关于失踪飞机的搜寻方案设计

1 关于失踪飞机的搜寻方案设计 一、 问题重述 2014 年 3 月 8 日凌晨 2 点 40 分， 马来西亚航空公司 航班号为 管制中心失去联系 1 。这一事件引起了全世界的关注。以 此为背景， 建立一个通用的数学模型，可以帮助“搜寻者”规划一个有用的寻找失踪飞机的搜寻方案， 假设飞机在从 A 点飞往 B 点的过程中，有可能坠落在如大西洋，太平洋，印度南部或北冰洋等水域。假设没有从失联的飞机收到任何信号。 问题一： 确定 离群失联节点的位置 ； 问题二： 研究失事飞机坠落轨迹； 问题三： 确定残骸漂移区域； 问题四：在 目标区域 内进行合理搜寻。 二、模型假设 无线网络中各个节点都含有位置的信息，并且都能 相互通信 ； 设飞机机身在整个下落过程中近似在一个平面上； 不考虑垂直方向速度分量 ; 南北与东西分量 )相互独立 ; 风场与流场 )服从高斯分布 。 三、符号说明 M 信道中信息 Q 参照节点接收处理的信息 S 离群失联节点的定位速度 中的顶点 0W 顶点im，W 实际的距离 W 的方差 2 000 , 坐标的原点 G 重力 飞机下滑角 飞机在坠落过程中所受的升力 w 温度对密度的校正指数 h 海拔高度 P h 处的气压 V 目标漂移速度 F 目标所受外力之和 m 附加质量（ 来源于附着在目标表面水粒子的加速度 ） a空气的密度 w海水的密度 A 海浪的波幅 3 g 重力加速度 C 表层海流的流速 L 目标的风致漂移速度 j第 j 个粒子的风压系数扰动 四、 问题分析 一 架世界上最为先进飞机 的失踪 ，引起全世界的广泛关注。此次事件引发大家对航空安全的担忧， 搜寻失联的飞机这一问题 也因此成为搜救工作者难以攻克的问题。 本文通过建立概率密度函数模型和轨迹微分模型等，从而对飞机不同的电子设备和传感器予以分析 ， 建立通用搜寻方案 模型 。 阶段一 ， 利用概率密度函数确定 离群失联节点的位置 。首先假设 在无线网络中各个节点都含有位置的信息，并且都能相互通信 。 通过将位置信息进行相互通信能够计算出与相邻节点的距离 ，而后对节点之间的距离进行测量。由于 定位测量误差服从高斯曲线，定位在 S 的概率比在 S 之外的空间的概率要高 ，因此将节点的实际距离可用概率密度函数描述。最后， 利用泰勒级数计算方法 得到 概率密度函数的 唯一的峰值 ， 即 离群失联节点的位置 ， 从而建立概率密度函数模型 。 阶段二， 建立飞机坠落轨迹模型研究失事飞机坠落轨迹，确定飞机坠落点区域。 假设 飞机机身在整个下落过程中近似在一个平面上。飞机在发动机失效以后，机头朝下进行迫降，飞机坠落过程近类平抛运动。运用动力学知识和几何关系，得到角度与分速度存在关系、分速度与实际速度存在的关系、风对飞机的力和升力之间关系，在此过程中要考虑大气密度为垂直方向上分布函数，建立基本的飞机坠落轨迹 微分 模型。 最后应用 编程求解，采用数值方法求解微分方程，得出飞机坠 落时距离开始下降地点的水平位移及飞机坠入海时的水平速度0 和竖直速度 50- 。 阶段三，建立 一般搜寻目标整体漂移模型，确定残骸漂移区域。基于计算机模拟概率过程能很好地描述计算搜寻区域过程中包含的多种不确定因素 ,采用蒙特卡罗技术，适应复杂搜救条件下的搜寻规划需要 ,建立随机粒子仿真法。而后从分析搜寻目标漂移运动特点出发 ,在海洋环境数值预报模式下 ,考虑不同的遇险推测场景条件 ,采用随机粒子仿真法确定目标初始概率分布。随后通过分析海洋环境数据误差扰动以及风压系数误差扰动 ,对漂移的影响建立一般搜寻目标整体漂移模型。最后 ,通过模拟漂移物的运动，对漂移区域数 值进行预测仿真实验，即对该整体漂移模型进行验证。 阶段四，分派搜寻力量，实现目标区域全覆盖。假设失联飞机未发出任何信号，因此不考虑探测到黑匣子信号。为保证搜寻的高效性 ,当搜寻区域范围很大且遇险目标位置在该区域内的概率分布为均匀分布时，对其进行合理剖分 ,形成子区域 ,并分别指派给每个搜寻力量协同开展行动。 4 针对搜寻力量任务 分配问题所提出的海上搜寻区域剖分算法 ,借鉴了多边剖分算法的思想并对其进行了有效改进 ,从而形成适合于开展海上搜寻行动的任务分配算法。 五、 模型建立与求解 5 模型 一： 概率密度函数模型 确定离群失联节点 ， 得到离群失联节点位置的坐标 ， 实现对离群失联节点的定位 。 首先假设 在无线网络中各个节点都含有位置的信息，并且都能相互通信 ，通过将位置信息进行相互通信能够计算出与相邻节点的距离 。而后对节点之间的距离进行测量，由于 定位测量误差服从高斯曲线，定位在 S 的概率比在 S 之外的空间的概率要高 ，故测量结果服从高斯曲线分布，因此将节点的实际距离可用概率密度函数描述。最后， 利用泰勒级数计算方法 得到概率密度函数的 唯一的峰值 ，此峰值就是离群失联节点的位置 。 节点间实际距离的概率密度函数 设在无线网络中有 N 个节点，各个节点都含有位置的信息，并且都能相互通信，通过将位置信息 进行相互通信能够计算出与相邻节点的距离。 则每一对相邻节点对应的网络图为： 。 其中， N 表示顶点的集合， L 表示边长的集合。任意选取， 中的顶点，则 ，0 W 表示实际的距离。 离群失联节点定位的算法是，根据每对相邻节点之问的测量距离 W 计算出各个节点的坐标其与测量结果相同。即：对于 ，使得0。 利用概率定位算法，对于实际距离 W 的测量结果0W，服从高斯曲线分布，能够用 W 的概率密度函数进行描述： 2 202e x 5 上述式中， 是 W 的方差。 算最大概率密度，确定离群失联节点的位置 将区域内复杂分布的节点线性化 ， W 与测量 的节点的坐标点的关系为： , 6 在节点坐标为 00, 用泰勒级数计算方法，能够用以下线性方程式进行描述： 0000 , 7 因此，式 5 可以变成以下公式： 6 e 22000002, 8 上述式中， 是二次多项式。其标准能够以下公式表述： 65432221, 9 计算最大概率密度的过程就是对离群失联节点对位的过程。将式 6 求导，设置导数是零，能够计算出离群失联节点的定位点的方程 式： 523431 2 22 10 利用上述公式能够得到唯一的解，此解就是 概率密度唯一的峰值。此峰值就是离群失联节点的位置 。通过计算得到的离群失联节点位置的坐标如下所示： 21234351212353424242 11 利用式 10 能够得到的 F 系数。为了让表达公式更简单，改为起始点为基准点的坐标系 中，能够得到以下公式：00 12 因此，式 8 可以简化为： 2221, 13 上述式中， 000 , 通过计算，得到 F 的系数如下： 7 2524232222211112121 14 各个节点进行通信时利用自身包含的定位信息能够计算出节点之间的距离，通过距离能够得到系数的值 2 。 设在 正方形场地内创建一个无线通信网络系统，节点数量分别设置为 5O 个， 100 个， 150 个。离群失联节点的数量分别设置为 5 个， 10 个，2O 个，。节点随机分布。节点之间的通信距离依次设置为 10 米， 20 米， 30 米。 模型 二 ： 建立飞机坠落轨迹模型 研究失事飞机坠落轨迹 首先运用统筹模型对全局有一个比较完整清晰的了解， 假设 飞机 机身在整个下落过程中近似在一个平面上。飞机在发动机失效以后，将会机头朝下进行迫降。运用动力学知识和几何关系，得到角度与分速度存在关系、分速度与实际速度存在的关系、风对飞机的力的计算公式和升力的计算公式，建立基本的飞机坠落轨迹 微分 模型。 而后 采取归一化处理提高计算精度，使优化变量保持在相同的量级，建立系统模型。最后应用 编程求解，采用数值方法求解微分方程，得出飞机坠落时距离开始下降地点的水平位移及飞机坠入海时的水平速度和竖直速度。 考虑飞机受竖直向下的重力和斜向上的气流阻力，气流阻力和空气密度有关， 且 10000 米高度落差内密度相差极大，故考虑大气密度为垂直方向上分布函数。 理的假设 8 飞机在发生事故时突然失去动力，假设飞机机身在整个下落过程中近似在一个平面上。 飞机在降落的过程中，为了防止飞机因为失去速度而垂直掉落，驾驶员会在发动机出现故障后，压力机头，主动放弃一部分飞机的高度来获取足够的速度，也就是将重力势能转化为动能的过程，这个操作就是无动力滑翔。 型的建立 飞机在发动机失效以后，根据前面的假设将会机头朝下进行迫降。这是飞机的受力有重力 G 、风对飞机的作用力 图 1 所示 . 另外的两个参数为飞机下滑角 和 。 是由升阻比进行计算得出的，飞行器在飞行过程中，在同一迎角的升力与阻力的比值。如图 1 所示。 由图 1 可得沿飞行方向 21 及其垂直方向 22 的动力学方程如下： c c o ss 21 c s o s 22 由图中的几何关系可以看出，角度与分速度存在关系式 23 ，分速度与实际速度满足等式 24 。 23 22 24 9 风对飞机的力的计算公式为等式 25 ： 221 c 25 32 0 0 0 9 7 1 1 4 C 26 升力的计算公式为等式 27 L 221 27 32 0 0 0 9 8 3 8 28 机坠落位置的求解 以一般经典的飞机为例机翼的参考面积 S 取为 275m 。飞机重量 下滑角度 初始值为 0。飞行速度 V 为 00 ，折算为 22 ，相对于 高空，这里可以忽略一些飞机的飞行姿态，对一般的飞机而言，低速和亚音速飞机的升阻比可达 1817 ，将 取为171 根据模型的建立以及题目的要求，进行 编程求解，可采用数值方法求解微分方程。 将 25 ， 26 ， 27 ， 28 等式带入原方程可以得到： 222222 c 29 222222 s i 30 将高阶微分方程化为低阶微分方程进行数值求解。 令： yx 31 31 32 并将 31 ， 32 带入到等式 29 ， 30 等式得到四个一阶微分方程。如下所示： 21 33 c 21222 34 10 43 35 c i 224 36 是一个变量，故 需要对随高度变化的 进行分析与求解 4 。 可以这样考虑，空气柱的重量在数值上等于这段空气柱气压差值，按此思路列式求解： 37 式中： 3/293.1 C0 下 1 大气压空气的密度，101325w 为温度对密度的校正指数， 2/80665.9 重力加速度， h 海拔高度， h 处的气压。 设海平面温度为 C15 ， 空温度为 C50 ，这之间温度变化均匀，空气密度与绝对温度成反比，则： 38 将 38 式带入 37 式积分后并带入上述特殊值条件可以得到最后的结果： 2 5 7 3 8 8 39 利用 39 式将 变为 h 的函数即可以求出微分方程的数值解。图二 从图 2 大约可以看出，距 离事发地点有 同时可通过 程计算出了在不同高度下飞机坠入海水时刻的横向速度和纵向速度的数值，其中在从 空坠落的情况下，飞机坠入海水的水平速度为 0 ，纵向速度为 50 ，见图 3 11 左图纵轴为高度 m ，横轴为飞机坠落过程中的水平速度 。右图纵轴为高度 m ，横轴为飞机坠落过程中的纵向速度 。 模型三：一般搜寻目标整体漂移模型 首先基于计算机模拟概率过程能很好地描述计算搜寻区域过程中包含的多种不确定因素 ,采用蒙特卡罗技术，适应复杂搜救条件下的搜寻规 划需要 ,建立随机粒子仿真法 6 。而后从分析搜寻目标漂移运动特点出发 ,在海洋环境数值预报模式下 ,考虑不同的遇险推测场景条件 ,采用随机粒子仿真法确定目标初始概率分布。随后 ,通过分析海洋环境数据误差扰动以及风压系数误差扰动 ,对漂移的影响建立一般搜寻目标整体漂移模型。最后 ,通过模拟漂移物的运动对漂移区域数值进行预测仿真实验，即对该整体漂移模型进行验证。 标受力分析 海上搜寻目标漂移受风、浪、流三类力的共同影响。根据牛顿 第二定律 ,目标的加速 7 : /a W cm m d V d t F F F F 40 212a d a a A W 41 212W i W W L A 42 212c c d W w A L 43 12 式 40 式 43 中 : V 为目标漂移速度 , F 为目标所受外力之和 , 附加质量 m 来源于附着在目标表面水粒子的加速度8 。 别为风和流的拽力系数 , 波浪的反射系数 , a与w为空气与海水的密度 , 标暴露于水面以上以及浸没于水面以下的面积 , A 为海浪的波幅 , g 为重力加速度。 根据文献 8 的研究 ,当目标长度 相对于海浪波长较小 (一般小于 50m ,包括船舶残骸、落水人员、救生艇筏、小型机 ,等 ),波浪的辐射力一般可以忽略 ,即标初始漂移时在外力的作用下加速非常快 (加速度无穷大 ),而后随着所受外力达到平衡 ,速度达到某一恒定值以后就保持不变 ,此时加速度为零。 标漂移速度 根据以上目标受力分析 ,目标漂移速度的两个组成部分是 : V 44 式 44 中层海流包括埃克曼漂移、斜压运动、潮流和惯性流 ,等。于搜寻目标长度相对于海浪的波长较小 ,海浪的影响可以略 ,目标长度与海浪的波长相当时 (大于 50 m,较大残骸 ),此时浪的影响不能忽略 8 ,需要建立复杂的解析模型求解 ,仅研究长度相对于海浪波长尺度较小的一般搜寻目标的漂移情况。设 C 为表层海流的流速 ,L 为目标的风致漂移速度 ,此时目标漂移速度可表示为 : V C L 45 目标漂移运动方程为 : 0 00t x V t d t C t L t d t 46 压模型 风压是由于风作用在目标的水上部分而导致目标对水的相对运动 9。风压是个矢量 ,即由大小和方向两个量来表示。风压的大小 ,指目标相对于周围水运动速度大小。风压的方向用风压角表示 ,它指目标偏移下风向的角度 ,向左偏移为负、向右偏移为正。目标的形状、大小、运动方向 ,以及水上、水下部分面积之比 , 13 都对风压有很大影响。在实践中一般根据经验的方法确定风压与风速之间的对应关系。 1999 年美国海岸警卫队 对以往不同类型搜救目标的风压实验数据进行了总结 ,并通过线性回归的方法建立 8大类共 63种常见搜救目标的风压与速之间的线性回归方程 9 。 2005 年 风压沿下风方向和垂直下风方向进行分解 ,分别得到下风方向矢量与横风向矢量 10 。 图 3 为风压分解示意图 ,图中 L 为风压矢量 , 下风方向矢量速之间的经验回归公式为 : 10 47 式 47 中 :10W为 速 ,中速斜率 ,理可以得到据目标偏移下风方向左右情况 ,系数风压实验数据可知 ,初始状态下目标偏移下风方向左右的概率是相等的 ,在漂移运动前并不能确定漂移方向 ,一旦沿某一方向漂移 ,风压的方向将不会再改变。 下图为海上搜寻目标漂移速度矢量计算示意图。 14 骸漂移模型 压系数扰动 为了描述风压实验中存在的误差所造成的不确定性 ,需要对风压系数进行扰动 ,从而反映漂移目标独一无二的风压属性。根据 研究 10 ,第 j 个粒子的风压系数扰动公式为 : 20/jj 48 2/jj 49 ,0 50 式 48 式 50 中 :j 个粒子的风压系数 ,j为第 j 个粒子的风压系数扰动。计算时j从均值为 0 ,方差为 L 的正态分布中随机抽取 ,一旦根据遇险场景确定搜寻目标类型 ,它在整个仿真计算过程中保持不变。 场与流场扰动 风场与流场的估计可以通过现场船舶报告直接获得 ,也可以参考引航图上的风 速风向玫瑰图和水文图表。目前风场与流场数据大多通过用于海洋环境数值预报的计算机输出和当地气象与海洋局获得 ,这样能保证精度满足计算机实时计算的要求。 为了与早期风压实验条件一致 ,取距海面 的风速和 深的流速作为表层流来进行漂移推算 ,计算时可以将海洋环境数值预报模型输出的某一高度的风场数据 ,与某一水深的流场数据插值到 速与 速。风场与流场的扰动一般服从圆形正态分布 ,并且在漂移推算过程中随时间和位置发生变化。 jj 10 51 u ,0 52 将式 48 式 52 代入式 47 可得 : 15 1, 53 速扰动为 :jj 54 w ,0 55 式 51 式 55 中 :j 个粒子对应的 速与 速 , 10 分别为 速的平均值 ,j 个粒子对应的风压 ,别为第 j 个粒子对应的 速扰动与 速扰动。计算时 ,它们分别从均值为 0 ,方差为W与C的圆形正态分布 中随机抽取。 子整体漂移模型 000 56 模型四：搜寻方案模型 飞机坠落海中 事故发生后 ,及早发现遇险目标并对其实施有效救助对于挽救生命和减少财产损失意义重大。 为了保证搜寻的高效性 ,当搜寻区域范围很大且遇险目标位置在该区域内的 概率分布为均勻分布时（误差分析）， 对其进行合理剖分 ,形成寻子区域 (称为搜 寻分区 ),并分别指派给每个搜寻力量协同开展行动 ,从而迅速实现对整个区域的完全覆盖。 针对搜寻力量任务分配问题所提出的海上搜寻区域剖分算法 ,借鉴了多边剖分算法的思想并对其进行了有效改进 ,从而形成适合于开展海上搜寻行动的任务分配算法。 搜寻区域剖分算法 C 每个子多边形的形状取决于扫描线的位置。因此 ,可以通过加入控制扫描线位置的策略来优化剖分结果。如 图 示 , 同旁内角 和 的角度是由扫描线 L 的位置决定的 ,而 L 的位置是由它的始点6 点 位置决定的 ,因此可以通过改变扫描线端点的位置来改变 和 的角度。移动 , 和 的变化规律如下 :在多边形 时针移动 则 减小， 增大，顺时针移动 则 增大， 减小；若保持 置不动，逆时针 移动 减小， 增大 ,顺时针移动 增大， 减小。 移动保持时针移动P 减小，顺时针移动 使 P 增大；若保持 置不动，逆时针移动会使 时针移动 如图 示。 这里将保持 扫描线 L 的移动，称为“等积移动”。如果沿顺时针方向移动， ,则称 L 做顺时针“等积移动” ,如果沿逆时针移动，则称做逆时针“等积移动”。 17 需要指出的是：当动时，其可移动范围要受到 上锚点位置的限制。为了叙述方便，将 可移动的范围记作扫描线 L 可移动的范围记作 L 。 1) 从P 的边上沿逆时针方向找到距离记作 沿顺时针方向找到距离作 “ 可优化范围”就是位于 间且包含 边 ； 2)从 发在 边上沿逆时针方向找到距离 最近的一个锚点，记作 沿顺时针方向找到距离 近的一 个锚点 ,记作 可优化范围”就是位于 间且包含 边 ,如图 示。 3) 通过在 法中引入“最大化最小角策略”可以优化剖分结果，使其尽可能形成直角剖分，从而一方面有利于规划搜寻力量的行动路径，另一面可通过减少搜寻力量的转弯次数提高搜寻效率。 4. 2 任意搜寻区域剖分算法 当搜寻范围是由基准区域或基线确定时，搜寻区域的形状可能为任意多边形，特别当搜寻区域内包含岛屿时，多边形内部会存在“孔”， 如图 示 。 18 本节研究的任意搜寻区剖分算法借鉴了凸多边形剖分算法的思想 ,通过交替执行N o n C o n v e x D iv id e ta c h A n d A 可以根据每个搜寻力量的 任意搜寻区域剖分成与其自身覆盖面积相适应的搜寻分区 ,从而实现对整个搜寻区域的全覆盖。 与凸多边形剖分的结果都是凸多边形不同 ,任意多边形进行锚定面积剖分的结果不一定是凸多边形 ,剖分所得到的子多边形的形状取决于事先对任意多边形进行凸 剖分所得到的凸片的形状以及剖分凸片时所使用的扫描线 L 的位置。因此 ,凸片形状保持不变的情况下 ,同样可以引入“最大化最小角策略” ,对扫描线 L 进行“等积移动”来控制生成的子多边形同旁内角的角度 ,在最大程度上实现“直角剖分” ,优化剖分结果。不同之处在于 ,这里扫描线 L 做“等积 移动”时 ,其端点可移动范围 1)当 1 r e a C P T A r e a R q u i r e d S C P时 , 当前位置 3t 沿逆时针方向可移动至最近一个 锚点 ,沿顺时针方向可移动至果 12P r , ,e d P o P t t ，则当前位置 t 沿逆时针方向可移动至最近一个锚点且最远只能移动至沿顺时针方向可移动至顺时针方向可移动至最近一个锚点 ,如果 12P r , ,e d P o P t t ，则 可从当前位置 t 沿逆时针方向移动至2t；沿顺时针方向可移动至最近的一个锚点。 2）当 1 r e a C P T A r e a R q u i r e d S C P且 1 12P r , , eA r e a C P e d P o l y C P t t A r e a R q u i r e d S C P)时 ,从 前位置 3t 沿逆时针方向可移动至最近一个锚点 ,沿顺时针方向可移动至当前位置 t 沿逆时针方向可移动至2t,沿顺时针方向可移动至1t。 3)当 1 r e a C P T A r e a R q u i r e d S C P且 19 1 12P r , , r e a C P e d P o l y C P t t A r e a R q u i r e d S C P时 , 能从当前 位置3向可移动至1t。 海上搜寻方式分类有：视力搜寻和电子搜寻。 力搜寻 形搜寻：当搜寻目标位置准确或搜寻区域较小时，扇形搜寻是最有效的方法，其主要用于搜寻以某个基点为中心的圆形区域，能较容易地航行在基点附近区域，能较容易地航行在基点附近区域，并仔细搜寻这个最有可能目标的区域。 移线协调搜寻：横移线协调搜寻横移线飞行的航空器和沿搜寻区域主轴线航行的船舶实施海空协调 搜寻。 线搜寻：通常是由小型船舶或能在低空低速安全飞行的航空器贴岸线进行仔细搜寻，此种方法不再过多的以来导航方式。 动矩形搜寻：这种方法在风浪大、能见度低、夜间搜寻有效距离近、被搜寻目标小不易发现、目标漂移的速度较快的情况下得到成功的应用。 子搜寻：搜救力量探测失踪漂浮物自身所装备的无线电示位装置所发出无线电信号，从而确定失踪目标的位置。 达搜寻：是一种重要的电子搜寻方法，当搜寻目标配备了电子示位装置时，其发现能力大大增强。 方法的评估： 于搜寻活动具有很强的针对性，而不同的搜救方有不同的条件，因为在选择合适的搜寻方法之前应当仔细分析所有的相关因素，一般有：各搜救设施的航行能力；所用探测设施的类型；搜寻目标的类型；搜寻时的海况；搜寻期间目标运动的趋势和幅度；幸存者的预计生存时间；搜寻设施的持续搜寻时间等。 寻方法的选择标准： 对如何一次搜救行动来说，评判搜救方法的唯一标准就是：是否能够最大限度的提高搜救任务成功率。将此标准细化