象限，图象下凸，是增函数. 答案：B 2.下列关系中正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 3.已知函数 f(x)的定义域是(0,1)，那么 f(2x)的定义 域是( ) A.(0,1) ，1 C.(-，0) D.(0，+) 解析：由题意得 0 答案：C 4.若集合 A=y|y=2x，xR，B=y|y=x2，xR，则( ) B B =B B= 解析：A=y|y0，B=y|y0，所以 A B. 答案：A 5.对于函数 f(x)定义域中的任意的 x1、x2(x1x2)， 有如下的结论： f(x1+x2)=f(x1)f(x2);f(x1x2)=f(x1)+f(x2); f(x1)-f(x2)x1-x20;fx1+x22 当 f(x)=10x 时，上述结论中正确的是_. 解析：因为 f(x)=10x，且 x1x2，所以 f(x1+x2)= =f(x1)f(x2)，所以正确; 因为 f(x1x2)= =f(x1)+f(x2)，不正确; 因为 f(x)=10x 是增函数，所以 f(x1)-f(x2)与 x1-x2 同号， 所以 f(x1)-f(x2)x1-x20，所以正确. 因为函数 f(x)=10x 图象如图 3 所示是上凹下凸的，可 解得正确. 图 3 答案： 另解：.10x10,10x20，x1x2， . ， 即 .f(x1)+f(x2)2fx1+x22. 拓展提升 在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间 的联系. (1)y=3x，y=3x+1，y=3x-1; (2)y=12x，y=12x-1，y=12x+1. 活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思 路，教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤， 按 规定作出图象，特别是关键点. 解：如图 4 及图 5. 观察图 4 可以看出，y=3x，y=3x+1，y=3x-1 的图象间 有如下关系： y=3x+1 的图象由 y=3x 的图象左移 1 个单位得到; y=3x-1 的图象由 y=3x 的图象右移 1 个单位得到; y=3x-1 的图象由 y=3x+1 的图象向右移动 2 个单位得到. 观察图 5 可以看出，y=12x，y=12x-1，y=12x+1 的图象 间有如下关系： y=12x+1 的图象由 y=12x 的图象左移 1 个单位得到; y=12x-1 的图象由 y=12x 的图象右移 1 个单位得到; y=12x-1 的图象由 y=12x+1 的图象向右移动 2 个单位得 到. 你能推广到一般的情形吗?同学们留作思考. 课堂小结 思考 本节课我们主要学习了哪些知识，你 有什么收获?把 你的收获写在笔记本上. 活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学 习心得，看是否与多媒体显示的内容一致. 本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思 想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成 了一定的能力与方法. 作业 课本习题 B 组 1,3,4. 设计感想 本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内 容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必 须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借 助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构 造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分 a1,0 第 3 课时 指数函数及其性质的应用(2) 作者：刘玉亭 导入新课 思路 1.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函 数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上 节课的探究中我们知道，函数y=3x，y=3x+1，y=3x- 1 的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象， 那么，对 y=ax 与 y=ax+m(a0，mR)有着怎样的关系呢?在 理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢?这是 我们本堂课研究的内容.教师点出课题：指数函数及其性质 的应用(2). 思路 2.我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别 是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习 的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们 在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单 单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的 复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们 面临的问题，也是我们本节课要解决的问题指数函数 及其性质的应用(2). 推进新课 新知探究 提出问题 (1)指数函数有哪些性质? (2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些? (3)对复合函数，如何证明函数的单调性? (4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法? 活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答， 积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用 多媒体显示辅助内容. 讨论结果：(1)指数函数的图象和性质 一般地，指数函数 y=ax 在底数 a1 及 0 a1 0 图 象 图 象 特 征 图象分布在一、二象限，与 y 轴相交，落在 x 轴的 上方 都过点(0,1) 第一象限的点的纵坐标都大于 1;第二象限的点的纵坐 标都大于 0 且小于 1 第一象限的点的纵坐标都大于 0 且小 于 1;第二象限的点的纵坐标都大于 1 从左向右图象逐渐上升 从左向右图象逐渐下降 性 质 (1)定义域：R (2)值域：(0，+) (3)过定点(0,1)，即 x=0 时，y=1 (4)x0 时，y1;x0 时，01 (5)在 R 上是增函数 (5)在 R 上是减函数 (2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是： 取值.即设 x1，x2 是该区间内的任意两个值且 x1 作差变形.即求 f(x2)-f(x1)，通过因式分解、配方、 有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形. 定号.根据给定的区间和 x2-x1 的符号确定 f(x2)- f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论. 判断.根据单调性定义作出结论. (3)对于复合函数 y=f(g(x)可以总结为： 当函数 f(x)和 g(x)的单调性相同时，复合函数 y=f(g(x)是增函数; 当函数 f(x)和 g(x)的单调性相异即不同时，复合函数 y=f(g(x)是减函数; 又简称为口诀“同增异减”. (4)判断函数的奇偶性： 一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再 次是考查式子 f(x)与 f(-x)的关系，最后确定函数的奇偶 性; 二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原 点或 y 轴对称，则函数具有奇偶性. 应用示例 例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它 们与指数函数 y=2x 的图象的关系. (1)y=2x+1 与 y=2x+2;(2)y=2x-1 与 y=2x-2. 活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法 和步 骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作 图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是 (0,1)点，或用计算机作图. 解：(1)列出函数数据表作出图象如图 6. x -3 -2 -1 0 1 2 3 2x 1 2 4 8 2x+1 1 2 4 8 16 2x+2 1 2 4 8 16 32 图 6 比较可知函数 y=2x+1、y=2x+2 与 y=2x 的图象的关系 为：将指数函数 y=2x 的图象向左平行移动 1 个单位长度， 就得到函数 y=2x+1 的图象;将指数函数 y=2x 的图象向左平 行移动 2 个单位长度，就得到函数 y=2x+2 的图象. (2)列出函数数据表作出图象如图 7. x -3 -2 -1 0 1 2 3 2x 1 2 4 8 2x-1 5 1 2 4 2x-2 25 5 1 2 图 7 比较可知函数 y=2x-1、y=2x-2 与 y=2x 的图象的关系 为：将指数函数 y=2x 的图象向右平行移动 1 个单位长度， 就得到函数 y=2x-1 的图象;将指数函数 y=2x 的图象向右平 行移动 2 个单位长度，就得到函数 y=2x-2 的图象. 点评：类似地，我们得到 y=ax 与 y=ax+m(a0，a1，mR)之间的关系： y=ax+m(a0，mR)的图象可以由 y=ax 的图象变化而 来. 当 m0 时，y=ax 的图象向左移动 m 个单位得到 y=ax+m 的图象; 当 m 上述规律也简称为“左加右减”. 变式训练 为了得到函数 y=2x-3-1 的图象，只需把函数 y=2x 的 图象( ) A.向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B.向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C.向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D.向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 答案：A 点评：对于有些复合函数的图象，常用变换方法作出. 例 2 已知定义域为 R 的函数 f(x)=-2x+b2x+1+a 是奇函 数. (1)求 a，b 的值; (2)若对任意的 tR，不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k) 活动：学生审题，考虑解题思路.求值一般是构建方程，求 取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提 示，(1)从条件出发，充分利用奇函数的性质，由于定义域 为 R，所以 f(0)=0，f(-1 )=-f(1)，(2)在(1)的基础上求 出 f(x)，转化为关于 k 的不等式，利用恒成立问题再转化. (1)解：因为 f(x)是奇函数， 所以 f(0)=0，即 b-1a+2=0b=1.所以 f(x)=1- 2xa+2x+1; 又由 f(1)=-f(-1)知 1-2a+4=-1-12a+1a=2. (2)解法一：由(1)知 f(x)=1-2x2+2x+1=-12+12x+1，易 知 f(x)在(-，+)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k) 等价于 f(t2-2t) t2-2tk-2t2，即对一切 tR 有 3t2- 2t-k0， 从而判别式 =4+12k 解法二：由(1)知 f(x)=1- 2x2+2x+1. 又由题设条件得 ， 即 . 整理得 ，因底数 21，故 3t2-2t-k0， 上式对一切 tR 均成立，从而判别式 =4+12k 点 评：记住下列函数的增减性，对解题是十分有用的，若 f(x)为 增(减)函数，则 1f(x)为减(增)函数. 知能训练 求函数 y=12|1+2x|+|x-2|的单调区间. 活动：教师提示，因为指数含有两个绝对值，要去绝 对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的 单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调 性学生思考讨论，然后解答. 解：由题意可知 2 与-12 是区间的分界点. 当 x 所以此时函数为增函数. 当-12x 所以此时函数为减函数. 当 x2 时，因为 y=121+2x+x-2=123x-1=21- 3x=218x， 所以此时函数为减函数. 当 x1-12，2，x2 某细胞分裂时，由一个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，4 个分裂成 8 个，如果细胞分裂 x 次，相应的细胞个数为 y，如何描述这两个变量的关系? 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年， 这种物质剩余的质量是原来的 84%.如果经过 x 年，该物质 剩余的质量为 y，如何描述这两个变量的关系? 引导学生分析，找到两个变量之间的函数关系，并得 到解析式 y=2x 和 y= 师：这样的函数你见过吗?是一次函数吗?二次函数?这 样的函数有什么特点?你能再举几个例子吗? 问题 1类似的函数，你能再举出一些例子吗?这些 函数有什么共同特点?能否写成一般形式? 通过列举生活中指数函数的具体例子，感受指数函数 与实际生活的联系.引导学生从具体实例中概括典型特征， 初步形成指数函数的概念，并用数学符号表示.初步得到 y=ax 这个形式后，引导学生关注底数的取值范围，完成概 念建构.指数范围扩充到实数后，关注 xR 时，y=ax 是否 始终有意义，因此规定 a1 并不是必须的，常函数在高 等数学里是基本函数，也有重要的意义.为了使指数函数与 对数函数能构成反函数，规定 a1.此处不需对此解释，只 要补充说“1 的任何次方总是 1，所以通常还规定 a1”. 学生举例，教师引导学生观察，其共同特点是自变量 在指数位置，从而初步建立函数模型 y=ax. 学生能举出具体的例子y=3x，y=.如出现 y=(-2) x 最好，更便于引发对 a 的讨论，但一般不会出现.进而提 出这类函数一般形式 y=ax. 方案 1： 生：(举例)函数 y=3x，y=4x，(函数 y=ax(a1) 师：板书学生举例(稍停顿)，能举一个不太一样的例 子吗?(提示：底数非得大于 1 吗?) 生：函数 y=，y= x，y=(-2)x，y=1x 师：板书学生举例(停顿)，好像有不同意见. 生：底数不能取负数. 师：为什么? 生：如果底数取负数或 0，x 就不能取任意实数了. 师：我们已经将指数的取值范围扩充到了 R，我们希望 这些函数的定义域就是 R. (若没有学生注意到底数的取值范围，可引导学生关注 例举函数的定义域.若有同学提出情境中函数的定义域应为 N+，师：我们已经将指数的取值范围扩充到了 R，函数 y=2x 和 y=中，能否将定义域扩充为 R?你们所举的例子中， 定义域是否为 R?) 师：这些函数有什么共同特点? 生：都有指数运算.底数是常数，自变量在指数位置. (若有学生举出类似 y=max 的例子，引导学生观察，它 依然具有自变量在指数位置的特征.而刻画这一特点的最简 单形式就是 y=ax，从而初步建立函数模型 y=ax，初步体会 基本初等函数的作用.) 师：具备上述特征的函数能否写成一般形式? 生：可以写成 y=ax(a0). 师：当 a=1 时，函数就是常数函数 y=1.对于这个函数， 我们已经比较了解了.通常我们还规定 a1.今天我们就来 了解一下这个新函数.(出示指数函数定义) 方案 2： 生：(举例)函数 y=3x，y=4x，(函数 y=ax(a1) 师：板书学生举例(稍停顿)，能举一个不太一样的例 子吗?(提示：底数非得大于 1 吗?) 生：函数 y=，y= x， 师：这些函数的自变量是什么?它们有什么共同特点? 生：(可用文字语言或符号语言概括)都有指数运算.底 数是常数，自变量在指数位置.可以写成 y=ax. 师：y=ax 中，自变量是 x，底数 a 是常数.以上例子的 不同之处，是底数不同.那你觉得底数的取值范围是什么呢? 生：底数不能取负数. 师：为什么? 生：如果底数取负数或 0，x 就不能取任意实数了. 师：为了研究的方便，我们要求底数 a0.当 a=1 时， 函数就是常数函数 y=1.对于这个函数，我们已经比较了解 了.通常我们还规定 a1.今天我们就来了解一下这个新函 数.(出示指数函数定义) 一般地，函数 y=ax(a0 且 a1)称为指数函数.它的定 义域是 R. 概念教学应当让学生感受形成过程，了解知识的来龙 去脉，那种直接抛出定义后辅以“三项注意”的做法剥夺 了学生参与概念形成的过程.此处不宜纠缠于 y=22x 是否为 指数函数等细枝末节.指数函数的基本特征是自变量出现在 指数上，应促使学生对概念本质的理解.指数函数概念的形 成，经历了一个由粗到细，由特殊到一般，由具体到抽象 的渐进过程，这样更加符合人们的认知心理. 2. 实验探索 汇报交流 (1)构建研究方法 师：我们定义了一个新的函数，接下来，我们研究什 么呢? 生：研究函数的性质. 问题 2你打算如何研究指数函数的性质? 学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法与函数 的一般性质，对函数有了初步的认识.在此认知基础上，引 导学生自己提出所要研究的问题，寻找研究问题的方法.开 始的问题较宽泛，教师要缩小问题范围，用提示语口头提 问启发.教师应充分尊重学生的思维个性，提供自主探究的 平台，通过汇报交流活动达成共识实现殊途同归.中学阶段， 特别是高一新授课阶段，提倡学生以形象思维作为抽象思 维的支撑. 师生经过讨论，解决启发性提示问题，确定研究的内 容与方法. 学生能够根据已有知识和经验，在教师的启发引导下， 明确研究的内容以及研究的方法.部分学生会提出先作出具 体函数图象，观察图象，概括性质，并进而归纳出一般函 数的图象的分布特征等性质.另一部分学生可能从具体函数 的解析式出发，研究函数性质，猜想一般函数的性质，然 后再作出图象加以验证. 师：(稍等片刻)我们一般要研究哪些性质呢? 生：变量取值范围(定义域、值域)、单调性、奇偶性. 师：(板书学生回答)怎样研究这些性质呢? 生：先画出函数图象，观察图象，分析函数性质. 生：先研究几个具体的指数函数，再研究一般情况. 师：板书“画图观察” ， “取特殊值” (若没有学生提出从特殊到一般的思路.师：底数 a 的 取值不同，函数的性质可能也会有不同.一次函数 y=kx(k0)中，一次项系数 k 不同，函数性质就不同.底数 a 可以取无数多个值，那我们怎么办呢?) (若有学生通过对 y=2x 解析式的分析，得到了性质， 并提出从具体函数的解析式出发，研究函数性质，猜想一 般函数的性质，然后再作出图象加以验证.师：你的想法也 很有道理，不妨试一试.(仍引导学生从具体指数函数图象 入手.) 学习的过程就是一个不断地提出问题、解决问题的过 程.提出问题比解决问题更重要，给学生提供由自己提出问 题、确定研究方法的机会，逐渐学会研究问题，促进能力 发展. (2)自主探究 汇报交流 师：我们确定了要研究的对象和具体做法，下面可以 开始研究指数函数的性质了. 问题 3选取数据，画出图象，观察特点，归纳性质. 若直接规定底数取值，对于为什么要以 y=2x，y=3x，y=为例，为什么要根据底数的大小分类讨论， 缺乏合理的解释，学生对于图象的认识是被动的.若在探究 前经讨论确定底数取值，由于学生认知水平的差异，仍可 能会造成部分学生被动接受.学生自主选择底数，虽有得到 片面认识的可能，但通过讨论交流，学生能相互验证结论， 仍能得到正确认识.并且学生能在过程中体会数据如何选择， 了解研究方法. 由于描点作图时列举点的个数的限制，学生对 x时 函数图象特征缺乏直观感受.而且由于所举例子个数的限制， 学生对于归纳的结论缺乏一般性的认识.教师应利用绘图软 件作出底数连续变化的图象 ，验证猜想. 数形结合、从特殊到一般的思维方法是概括归纳抽象 对象的一般思维方法，本节课的重点是通过对指数函数图 象性质的研究，总结研究函数的一般方法，应充分发动学 生参与研究的每个过程，得到直接体验. 学生选取不同的 a 的值，作出图象，观察它们之间的 异同，总结指数函数的图象特征与函数性质. 学生通过观察图象，发现指数函数 y=ax(a0 且 a1) 的性质.教师用实物投影仪展示学生所画图象，学生根据具 体函数图象说明具体函数性质.在学生说明过程中，教师引 导学生对结论进行适当的说明，进而引导学生归纳一般指 数函数的性质.教师引导学生关注列表描点作图的过程，引 导学生通过反思过程，并通过动态图象验证猜想，促进学 生体会数形结合的分析方法.教师尊重生成，但需引导学生 区别指数函数本身的性质与指数函数之间的性质.其中 不强加于学生.对于，要引导学生在同一坐标系中画出图 象，启发学生观察底数互为倒数的指数函数的图象，先得 到具体的例子.对于，在例 1 第 3 小题中，会有学生提出 利用不同底数指数函数图象解决，可顺势利导，也可布置 为课后作业，继续研究. 生：自主选择数据，在坐标纸上列表作图，列出函数 性质. 师：(巡视，必要时参与讨论，及时提示任务，待大部 分学生有结论后，鼓励学生交流，请学生汇报.)有条理地 整理一下结论，讨论交流所得.(同时用实物投影仪展示学 生所画图象.若没有投影仪，用几何画板作出图象.) 生：(可能出现的情况)(1)在两个坐标系中画图;(2)所 取底数均大于 1;(3)两个底数大于 1，一个底数小于 1;(4) 关于 y 轴对称的两个指数函数. 师：(过程性引导)底数你是怎么取的?你是怎样观察出 结论的?在列表过程中，你有什么发现吗?为什么要在两个 坐标系中画图?为什么不也取两个底数小于 1? 师：(用彩笔描粗图象，故意出错)错在哪里?为什么? 生：指数函数是单调递增的，过定点(0, 1). 师：(引导学生规范表述，并板书)指数函数在(-, +)上单调递增，图象过定点(0, 1). 师：指数函数还有其它性质吗? 生：图象始终在 x 轴上方.(若学生画图有误，可相互 点评，掌握图象特征.) 师：也就是说值域为(0, +). 生：指数函数是非奇非偶函数. 师：有不同意见吗? 生：当 0 (其它预设： (1)当 a1 时，若 x0，则 y1;若 x 当 00，则 y1. (2)学生画出 y=2x 和 y=3x 图象，得出函数递增速度的 差异. (3)画出 y=2x 和 y=图象，得到底数互为倒数的指数函 数图象关于 y 轴对称.) 师：(板书学生交流结果，整理成表格.注意区分“函 数性质”与“函数之间的关系”.若有学生试图说明结论的 合理性，可提供机会.)大家认为底数 a1 或 0 指数函数 y=ax(a0 且 a1)具有以下性质： 定义域为 R. 值域为(0, +). 图象过定点(0, 1). 非奇非偶函数. 当 a1 时，函数 y=ax 在(-, +)上单调递增; 当 0 函数 y=ax 与 y=()x (a0 且 a1)图象关于 y 轴对称. 指数函数 y=ax 与 y=bx(ab)的图象有如下关系： x(-, 0)时，y=ax 图象在 y=bx 图象下方; x=0 时，两图象相交; x(0,+)时，y=ax 图象在 y=bx 图象上方. 通过探究活动，使学生获得对指数函数图象的直观认 识.学生观察图象，是对图形语言的理解;根据图象描述性 质，是将图形语言转化为符号或文字语言.对函数的理解， 是建立在三种语言相互转化的基础上的.在交流汇报过程中， 一方面要通过对探究较深入学生的具体研究过程的剖析， 总结提升学习方法，优化学习策略;另一方面要关注部分探 究意识与能力都薄弱的学生的表现，鼓励他们大胆发言， 激励他们主动参与活动，让全体学生成为真正的学习主体. 自主探究活动能充分激发学生的相互学习能力，能有效帮 助学生突破难点. 3. 新知运用 巩固深化 (方案一)(分析函数性质的用途) 师：现在我们了解了指数函数的定义和性质，它们有 什么用处呢? 师：函数的定义域是函数的基础，是运用性质的前提. 值域是研究函数最值的前提.具备奇偶性的函数，可以利用 对称性简化研究.指数函数过定点(0, 1)，说明可以将常数 1 转化为指数式，即 1=20=30=那么函数单调性有什么用 呢? 生：可以求最值，可以比较两个函数值的大小. 师：那你能举出运用指数函数单调性比大小的例