毕业设计（论文）-中学生空间想象能力的培养.doc

提供全套，各专业毕业设计 分类号 论文编号201040432006 本本 科科 生生 毕毕 业业 论论 文文 中学生空间想象能力的培养中学生空间想象能力的培养 姓 名： 院 系： 数学科学学院 年级专业： 2010 级数学与应用数学 指导教师： 2014 年 2 月 诚信承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的科研成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担. 作者签名： 日 期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解兴义民族师范学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学 院保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权兴义民族师范学院可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文和汇编本 学位论文. (保密论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 导师签名： 日 期： 目 录 摘要 i abstractii 第一章 绪论1 1.1 什么是空间想象能力.1 第二章 空间想象能力的培养2 2.1 认识平面和立体几何图形.2 2.2 绘制立体图形、自制几何体.3 2.4 例题讲解及练习7 第三章 空间想象能力在高考中的应用9 3.1 高考习题检测.9 3.2 空间想象能力在高考中的重要性.11 第四章 结论13 参考文献14 致谢15 i 摘要 从培养学生的空间想象能力所存在的问题和重难点入手，有针对性地培养 学生的空间想象能力做出解答，主要得出了以下几点：贯彻直观性原则, 使学 生由模糊的、感性的认识上升到抽象的数学图形；结合思维训练, 进一步培养 学生的空间想象能力；观察比较， 培养学生空间观念，通过对比能使学生对空 间有更好的理解.经过对学生的空间想象能力的培养，让其在解决立体几何问题 中得心应手，能够帮助学生提高逻辑思维能力，使学生在高考中取得较好的成 绩. 关键词：关键词：中学生空间想象能力 立体几何 观察比较 抽象 ii abstract from cultivating the students ability of space imagination and difficult point of the problem existing in targeted to develop the students ability of space imagination to make solutions, mainly concluded the following: to implement visual principle, so that the students from fuzzy, perceptual knowledge rise to abstract mathematical patterns; combined with thinking training, and further develop the students ability of space imagination; observation, comparison, cultivate students space concept, through the contrast can make the students to have a better understanding of the space. through the cultivation of the students ability of space imagination, let the handy in solving the problem of solid geometry, can help students improve logical thinking ability, make students to get good marks in the college entrance examination. keywords: middle school students space imagination ability solid geometry look for abstract iii 兴义民族师范学院本科毕业论文 1 第一章 绪论 1.1 什么是空间想象能力4 所谓空间想象能力就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象 思维的能力。这种能力的特点是：在头脑中构成研究对象的空间形状和简明的 结构，并能将对事物所进行的一些操作，在头脑中进行相应的思考。 空间想象能力是大脑通过观察、触摸，以及实践经验得到的一种能思考物 体形状、位置的能力。在数学学习中，空间想象能力是形成客观事物的大小、 形状、位置关系的表象以及对其进行加工、改造、创新的能力，是顺利有效地 处理几何图形，探明其关系特征所需要的一种特殊的数学能力。 中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观 察、分析、抽象思考和创新的能力。它是新课标赋予立体几何课程教学的主要 目的。在教学上，力求做到使学生能将空间物体形态抽象为空间几何图形，能 从给定的立体图形想象出实体形状以及几何元素在空间的实际位置关系，并能 用语言符号或式子表达出来且能正确解题。中学阶段在平时的教学中要求空间 概念“逐级”形成；掌握空间形式的基本表达方法；按不同阶段的知识要求发 展空间想象力。 兴义民族师范学院本科毕业论文 2 第二章 空间想象能力的培养 2.12.1 认识平面和立体几何图形 首先让学生明白什么是平面几何图形，它是由什么构成的。显然图形是由 点和直线所构成的，在同一个平面上不同的直线相交于不同的点构成不同的平 面几何图形10。 立体几何图形是什么，它由什么构成？ 我们所生活的空间是三维空间，而平面几何图形是一个二维空间，点、直 线属于一维空间。而平面几何图形是由点和直线构成的。从中学教材我们知道 点动成线，先动成面，面动成体。也就是立体几何图形是由平面几何图形所构 成的。下面我们对这些图形进行认识 （1）一维空间。 a a b ba a a b 点是空间基本图形，线由无穷多个点构成。 （2）二维空间和三维空间。 （长方形） （正方形） （三角形） （圆） （正方体） （圆柱） 兴义民族师范学院本科毕业论文 3 如果说一维空间是基础空间，那么多维空间就由一维空间运动而成。 通过对平面几何图形和空间立体图形的认识，将绘制出立体几何图形和自 制立体几何体，进一步加深对空间几何体的认识从而提升空间想象能力。 2.2 绘制立体图形、自制几何体 爱因斯坦说过: 兴趣是最好的老师. 因此,在初次接触这样的知识前，让学 生学会在平面纸上绘出一些简单立体几何图形，并根据这些图形自制出几何体， 既让学生感知这些图形的魅力，又能加深学生对几何体的认识，并提高他们在 几何体方面的兴趣，认识到学习这些知识的重要性和必要性. 这样,能充分调动 学生的学习积极性, 为进一步学习这方面的知识打下良好的基础. （1）教会学生画出以下几何图形，并让他们自己动手，绘出更多生活中的 几何体。 要绘制好一个几何体，基本功很重要。首先是点的绘制，根据给定的位置， 准确地绘出相应的图像；对于线来说，一定要画直，这样有助于直观地认识图 像，不要作成弯曲的；点和线的构造，就会形成角度，在没有量角器等情况下， 要学会对角度进行估计，越准确越好。 在以上图形都学会后，就要对平面进行作图，如长方形、圆、四边形、三 角形等的构造，根据要求和需要能够准确地做出平面图形，这样在以后解题中 有很大帮助。 特别提醒，在刚开始作图时，必须要有尺子、圆规、铅笔、量角器、橡皮 擦等作图工具，切记平手就将其画出来。作图需要规范化，这样有助于培养中 学生严谨的思维习惯，在图形上产生美感，从而提升中学生学习空间图形的兴 趣，体会一种数学美和图形美。 立体几何图形的绘制需要体现出它的立体感。它的画法主要有斜二测画法、 根据侧视图作图、用虚线代替想象的空间。如：正方体的画法，用斜二测画法 大体做出其形状，正方体由六个面组成但由于视觉的角度我们只能直观地看到 三个面，在作图时看不到的面要有虚线体现出来，这样有更强的立体感。其它 的立体图形以是如此。 兴义民族师范学院本科毕业论文 4 正方体： 三棱锥： 我们可以看到这样绘制的立体图形很有立体感，如果我们不画出虚线的部 分是否还是具有这么强的立体感勒？ 简单介绍一下斜二测画法步骤9： （1）在已知图形中，取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 o，画直观xy 图是，把他们画成对应的和轴，两轴交于点，且使得，它们 x y 0 45x o y 确的平面表示水平面； （2）已知图形中，平行于轴和轴的线段，在直观图中，分别画成平行xy 于轴和轴的线段； x y （3）已知图形中，平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行x 于轴的线段长度，变为原来的一半。y 小结：横同，竖半，平行性不变，90 变为 45 我们可以清楚地看到这样画出的立体图形就没有空间感，所以同学们在绘 制立体几何图形时要把看不见的地方用虚线画出。 正方体： 三棱锥： 练习 1：请同学们根据所学到的知识，画出你们平时所见过的空间立体图 形，看谁画得又漂亮又多。 兴义民族师范学院本科毕业论文 5 （2）一般几何体的制作。 如：正方体的制作，由于正方体由六个面组成，首先我们在纸上画出六个 相接的正方形，之后用剪刀将所画的图形剪切下来然后进行折叠最后做成一个 正方体。 如： 经过学生自己动手操作，进行折纸、画图训练，实现由图形到事物的过度 得 到其正方体. 练习 2：请同学们根据以上制作图形的步骤，自己回去后制作出练习 1 自己画出的图形，看谁制得更美观？ 学生通过动手操作绘制立体几何图形和制作几何体,以自己的动手能力为基 础, 逐步发展空间观念, 这样既提高了学生的动手操作能力和创新能力，又提 高了学生的空间想象力，同时还能增加他们对这方面的兴趣，上升为评价美的 一种价值观，起到了事半功倍的作用. 2.3 应用多媒体提高其空间想象能力5 由于多媒体教学直观、 生动、 形象, 有利于激发学生的兴趣, 充分调动 学生的积极性.因此, 我们可以设计制作一些图形课件来辅助教学, 向学生展示 图形的动态的变化过程,如正方体的平面展开图, 让学生看到展开的过程和由平 面图形折成正方体的过程, 再结合学生的动手操作, 就能初步体验三维与二维 空间的转换关系.可以利用几何画板等软件来完成.多媒体辅助教学过程的加入, 对培养学生的空间想象力能收到更好的效果. 兴义民族师范学院本科毕业论文 6 数学思维能力是数学各种能力的核心，通过思维训练,教给学生一些思维方 法, 优化学生的思维品质, 可以从根本上提高学生的空间想象能力. 数学运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力是数学的三大基本能力，这 三大能力要相互协调，相互配合,这三种能力缺一不可，在已知三视图画出相应 的立体图时，许多学生感觉无从下手，实际上这就需要逻辑思维能力.因此，培 养空间想象能力，还必须结合思维训练一起进行.要善于引导学生展开想象，并 进行比较、归纳、总结，形成一定规律性的结论，自然也就提高了学生的空间 想象能力. 借助逆向思维训练, 培养学生的空间想象能力在教学中有意识地采用逆向 思维, 会起到正向思维(常规思维) 所不能达到的效果. 如教材有一题: 下面是一物体的三视图, 试描述该物体的形状 正视图 左视图 俯视图 此题要求根据三视图来想象出立体图形, 难度较大, 这时可借助逆向思维, 先画立体图形再画出其三视图, 学生发现了所画的三视图与已知的不相符, 那 兴义民族师范学院本科毕业论文 7 么就可以在寻找错误的过程中纠正思维的偏差, 因此空间想象能力得到了进一 步的发展. 2.4 例题讲解及练习 通过对空间立体几何题目的练习加深对空想想象能力的理解，从而提高空 间想象能力。 1、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有几个（ ） a 1 个 b 2 个 c 3 个 d 4 个 分析：在此题的解决过程中需绘制出一个三棱锥，画一条棱垂直底面之后 连接个点得出三棱锥，这样就很直观地看出有 3 个直角。通过数形结合能更好 地解决空间几何题目。 2、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（ ） a 长方体或圆柱 b 正方体或圆柱 c 长方体或圆台 d 正方体或四棱锥 分析：此题主要考察对三视图的理解，已知正视图和侧视图都是长方形， 由于长方形是对应边相等临边不等故此几何体可能是长方体，除了长方体圆柱 的正视图和侧视图同样也是长方形，所以该几何体可能是长方体和圆柱。 3、当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时，侧视图与俯视图是两个全等的 -三角形。 分析：由于圆锥的正视图是圆，可以想到该圆锥是倒着放置的，由此可以 推导出侧视图和俯视图都是全等的等腰三角形。 练习： 1、.在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方 形，则截去 8 个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ） a. b. c. d. 2 3 7 6 4 5 5 6 兴义民族师范学院本科毕业论文 8 2、如图，e、f 分别为正方体的面、面的中心，则四边形 11a add 11b bcc 在该正方体的面上的射影可能是_ ebfd1 3、已知两个几何体的三视图如下，试求它们的表面 积和体积。单位：cm 通过对例题的分析和对习题的练习，使学生学会用图形来表达数学语言， 通过数学语言和图形的互相转化最终应用数形结合解决空间几何题，对培养空 间想象能力起到很好的效果。 兴义民族师范学院本科毕业论文 9 第三章 空间想象能力在高考中的应用 3.1 高考习题检测 1、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). a.22 3 b. 42 3 c. 2 3 2 3 d. 2 3 4 3 解：该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为2,四棱锥的底面 边长为2 ，高为 3， 所以体积为 2 12 3 23 33 所以该几何体的体积为 2 3 2 3 . 答案:c 2、在底面是直角梯形的四棱锥 sabcd 中，saabc,90面 abcd，sa=ab=bc=1，ad=. 2 1 （）求四棱锥 sabcd 的体积； （）求面 scd 与面 sba 所成的二面角的正切值. 解：（）直角梯形 abcd 的面积是 兴义民族师范学院本科毕业论文 10 m a b d c o m底面 4 3 1 2 5 . 01 2 1 abadbc ， 四棱锥 sabcd 的体积是 sav 3 1 m底面 4 3 1 3 1 4 1 （）延长 ba、cd 相交于点 e，连结 se，则 se 是 所求二面角的棱 adbc，bc = 2ad， ea = ab = sa， sesb， sa面 abcd，得面 seb面 ebc，eb 是交线， 又 bceb， bc面 seb，故 sb 是 cs 在面 seb 上的射影， csse， 所以bsc 是所求二面角的平面角 22 absasb2，bc =1，bcsb， tgbsc 2 2 sb bc 即所求二面角的正切值为 2 2 3、如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 pabcdef，则此正六棱 锥的 侧面积是_ 答案：6 7 解：显然正六棱锥 p-abcdef 的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底 面边长为 2，又正六棱锥 p-abcdef 的高依题意可得为 2，依此可求得6 7 4、如图，在四棱锥oabcd中，底面abcd是边长为 2 的正方形， oaabcd 底底，2oa ，m为oa的中点6 （）求四棱锥oabcd的体积； （）求异面直线 ob 与 md 所成角的大小 兴义民族师范学院本科毕业论文 11 解：解：（1）由已知可求得，正方形abcd的面积4s ，所以，四棱锥 abcdo 的体积 3 8 24 3 1 v 。 (2) 设线段ac的中点为e，连接me， 则emd为异面直线 oc 与md所成的角(或补角) e m d c b a o 由已知，可得5, 3,2mdemde， 222 )5()3()2( dem为直角三角形 3 2 tan em de emd 3 23 arctanemd所以，异面直线 oc 与 md 所成角的大小 3 23 arctan 3.2 空间想象能力在高考中的重要性 1.根据空间几何形体和根据表述几何形体的数学语言、符号，在大脑中展 现出相应的空间几何图形，并能正确想象其直观图13 2.能根据直观图，在大脑中展现出直观图表现的的几何形体及其组成部分 的形状、位置关系和数量关系12 3.能对头脑中已有的空间几何形体进行分解、组合，产生新的空间几何形 体，并正确分析其位置关系和数量关系. 4.通过这种训练以达到对空间想象能力的训练，从而提高学生的空间想象 能力，以达到快捷解决高考中各种各样的空间几何题，让学生的高考分数得到 较高的提升，直接影响学生的高考命运10。 兴义民族师范学院本科毕业论文 12 5.空间几何体的想象，有助于人的大脑神经网络的建立，形成比较完善的 逻辑思维能力，对于其他学科的学习，也有很大帮助。 6.达到“图形穿肠过，解题心中留”。 兴义民族师范学院本科毕业论文 13 第四章 结论 空间想象能力的培养，对于人的思维有非常重要的作用，文章对什么是空 间想象能力，怎样建立空间想象能力进行总阐述。针对中学生，如何一步一个 脚印地建立自己的空间想象思维模式，及具体做法和步骤进行总概括，需要建 立严格的作图习惯，拥有强大作图基本功，对一维空间进行描述和强调，知其 运动后，可以形成平面。在平面的基础上，经过想象和一定的方法技巧，可以 作出立体几何图形，培养学生的动手动脑能力，以实际生活中所见所闻为基础， 增强他们的创新意识，体会数学和图形之美，提升他们的几何兴趣，再通过例 题讲解和习题练习，不但使其贴近生活，又不脱离课本，用多媒体现代教育技 术和理念，增强知识的新颖性，使学生对于这方面的知识不再感觉枯燥无味。 在此基础上，把重点转移到关于学生的切身利益中来高考。高考制度 如何，这不需要多加评论，但它毕竟是我国选拔人才的一种方式，在没有找到 更好的方法解决之前，这项制度将会继续延续，这是每个中学生都需要面对的， 所以将其高考分数往上提升，似乎成了每个中学生及老师都必须要做的事情之 一。 空间想象能力的培养，对于提高高考分数有非常重要的帮助，因为它不仅 只是数学方面的，而且这种思维模式的培养对于提