大学理论力学课件 第2章 力系的简化.pdf

第 第 第 第 2 2 2 2 章 章 章 章 力系的简化 力系的简化 力系的简化力系的简化 (reduction of force system) 第 2 章 第 2 章 力系的简化 力系的简化 汇交力系 汇交力系 力偶系 力偶系 空间任意空间任意力系的简化 力系的简化 讨论讨论 两个或两个以 两个或两个以 上的力所构成的系 上的力所构成的系 统称为统称为力系,力系,又称 又称 力的集合力的集合. . 力 系 力 系 汇交力系汇交力系 空间力系 空间力系 风力 风力 浮力 浮力 重力 重力 阻力阻力 汇交力系 汇交力系 汇交力系 汇交力系 所有力的作用 所有力的作用 线汇交于一点的力 线汇交于一点的力 系称为系称为汇交力系汇交力系 (concurrent force system) 汇交力系 汇交力系 一一、力在直角坐标轴上的投影与分解、力在直角坐标轴上的投影与分解 = = = cos cos cos f f f f f f z y x = = = cos sin sin cos sin f f f f f f z y x xyz xyz fi f j fk = + + =+ v vvv v vv f f f f 汇交力系汇交力系 合成合成几何法 几何法 力多边形法则 力多边形法则 二二、汇交力系合成与平衡 、汇交力系合成与平衡 汇交力系汇交力系 合成合成解析法解析法 r12 ni fffff =+= vvvvv ll ix x f = r f iz z f = r f iy y f = r f 而 而 合力的大小和方向余弦分别为合力的大小和方向余弦分别为 = = = + + = r r r r r r 2 2 2 r ) , cos( ) , cos( ) , cos( ) ( ) ( ) ( f f f f f f f f f f iz iy ix iz iy ix k k f f j j f f i i f f 汇交力系汇交力系 平衡平衡几何法 几何法 平衡的几何条件是平衡的几何条件是：汇交力系的力多边形自行封闭。 ：汇交力系的力多边形自行封闭。 汇交力系汇交力系 汇交力系平衡的必要和充分条件 汇交力系平衡的必要和充分条件 是：力系的合力等于零，即是：力系的合力等于零，即 0 r f = v 平衡平衡解析法 解析法 其平衡方程式为其平衡方程式为 0 = ix f 0 = iz f 0 = iy f 即力系中各力在坐标轴上投影的代数和分别等于零 即力系中各力在坐标轴上投影的代数和分别等于零 汇交力系汇交力系 de eb ce = = = 30 ebf kn 10 = p 例 例 起吊装置如图起吊装置如图(a)所示，起重杆所示，起重杆 a端用球铰链固 端用球铰链固 定在地面上，定在地面上，b端则用绳端则用绳cb和和db拉住，两绳分别系在 拉住，两绳分别系在 墙上的点墙上的点c和和d，cd连线平行于连线平行于x轴。若已知 轴。若已知 ， ， ， ， ，如图，如图(b)所示， 所示， 物重 物重 。不计杆重，试求起重杆所受的压力和 。不计杆重，试求起重杆所受的压力和 绳子的拉力。绳子的拉力。 = 30 汇交力系汇交力系 解：取起重杆 解：取起重杆 与重物为研究对 与重物为研究对 象象，建立图示坐标系建立图示坐标系，受力如图受力如图(a)。 。 由已知条件可知由已知条件可知， ， 由平衡方程由平衡方程 ab = = 45 dbe cbe 0 45 sin 45 sin 0 2 1 = = f f f x 0 30 cos 45 cos 30 cos 45 cos 30 sin 0 2 1 = = f f f f a y 0 30 cos 30 sin 45 cos 30 sin 45 cos 0 2 1 = + + = p f f f f a z kn 54 . 3 2 1 = = f f kn 66 . 8 = a f 解得 解得 为正值，表明所设的 为正值，表明所设的 方向正确， 方向正确， 为压杆。为压杆。 a f a f ab 力对点的矩力对点的矩 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 力偶系 力偶系 力偶系力偶系 1、力对点之矩 、力对点之矩 力对点之矩是力使物体绕某点转动效果的度量力对点之矩是力使物体绕某点转动效果的度量。 。 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 1）矢积表达式 ）矢积表达式 力矩的大小力矩的大小 oab o a d f (f m = = 2 ) ( ) o mfrf = vvv v (moment of a force about a point) f ( fx ,fy ,fz ) a ( x , y , z ) r=x i+yj+zk vvvv vvv v 2）力对点之矩的解析式为）力对点之矩的解析式为 = (f z yf y z) i +(f x zf z x) j+(f y xf x y) k ()()() oxoyoz =+ mimjmk fff 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 = = = x y z o z x y o y z x o yf xf xf zf zf yf ) ( ) ( ) ( f f m m f f m m f f m m ( ) o xyz ijk m fr fxyz fff = = vvv v 力对点的矩为零的条件： 要使 要使| |m m m mo o( (f f f f )|=0 )|=0，就有 ，就有r r r r f f f f =0 =0 =0=0， ， ，得： 得： 1 1） ）r r r r =0 =0或 或r r r r与 与f f f f 共线，即力通过矩心； 共线，即力通过矩心； 2 2） ） f f f f = 0 = 0 力对点 力对点 之之矩是定位 矩是定位 于矩心的矢量于矩心的矢量, ,其矢 其矢 量方向由量方向由右手定则右手定则确 确 定定. . 平面问题中平面问题中力对点之 力对点之 矩是代数量。取绕矩 矩是代数量。取绕矩 心逆时针转动为正心逆时针转动为正， ， 反之为负反之为负。 。 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 f f f z f x f y 实 例 实 例 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 2、力对轴之矩 、力对轴之矩 力对轴之矩是 力对轴之矩是 力使物体绕某轴转 力使物体绕某轴转 动效果的度量。动效果的度量。 moment of a force about an axis 定义 定义 定义 定义 : : : :将力向垂直于 将力向垂直于 该轴的平面投影 ,力的 该轴的平面投影 ,力的 投影与投影至轴的垂直 投影与投影至轴的垂直 距离的乘积. 距离的乘积. 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 mz (f) = f xy d oab a = 2 力对轴之矩的解析式力对轴之矩的解析式 = = = x y z z x y y z x yf xf m xf zf m zf yf m ) ( ) ( ) ( f f f f 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 力对点之矩在通过该点的某轴 力对点之矩在通过该点的某轴 上的投影等于力对该轴之矩。上的投影等于力对该轴之矩。 x o ) ( f f m m y o ) ( f f m m z o ) ( f f m m = = = = = = x y z z x y y z x yf xf m xf zf m zf yf m ) ( ) ( ) ( f f f f m (f)(f)i(f)j(f)k oxyz mmm =+ vvv vvvvv 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 3、力对点之矩与力对轴之矩的关系、力对点之矩与力对轴之矩的关系 m o f 特 特 特特 殊 殊 殊殊 情 情 情情 形 形 形 形 结 论 结 论 : : 当轴垂直于当轴垂直于r r 和和f f 所在的平面时所在的平面时, , 力力对点之矩与力对轴之矩在数值上相等。 对点之矩与力对轴之矩在数值上相等。 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 4 4、 、 合力之矩定理合力之矩定理 f r = f i i=1 n m o (f r )= m o (f i ) 该定理适用于有合力的任何力系 该定理适用于有合力的任何力系 合力矩定理合力矩定理：(汇交力系汇交力系)合力对任一点之矩矢等于 合力对任一点之矩矢等于 力系中各力对该点之矩矢的矢量和力系中各力对该点之矩矢的矢量和； (汇交力系汇交力系)合力对任一轴之矩等于力系中 合力对任一轴之矩等于力系中 各力对该轴之矩的代数和各力对该轴之矩的代数和。 ) ( ) ( ) ( ) ( o o z f f f f m m f f f f z z z r r m m = = = m 力对点之矩与力对轴之矩 力对点之矩与力对轴之矩 汇交力系汇交力系 ) , , , ( 2 1 n f f f l 例 例 例 例 题 题 题 题 已知 :已知 : f f , ,l l 1 1 , ,l l 2 2 , , . . 求 :求 : m m o o ( (f f ) ) =m o (f sin i) + m o (f cos j) m o (f) ) ( ) ( y o x o m m f f f f + = 解：解： 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 例 例 例 例 题 题 题题 m q l x q = = = l m r l q dx q f 0 2 1 = l r xdx q h f 0 l h 3 2 = 三角形分布载荷作用在水平梁 三角形分布载荷作用在水平梁 上，如图所示。 上，如图所示。 最大载荷强度为 最大载荷强度为 ， 梁长 ， 梁长 。试求该力系的合 。试求该力系的合 力力 ab m q l 解解： ： 求合力的大小 求合力的大小 求合力作用线位置 求合力作用线位置 即合力大小等于三角形线分布载荷的面积，即合力大小等于三角形线分布载荷的面积，合 合 力作用线通过三角形的几何中心。 力作用线通过三角形的几何中心。 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩与力对轴之矩 力 偶力 偶 (couple) (couple) : : 大 大 小相等小相等, ,方向相反,不 方向相反,不 共线的两个力所组成 共线的两个力所组成 的力系的力系. . 力偶系力偶系 f 2 f 1 r 1 r 2 r ba 力偶作用面(acting plane of 力偶作用面(acting plane of a couple) a couple) : : 二力所在平面二力所在平面。 f 1 f 2 力偶臂(arm of couple):力偶臂(arm of couple):二力作用线之间的垂直距离二力作用线之间的垂直距离。 力 力 偶 偶 实 实 例 例 力偶系力偶系 力 力 偶 偶 实 实 例例 f 1 f 2 力偶系力偶系 力偶对力偶对o o点之矩等于这个 点之矩等于这个 力系中的两个力对该点 力系中的两个力对该点 之矩之和之矩之和。 力 力 偶 偶 系系 力 力 偶 偶 矩 矩 矢矢 力偶三要素可用一个矢 力偶三要素可用一个矢 量表示，量表示，称为称为力偶矩矢力偶矩矢 (moment vector of couple) f r m ba = 力偶三要素力偶三要素：力偶矩的 力偶矩的 大小大小；力偶作用面在空 力偶作用面在空 间的方位间的方位；力偶在作用 力偶在作用 面内的转向面内的转向。 m o = m o (f) + m o (f) = r a f + r b f = r a f r b f =( r a r b ) f = r ba f 其方向亦可由 其方向亦可由 右手定则确定。右手定则确定。 o 1 力偶系力偶系 m o1 = ？ 性质性质二 二 二 二 : : : : 力偶对刚体的运动效应力偶对刚体的运动效应 (effect of motion)只与力偶矩矢量有关. 只与力偶矩矢量有关. 性质性质一 一 一 一 : : : : 力偶无合力,即主矢力偶无合力,即主矢f f r =0.=0. 力偶系 力偶系 力 力 偶 偶 的 的 性 性 质质 只要保持力偶矩矢量 只要保持力偶矩矢量 不变，力偶可在作用面内 不变，力偶可在作用面内 任意移动任意移动，其对刚体的作 ，其对刚体的作 用效果不变用效果不变 f f f f 推 推 论论 f f 力偶系力偶系 保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 力偶臂大小，其作用效果不变。力偶臂大小，其作用效果不变。 f f f / 2 f / 2 （b） 力偶系 力偶系 推 推 论论 只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 ,力 ,力 偶可在与偶可在与其作用面平行的平面内移动其作用面平行的平面内移动。 m=fdk 力偶系 力偶系 推 推 论论 力偶系及其合成 力偶系及其合成 力偶系力偶系(system of couples) : : 由两个或两个以上力偶 由两个或两个以上力偶 组成的特殊力系组成的特殊力系 y x z 力偶系力偶系 m= m i i=1 n m 力偶系 力偶系 力偶系合成的结果 力偶系合成的结果 力偶系合成的结果 力偶系合成的结果 : : : : 仍然是一个力偶，仍然是一个力偶，其 其 力偶矩矢量等于原力 力偶矩矢量等于原力 偶系中所有力偶矩矢 偶系中所有力偶矩矢 量之和。量之和。即即 m x m z m y = + + = = + + = = + + = iz nz z z iy ny y y ix nx x x m m m m m m m m m m m m l l l 1 1 1 k j i m + + = iz iy ix m m m 力偶系力偶系 ( ) ( ) ( ) = = = + + = m m m m m m m m m m iz iy ix iz iy ix k k m m, , j j m m, , i i m m, , cos cos cos ) ( ) ( ) ( 2 2 2 已知 已知 : : m m 1 1 和 和 m m 2 2 ( (m m 1 1 = =m m 2 2 = =m m 0 ), ), 及其作用面及其作用面. . 求: 求: 合力偶 合力偶 。 。 例题 例题 例题例题1 1 1 1 力偶系力偶系 其中其中 r 1 = r cb r ab r 2 = r dc r ac r cb ,r ab , r dc , r ac 都可以表示成都可以表示成 i ,j k 的形式 的形式 结 结 果果 : m=m 1 +m 2 =(0.555i+1.279j+0.899k)m 0 力偶系 力偶系 解解 : 首先将已知力偶矩首先将已知力偶矩 (大小和方向大小和方向)表示成矢量表达式表示成矢量表达式 1 1 1 1 1 1 r m r r n n n n m m = = 2 2 2 2 2 2 r m r r n n n n m m = = 例题2 例题2 已知: 已知: 结构受力如图所示,结构受力如图所示,图中图中m m, , r r 均为已知, 均为已知, 且且l l=2=2r r. . 试: 试: 画出画出a ab b 和和b bd dc c 杆的受力图; 杆的受力图; 求求a a, ,c c 二处的约束力. 二处的约束力. 力偶系力偶系 例题例题 2 受力分析受力分析: : 1.1. ab杆为二力杆; 杆为二力杆; 2.2. bdc杆的杆的a、b二 二 处分别受有一个 处分别受有一个 方向虽然未知但 方向虽然未知但 可以判断出的力可以判断出的力. . 力偶系力偶系 力的平移力的平移 f : 力;力; b :任一点;任一点; : :f f 与与b b 所在平面;所在平面; n n : : 平面的法 平面的法 线单位矢;线单位矢; 空间任意空间任意力系简化力系简化 b b r f n n (reduction of a force system) b b r n n 在在b b点作用什么力系才能 点作用什么力系才能 使二者等效 使二者等效 ？ f 空间任意空间任意力系简化力系简化 b b r f n n b b r f n n （ （ （ （ - - - -f = = = = f = = = =f ） ） ） f f f r (f) m f f m ba b = = ) , ( b b r f n n 空间任意空间任意力系简化力系简化 力的平移定理：力的平移定理：作用在刚体上某点作用在刚体上某点a a的力的力f f 可平行移到任一点可平行移到任一点b b，但必须同时附加一个 ，但必须同时附加一个 力偶，这个附加力偶的力偶矩矢等于原来 力偶，这个附加力偶的力偶矩矢等于原来 的力的力f f 对新作用点对新作用点b b的矩矢。的矩矢。 f r (f) m f f m ba b = = ) , ( 空间任意空间任意力系简化力系简化 实例实例 f a f a f a f a 空间任意空间任意力系简化力系简化 f a m f a m x m y f a f a f a 空间任意空间任意力系简化力系简化 空间任意空间任意力系简化力系简化 空间任意力系向一点简化 空间任意力系向一点简化 空间任意空间任意力系简化力系简化 主矢主矢( (principal vector) ) :力系中 :力系中 所有力的矢量 所有力的矢量 和和 f r = f i = f i n n f f = = = l 2 2 1 1 f f f f f f f f 主 主 矢 矢 空间任意空间任意力系简化力系简化 = = = + + = r r r r r r 2 2 2 r ) , cos( ) , cos( ) , cos( ) ( ) ( ) ( f f f f f f f f f f iz iy ix iz iy ix k k f f j j f f i i f f f ry = f iy f rz = f iz f rx = f ix 空间任意空间任意力系简化力系简化 主矩主矩( (principal moment) ) : : 力系中所有的力对同一 力系中所有的力对同一 点点( (矩心)之矩的矢量和矩心)之矩的矢量和. . ) (f m m ) (f m m ) (f m m n o n o o = = = l 2 2 1 1 主 主 矩矩 ) ( i o i o f m m m = = i i f r = 空间任意空间任意力系简化力系简化 ( ) ( ) ( ) = = = + + = o z o o y o o x o z y x o m f m m f m m f m f m f m f m m ) ( cos ) ( cos ) ( cos ) ( ) ( ) ( 2 2 2 k k , , m m j j , , m m i i , , m m = = ) ( ) ( f m f m m x x o ox = = ) ( ) ( f m f m m y y o oy = = ) ( ) ( f m f m m z z o oz 空间任意空间任意力系简化力系简化 简化结果简化结果：空间任意力系向任一空间任意力系向任一o点简化，可得 点简化，可得 一个力和一个力偶一个力和一个力偶。这个力的大小和方向等于力 。这个力的大小和方向等于力 系的主矢系的主矢，作用线通过简化中心；，作用线通过简化中心；这力偶的矩矢 这力偶的矩矢 等于该力系对简化中心的主矩。等于该力系对简化中心的主矩。 f f r = 主矢主矢 (f) m m m o i o = = 主矩 主矩 空间任意空间任意力系简化力系简化 主矩的特点主矩的特点: : 力系主矩力系主矩m o 与矩心(与矩心( o )的位置有关；)的位置有关； 力系主矩是力系主矩是定位矢定位矢,其作用点为矩心。,其作用点为矩心。 主矢的特点： 主矢的特点： 主矢的特点：主矢的特点： 对于给定的力系，主矢唯一；对于给定的力系，主矢唯一； 主矢仅与各力的大小和方向有关主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不 ，主矢不 涉及作用点和作用线,因而主矢是涉及作用点和作用线,因而主矢是自由矢自由矢。 。 空间任意空间任意力系简化力系简化 怎 怎 怎 怎 样 样 样 样 判 判 判 判 断 断 断 断 不 不 不 不 同 同 同 同 力 力 力 力 系 系 系 系 的 的 的 的 运 运 运 运 动 动 动 动 效 效 效 效 应 应 应 应 是 是 是 是 否 否 否 否 相 相 相 相 同？ 同？ 同？同？ m c f b f a f c m e m d 力系等效定理力系等效定理( (theorem of equivalent force systems) ) ： ： 不同的力系对刚体运动效应相等的条件是不同力系的 不同的力系对刚体运动效应相等的条件是不同力系的 主矢和对同一点的主矩对应相等. 主矢和对同一点的主矩对应相等. 空间任意空间任意力系简化力系简化 空间任意 空间任意 力系 力系 汇 汇 交 交 力 力 系 系 力 偶 系 力 偶 系 合 合 力力 f r =f i 合 合 力 力 偶偶 m o = m o ( f i ) 空间任意空间任意力系简化力系简化 实例 实例 固定端约束 固定端约束 平面载荷平面载荷作用作用的情形 的情形 平面分布约束力简化结果 平面分布约束力简化结果 平面分布约束力简化结果 平面分布约束力简化结果 : : : : f a x ; f a y ; m a 空间任意空间任意力系简化力系简化 关于几个力学矢量的分类 关于几个力学矢量的分类 请判断力矢量、请判断力矢量、力矩矢量、力偶矩矢 力矩矢量、力偶矩矢 量量、主矢、主矢、主矩分别属于下列矢量中的 、主矩