2019届高三上学期数学文科期中试卷含答案

2019届高三上学期数学文科期中试卷含答案2018年秋季学期期中考试高三数学(文)试卷（考试时间120分钟 满分150分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。第卷一选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1已知集合A1，2，3，By|y2x1，xA，则ABA1，3 B1，2 C2，3 D1，2，32已知i是虚数单位，若复数z满足zi1i，则z2A2i B2i C2 D23在等比数列an中，若a1b0)的左、右焦点，点P(1，32)在椭圆E上，且|PF1|PF2|4(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数，使得1|AC|，1|BD|成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由21（本题满分12分）已知函数f(x)exax(aR，e为自然对数的底数)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a1，函数g(x)(xm)f(x)exx2x在(2，)上为增函数，求实数m的取值范围请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号22（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，0，2(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y3x2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标23（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数f(x)|3x2|(1)解不等式|x1|f(x)；(2)已知mn1(m，n0)，若|xa|f(x)1m1n(a0)恒成立，求实数a的取值范围 2016级高三(上)期中考试数学(答案)(文)一题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A A C B B B A D D D D C二题号 13 14 15 16答案 6 2 94100三17解(1)因为sin2AsinAsinB6sin2B0，sinB0，所以sinAsinB2sinAsinB60，得sinAsinB2或sinAsinB3(舍去)由正弦定理得absinAsinB2.(2)由余弦定理得cosCa2b2c22ab34.将ab2，即a2b代入，得5b2c23b2，得c2b.由余弦定理cosBa2c2b22ac，得cosB(2b)2(2b)2b222b2b528，则sinB1cos2B148.18解(1)设“甲获得优惠券”为事件A 因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分区域的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是13. 2分 顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域，所以甲获得优惠券面额大于0元的概率为 P(A)131323. 5分 (2)设“乙获得的优惠券金额不低于20元”为事件B 因为顾客乙转动转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券的金额为x元，第二次获得优惠券的金额为y元，则基本事件空间为 (20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)，即中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率都为19. 8分 而乙获得的优惠券金额不低于20元，是指xy20，所以事件B中包含的基本事件有6个. 10分 所以乙获得的优惠券金额不低于20元的概率为 P(B)6923. 12分19(1)证明：如图3，连接AC交BD于O点，连接EO，四边形ABCD是菱形， ，E为PC中点， ， 平面ABCD， 平面ABCD， 平面BED，平面 平面ABCD （6分）(2)解：四边形ABCD是边长为2的菱形， 平面ABCD， ， ， ， ， （12分）20解 (1)|PF1|PF2|4，2a4，a2.椭圆E：x24y2b21.将P(1，32)代入可得b23，椭圆E的方程为x24y231. (2)当AC的斜率为零或斜率不存在时，1|AC|1|BD|1314712；当AC的斜率k存在且k0时，AC的方程为yk(x1)，代入椭圆方程x24y231，并化简得(34k2)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x28k234k2，x1x24k21234k2.|AC|1k2|x1x2|(1k2)(x1x2)24x1x212(1k2)34k2.直线BD的斜率为1k，|BD|121(1k)234(1k)212(1k2)3k24.1|AC|1|BD|34k212(1k2)3k2412(1k2)712.综上，21|AC|1|BD|712，724.故存在常数724，使得1|AC|，1|BD|成等差数列21解 (1)函数f(x)的定义域为R，f(x)exa.当a0时，f(x)0，f(x)在R上为增函数；当a0时，由f(x)0得xln a，则当x(，ln a)时，f(x)0，函数f(x)在(，ln a)上为减函数，当x(ln a，)时，f(x)0，函数f(x)在(ln a，)上为增函数(2)当a1时，g(x)(xm)(exx)exx2x，g(x)在(2，)上为增函数，g(x)xexmexm10在(2，)上恒成立，即mxex1ex1在(2，)上恒成立，令h(x)xex1ex1，x(2，)，h(x)（ex）2xex2ex（ex1）2ex（exx2）（ex1）2.令L(x)exx2，L(x)ex10在(2，)上恒成立，即L(x)exx2在(2，)上为增函数，即L(x)L(2)e240，h(x)0，即h(x)xex1ex1在(2，)上为增函数，h(x)h(2)2e21e21，m2e21e21.所以实数m的取值范围是，2e21e21.22解 (1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为x1cos t，ysin t(t为参数，0t). 4分(2)设D(1cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线CD与l的斜率相同，tan t3，t3. 8分故D的直角坐标为1cos 3，sin 3，即32，32. 10分23解(1)依题设，得|x1|3x2|，所以(x1)2(3x2)2，则x14或x32，故原不等式的解集为xx14或x32.4分(2)因为mn1(m0，n0)，所以1m1n