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材料力学 第七章 应力状态和强度理论材料力学 第七章 应力状态和强度理论 1 概述1 概述 低 碳 钢 拉 伸 试 验低 碳 钢 拉 伸 试 验 铸 铁 拉 伸 试 验 铸 铁 拉 伸 试 验 低 碳 钢 扭 转 试低 碳 钢 扭 转 试 验验 铸铁 扭 转 试 验铸铁 扭 转 试 验 y y 根据单元体的局部平衡：根据单元体的局部平衡： n y 拉拉 中中 有有 剪剪 n y x y x 剪剪 中中 有有 拉拉 结 论结 论 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在 应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也 要研究斜截面上的应力。 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在 应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也 要研究斜截面上的应力。 应力的三个重要概念应力的三个重要概念 m应力的点的概念;应力的点的概念; m应力的面的概念;应力的面的概念; m应力状态的概念.应力状态的概念. 横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力各 不 相 同 ， 此 即 横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力各 不 相 同 ， 此 即应力的点的概念应力的点的概念。 q f mz n f 单元体平衡分析结果表明：即使单元体平衡分析结果表明：即使 同一点不同方向面上的应力同一点不同方向面上的应力也也是各不相 同的，此即 是各不相 同的，此即应力的面的概念应力的面的概念。 y x y 应应应应 力力力力 指明指明指明指明 哪一个面上 哪一点 哪一个面上 哪一点？ 哪一点 哪个方向面？ 哪一点 哪个方向面？ 过一点不同方向过一点不同方向过一点不同方向过一点不同方向 面上应力的集合，面上应力的集合，面上应力的集合，面上应力的集合， 称之为这一点的称之为这一点的称之为这一点的称之为这一点的应应应应 力状态力状态力状态力状态。 就是研究一点处沿各个不同方位的就是研究一点处沿各个不同方位的就是研究一点处沿各个不同方位的就是研究一点处沿各个不同方位的 截面上的应力及其变化规律。截面上的应力及其变化规律。截面上的应力及其变化规律。截面上的应力及其变化规律。 应力状态的研究方法应力状态的研究方法 dz dy dx 0dzdydx 应力状态的分类应力状态的分类 轴向拉伸轴向拉伸 a fn = 扭转扭转 p i t = 弯曲变形弯曲变形 x x y y y x z z i ym = bi sf z zs * = x x y y x y z 三向应力状态 平面应力状态 三向应力状态 平面应力状态 特例特例 单向应力状态单向应力状态 纯剪应力状态纯剪应力状态 2 平面应力状态的应力分析主应力2 平面应力状态的应力分析主应力 一、公式推导： a x y c x b a y c n x y y x = 0 f = 0 n f da ()coscosda x ()sincosda x +()cossinda y +()sinsinda y 0= da ()sincosda x ()coscosda x ()sinsinda y +()cossinda y +0= 2 2cos1 cos 2 + = 2 2cos1 sin 2 = yx = = xy + + 2 2cos 2 yx + 2sin x = 2sin 2 yx 2cos x + 二、符号规定： 角角角角 由x正向逆时针转到由x正向逆时针转到n n正 向者为正；反之为负。 正 向者为正；反之为负。 n x 正 应 力正 应 力 y x 拉应力为正拉应力为正 x 压应力为负压应力为负 切 应 力切 应 力 y x 使单元体或其局部顺 时针方向转动为正；反之 为负。 使单元体或其局部顺 时针方向转动为正；反之 为负。 某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平 面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别 与x轴成300和600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。 例例例例 题题题题7.17.1 ? mpa20 mpa10 3 mpa30 a b c 1 n = xy + + 2 2cos 2 yx + 2sin x 2 3010 0 30 + = 0 60cos 2 3010 + 0 60sin20 mpa32. 2= = 2sin 2 yx 2cos x + 0 30 60sin 2 3010 0 = 0 60cos20+ mpa33. 1= 2 n 2 3010 0 60 + = ()0120cos 2 3010 + ()0120sin20 mpa32.42= ()0 60 120sin 2 3010 0 = ()0120cos20+mpa33. 1= =+ 00 6030 =+ yx mpa40 在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其的和为一常数。 例例例例 题题题题7.27.2 ? 分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳 钢拉伸时发生屈服的主要原因。 低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。 x = xy + + 2 2cos 2 yx + 2sin x 2cos 22 y x += = 2sin 2 yx 2cos x + 2sin 2 x = 0 45= 2 0 45 x = 2 0 45 x = max = 低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现 滑移线，是由最大切应力引起的。 例例例例 题题题题7.37.3 ? 分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试 样扭转破坏的主要原因。 = xy + + 2 2cos 2 yx + 2sin x 2sin= = 2sin 2 yx 2cos x + 2cos= 0 45= = max 450 = + max 450 0 0 45 = min max 铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即45 0螺旋面）断开的。因 此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力 引起的。 应力圆 一、应力圆的方程式 222 )(ryax=+ = xy + + 2 2cos 2 yx + 2sin x = 2sin 2 yx 2cos x + 2 2 2 2 22 x yxyx + =+ + 二.应力圆的画法 a ( x, x) d ( y, y) 在坐标系中，标定与微元垂 直的a、d面上 应力对应的点a和d 连ad交 轴于c点，c即为圆心，cd为应 力圆半径。 c xy + + 2 y y x a d x o 、几种对应关系 点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某 一方向面上的正应力和切应力； 转向对应半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一 致； 二倍角对应半径转过的角度是斜截面旋转角度的两 倍。 y y x a d x a ( x, x) d ( y, y) c o 点点点点 面面面面 对对对对 应应应应 y y x x c a a c 转向对应、二倍角对应转向对应、二倍角对应转向对应、二倍角对应转向对应、二倍角对应 22 a n b 例例例例 题题题题7.47.4 ? 试用应力圆法计算图示单元体e-f截面上的应力。图 中应力的单位为mpa。 4 . 4 2 . 2 n 0 30 e f o a d c mpa2 . 5 0 30 = mpa8 . 0 0 30 = 0 60 例例例例 题题题题7.57.5 ? 对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应 力max85mpa，试求x的取值范围。图中应力的单位为 mpa。 50 100 x o x ,100 y ,50 a d c x 2 yx + 2 2 2 2 22 x yxyx + =+ + 2 max 2 2 2 =+ + x yx x 22 2 85 2 50100 100 x + mpa x 40 主应力和主平面 切应力等于零的截面为主平面 主平面上的正应力称为主应力 a ( x, x) d ( y, y) c xy + + 2 o 2 2 2 2 22 x yxyx + =+ + 2 2 1 22 x yxyx + + + = 1 2 0 2 yx x tg = 2 2 0 0 0 0 2)90(2tgtg=+ 2 2 2 22 x yxyx + + = 例例例例 题题题题7.67.6 ? 已知矩形截面梁,某截面上的剪力fs=120kn及弯矩m=10knm.绘出 表示1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。 b=60mm,h=100mm. b h z s f m 1 2 3 mm25 4 1、画各点应力状态图 1 3 2 3 4 1 2、计算各点主应力 12 3 bh i z = 4 500cm= ( ) z i my =1 4 3 10500 501010 =mpa100= 1点 0 21 =mpa100 3 = 2点 (处于纯剪状态) a fs 2 3 max = 100602 101203 3 =mpa30= () 2 2 13 4 2 1 2 xyx yx + + = mpa30 1 = 0 2 =mpa30 3 = 3点 (一般平面状态) ( ) z i my =3 4 3 10500 251010 =mpa50= bi sf z zs * = 6010500 5 .37256010120 4 3 =mpa5 .22= mpa6 .58 1 = 0 2 =mpa6 . 8 3 = 4点 mpa100 1 = 0 2 = 0 3 = 例例例例 题题题题7.77.7 ? 自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图 示, .试求此点的主应力及主平面. 3= a b d 0 60 0 60 a b c x ad面,db面是该点的主平面. x y 0= x f 030cos30sin 00 =+ abxab aa 3= x 3= = 1 0 2 = 3 3 = 3 例例例例 题题题题7.87.8 ? 构件中某点为平面应力状态，两斜截面上的应力如图 所示。试用应力圆求主应力和最大切应力 a 50 100 100200 o 100,200 50,100 c 在应力圆上量取 mpa235 1 = 0 2 = mpa110 3 = mpa5 .172 max = 平面应力状态的几种特殊情况 轴向拉伸压缩 2sin 2 x = )2cos1 ( 2 += x x 1 0 32 = 2min max x = = xy + + 2 2cos 2 yx + 2sin x = 2sin 2 yx 2cos x + 平面应力状态的几种特殊情况 扭转 2cos x = 2sin x = x 1 x3 - x = min max = xy + + 2 2cos 2 yx + 2sin x = 2sin 2 yx 2cos x + 0 2 弯曲 平面应力状态的几种特殊情况 2 2 min max ) 2 ( x x += = 2sin 2 yx 2cos x + = xy + + 2 2cos 2 yx + 2sin x 2 2 13 22 x xx + = 2sin2cos 22 x xx += 2cos2sin 2 x x += 2 2 13 22 x yxyx + + = m m 空间应力状态空间应力状态空间应力状态空间应力状态三个主应力均不为零的应力状态；三个主应力均不为零的应力状态；三个主应力均不为零的应力状态；三个主应力均不为零的应力状态； 3空间应力状态的概念 1 2 3 z x y x y 至少有一个主应力及其主方向已知至少有一个主应力及其主方向已知至少有一个主应力及其主方向已知至少有一个主应力及其主方向已知 y x y x z 三向应力状态特例的一般情形三向应力状态特例的一般情形 iii ii i 3 2 1 i 平行于1的方向面其上之应力与1无 关，于是由2、3可作出应力圆 i 平行于2的方向面其上之应力与2无 关，于是由1、3可作出应力圆ii 平行于3的方向面其上之应力与3无 关，于是由1、2可作出应力圆 iii ii 2 1 3 3 iii 2 1 2 21 = 2 32 = 2 31 = 一点处应力状态中的最大切应力只 是、中最大者。 一点处应力状态中的最大切应力只 是、中最大者。 2 31 max = 例例例例 题题题题7.97.9 ? 单元体如图示，求三个主应力和最大切应力。 mpa80 mpa50 分析： 0= x 0= y mpa z 80=mpa x 50= mpa80 1 = xy平面上为纯剪切状态 mpa50 2 = 2 31 max =mpa65= 2000年北京理工大学 mpa50 3 = x e = -泊松比泊松比 对于各向同性材料对于各向同性材料 4 应力与应变间的关系 e = 2 1 3 = 1 1 1 + 1 2 2 + 3 3 1 e 1 1 = e 2 1 = e 3 1 = = 1 + ()() 3211 1 +=+= e 2 3 1 ()() 3211 1 +=+= e ()() 1322 1 +=+= e ()() 2133 1 +=+= e y x x () zyxx e += 1 () xzyy e += 1 () yxzz e += 1 ()() yxx e = 1 ()() xyy e = 1 ()() yxz e +=+= ()+ = 12 e g 例例例例 题题题题7.107.10 ? 边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力f=14kn作用。 已知，=0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦可以忽 略不计。试求立方体各个面上的正应力。 knf14= x y z 0= x 0= z a f y = 2020 1014 3 =mpa35= () zyxx e += 1 0= ()0353 . 0=+ zx () yxzz e += 1 0= ()0353 . 0=+ xz mpa zx 15= 某点的应力状态如图所示,当x,y,z不变,x增 大时,关于x值的说法正确的是_. a. 不变 b. 增大c. 减小d. 无法判定 y x z x仅与正应力有关，而与切应力无 关。所以当切应力增大时，线应变不 变。 a 例例例例 题题题题7.117.11 ? () zyxx e += 1 例例例例 题题题题7.127.12 ? 图示为某点的应力状态，其最大切应力 max=_mpa. mpa40 mpa20 mpa20 mpa20 max = mpa20 min = mpa40 1 =mpa20 2 = mpa20 3 = 2 31 max = () 2 2040 = mpa30= 30 例例例例 题题题题7.137.13 ? 一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为 钢,e=200gpa,=0.3.现测得圆轴表面上与轴线成450 方向的应变为=5.210-4,试求圆轴所承受的扭矩. t 0 45 p w t = 1 3 = 1 0 2 = 3 () 3211 1 += e += e 1 1 e + = 1 () + = 116 3 de t ()3 . 0116 210200102 . 5 334 + = nm7 .125= 各向同性材料的体应变各向同性材料的体应变 体应变：体应变：单位体积的体积变化。单位体积的体积变化。 1 2 3 1 a 2 a 3 a 111 aa+ 222 aa + 333 aa+ () () () 332211 111+=aaav v vv = () () () 321 321332211 111 aaa aaaaaa+ = () 321 321321321 1 aaa aaaaaa+ 321 += () 321 21 + = e 平面纯剪状态平面纯剪状态 31 =0 2 = 0= 小变形条件下，切应力不引小变形条件下，切应力不引 起各向同性材料的体积改变起各向同性材料的体积改变 x y z () zyx e + = 21 5 空间应力状态下的应变能密度 e v 22 1 2 = 1 1 2 1 2 2 e 1 1 = e w 2 2 1 1 = w v w v v v= 单元体单元体 e w 2 2 2 2 = e 2 2 = e 21 1 2 3 3 3 e 3 3 = 3 e w 2 2 3 3 = e 31 e 32 =w 321 www+ e2 2 1 e2 2 2 + e 21 e2 2 3 + e 31 e 32 () 133221 2 3 2 2 2 1 2 2 1 + e ()()() 213313223211 2 1 += e 1 e 2 e 3 e () 332211 2 1 +=v l 1 l f l l f f o l lflfw n = 2 1 2 1 n fv 2 1 = ea lfn l =l ea lfn 2 2 = 应变能密度:应变能密度: 单位体积内的 应变能 v v v = al lf = 2 1 2 1 = 应变能应变能: : 体积改变而形成。体积改变而形成。 形状改变而形成。形状改变而形成。 1 2 3 体积改变能密度体积改变能密度 () 222222 2 2 1 += e vv 3 321 + = () 2 3 2 2 2 1 6 21 + = e vv dv vvv+= vd vvv= () () () 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 6 1 + + = e vd 形状改变能密度形状改变能密度 体积改变而形成。体积改变而形成。 () 133221 2 3 2 2 2 1 2 2 1 + e 6 强度理论及其相当应力 = a fn = p w t = z z w m = bi sf z zs * 脆性断裂脆性断裂塑性屈服塑性屈服 第一强度理论（最大拉应力理论） 使材料发生断裂破坏的主要因素是最大主拉 应力1，只要1达到单向拉伸时材料的强 度极限b材料将要断裂破坏。 破坏条件 强度条件 b = 1 1 该理论与均质的脆性材料的实验结果吻合较好该理论与均质的脆性材料的实验结果吻合较好. . 第二强度理论（最大伸长线应变理论） 当材料的最大伸长线应变1达到材料单向 受拉破坏时的线应变b=b/e时，材料将 要发生断裂破坏。 破坏条件 强度条件 b = 1 +)( 321 () 3211 1 += e e b b = 该理论只与少数脆性材料的实验结果吻合该理论只与少数脆性材料的实验结果吻合. . 第三强度理论（最大切应力理论） 最大切应力是使材料发生屈服破坏的根 本原 因只要最大切应力max达到材料单向受力 时的屈服极限s所对应的极限切应力 s=s/2，材料将发生屈服（剪断）破坏. 破坏条件 强度条件 2 max s s = 31 2 31 max = 第四强度理论（能量理论） 形状改变比能是引起材料屈服破坏的基本原因 只要复杂应力状态下材料形状改变比能达到 单向受力情况屈服破坏时相应的极限形状改变 比能，材料就会发生屈服破坏。 破坏条件 强度条件 sd = )2( 6 1 )()()( 6 1 2 2 13 2 32 2 21s ee + =+ + + 2 13 2 32 2 21 )()()( 2 1 第三强度理论偏于安全第三强度理论偏于安全, ,第四强度理论偏于经济第四强度理论偏于经济 r 2 13 2 32 2 214 )()()( 2 1 += r 11 = r )( 3212 += r 313 = r 在大多数应力状态下在大多数应力状态下, ,脆性材料将发生脆性断裂脆性材料将发生脆性断裂. .因而应选用第一强度理论因而应选用第一强度理论; ; 而在大多数应力状态下而在大多数应力状态下, ,塑性材料将发生屈服和剪断塑性材料将发生屈服和剪断. .故应选用第三强度理论故应选用第三强度理论 或第四强度理论或第四强度理论. .但材料的破坏形式不仅取决于材料的力学行为但材料的破坏形式不仅取决于材料的力学行为, ,而且与所处而且与所处 的应力状态的应力状态, ,温度和加载速度有关温度和加载速度有关. .实验表明实验表明, ,塑性材料在一定的条件下塑性材料在一定的条件下( (低温低温 和三向拉伸和三向拉伸), ),会表现为脆性断裂会表现为脆性断裂. .脆性材料在三向受压表现为塑性屈服脆性材料在三向受压表现为塑性屈服. . 例例例例 题题题题7.147.14 ? 已知铸铁构件上危险点处的应力状态，如图所示。若铸 铁拉伸许用应力为30mpa，试校核该点处的强度 是否安全。 23 11 10 (单位 mpa) 1 2 22 22 x yxyx + + = 072. 328.29 321 =，mpampa mpampa3028.29 1 = mpa mpa 72.3 8.29 = 第一强度理论第一强度理论 例例例例 题题题题7.157.15 ? 某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中 116.7mpa，46.3mpa。材料为钢，许用应力 160mpa。试校核此结构是否安全。 2 2 1 22 + += 2 2 22 x yxyx + + = 2 2 3 22 + = 第三强度理论第三强度理论 31 + 22 4 第四强度理论第四强度理论 ()()() + 2 13 2 32 2 21 2 1 + 22 3 mpa0 .149 mpa 6 . 141 图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。 （1）从梁表面的a、b、c三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。 （2）定性地绘出a、b、c三点的应力圆。 （3）在各点的单元体上，大致地画出主平面的位置和主应力的方向。 （4）试根据第一强度理论，说明（画图表示）梁破坏时裂缝在b、c两点处的走向。 1）从梁表面的a、b、c三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。 （2）定性地绘出a、b、c三点的应力圆。 （3）在各点的单元体上，大致地画出主平面的位置和主应力的方向。 （4）试根据第一强度理论，说明（画图表示）梁破坏时裂缝在b、c两点处的走向。 bac b 1 b c a c b c 1 3 c 1 3 a 1 3 a 1 3 例例例例 题题题题7.167.16 ? ff aa abc 例例例例 题题题题7.177.17 ? 对图示的纯剪切应力状态，试按强度理论建立纯剪切状 态下的强度条件，并导出剪切许用应力与拉伸许用 应力之间的关系。 k k 1 3 ， 321 0 单元体纯剪切强度条件单元体纯剪切强度条件 第一强度理论第一强度理论 1 = 第二强度理论第二强度理论 ）（ 321 ）（ 1 1 对于铸铁对于铸铁: :25. 0= 8 . 0= 第三强度理论第三强度理论 31 2 2 5 . 0= 第四强度理论第四强度理论 ()()() + 2 13 2 32 2 21 2 1 3 6 . 0= 对于脆性材料对于脆性材料: : () 0 . 18 . 0 对于塑性材料对于塑性材料: : () 6 . 05 . 0 r 2 13 2 32 2 214 )()()( 2 1 += r 11 = r )( 3212 += r 313 = r 在大多数应力状态下在大多数应力状态下, ,脆性材料将发生脆性断裂脆性材料将发生脆性断裂. .故应选用第一强度理论故应选用第一强度理论; ;而在而在 大多数应力状态下大多数应力状态下, ,塑性材料将发生屈服和剪断塑性材料将发生屈服和剪断. .故应选用第三强度理论或第四强故应选用第三强度理论或第四强 度理论度理论. .但材料的破坏形式不仅取决于材料的力学行为但材料的破坏形式不仅取决于材料的力学行为, ,而且与所处的应力状态而且与所处的应力状态, ,温温 度和加载速度有关度和加载速度有关. .实验表明实验表明, ,塑性材料在一定的条件下塑性材料在一定的条件下( (低温和三向拉伸低温和三向拉伸),),会表现会表现 为脆性断裂为脆性断裂. .脆性材料在一定的应力状态脆性材料在一定的应力状态( (三向受压三向受压) )下