硕士论文-惯性往复振动机械动力学参数设计方法研究及应用.doc

i 目 录 目 录 i 第一章 绪论 1 1.1 引言1 1.2 惯性往复振动机械的研究现状3 1.2.1 惯性往复振动机械筛分工艺参数的研究.4 1.2.2 惯性往复振动机械的机构动力学研究.4 1.2.3 惯性往复振动机械的结构动力学研究.6 1.3 本课题的研究内容及意义6 1.4 本课题研究的技术路线8 1.5 本章小结8 第二章 惯性往复振动机械的多刚体力学模型 .9 2.1 多刚体力学模型9 2.1.1 建立参考基.10 2.1.2 广义坐标.11 2.1.3 牛顿-欧拉方法.13 2.2 各刚体受力分析13 2.2.1 偏重块的受力分析.13 2.2.2 振动体的受力分析.15 2.3 动力学方程18 2.4 本章小结19 第三章 惯性往复振动机械机电耦合模型及数值仿真 20 3.1 建立机电耦合数学模型20 3.2 数值计算和结果分析22 ii 3.2.1 数值计算.22 3.2.2 数值计算结果分析.23 3.3 不同系统阻尼时数值仿真.26 3.3.1 阻尼对共振振幅的影响.28 3.3.2 阻尼对电机启动电流的影响.29 3.4 系统阻尼的设计.31 3.5 本章小结32 第四章 惯性往复振动机械阻尼测量及实验研究 33 4.1 实验方案与相关理论33 4.1.1 实验原理.33 4.1.2 实验设备.35 4.1.3 实验过程.37 4.2 阻尼测量及结果分析38 4.2.1 系统阻尼测量.38 4.2.2 实验结果分析.40 4.3 起动过程的测量与分析42 4.4 本章小结43 第五章 惯性往复振动机械水平和铅垂支承刚度的设计 44 5.1 数力模型的简化44 5.2 kx和ky与振动轨迹的关系.46 5.2.1 kx和 ky与轨迹形状的关系46 5.2.2 kx和 ky与振动方向的关系46 5.2.3 kx和 ky与振幅的关系48 5.3 支承刚度的确定49 5.4 本章小结49 第六章 全文总结 50 iii 6.1 本文结论50 6.2 后续研究展望50 参考文献 .51 致 谢 54 个人简历 .55 惯性往复振动机械动力学参数设计方法研究及应用 1 第一章 绪论 1.1 引言 工程实际中各种利用振动进行工作的设备，称为振动机械1。如振动输送机械，振 动分级机械等。振动机械主要由振动体、激振器、弹性元件、机架等部分组成。振动 体包含了振动机全部的运动部件和主要的工作部件，如筛格、输送槽。激振器主要有 曲柄连杆式、电磁式和惯性式等，激振器产生的激振力使振动体按一定的振幅、频率 和轨迹运动。弹性元件将振动体支承在机架上，机架固定于基础上。常用的弹性元件 有橡胶弹簧、螺旋弹簧、吊杆等。 按振动机械振动体的振动轨迹可分为往复运动轨迹的振动机械、回转运动轨迹的 振动机械以及复杂运动轨迹的振动机械。按振动机械的激振方式又可分为曲柄连杆振 动机械、电磁振动机械和惯性振动机械。 曲柄连杆振动机械由曲柄连杆机构激振，曲柄的一端与原动机铰接，另一端与连 杆铰接。连杆有刚性连杆和弹性连杆两种，采用刚性连杆时，连杆的另一端与振动体 铰接；采用弹性连杆时，连杆的另一端通过其端部的传动弹簧与振动体连接。原动机 带动曲柄转动，从而通过连杆驱动振动体做往复运动。振动体的惯性力通过曲柄连杆 机构传递给基础，为了减小传递给基础的动力，通常需要增加一偏重来平衡该动力。 曲柄的长度决定了振动体的振幅，曲柄的转速决定了振动体的工作频率。该类振动机 械具有以下特点：(1)工作噪声大，寿命短；(2)振动体的惯性力不能够自动平衡；(3)激 振机构对振动体没有附加质量。主要用于低频，大振幅的工艺过程中。 电磁振动机械由电磁激振器驱动，电磁激振器主要由铁心、电磁线圈和衔铁组成。 铁心一般为 u 型铁心，线圈固定于铁心上，衔铁固定在振动体上，衔铁与铁心之间有 一间隙。交变电流通入线圈，使电磁铁产生周期变化的电磁吸力，从而使振动体做往 复振动。该类振动机械具有以下特点：(1)交变电流的频率决定了振动体的工作频率， 采用变频器可调节交变电流的频率，从而改变振动体的振动频率。(2)衔铁与铁心之间 的间隙不能太大，所以就限制了振动体的振幅。(3)激振器对振动体没有附加质量。该 类振动机械主要用于高频、小振幅的工艺过程中。 惯性振动机械是指系统由偏心质量旋转产生离心惯性力激振而工作的振动机械。 河南工业大学硕士学位论文 2 惯性激振器主要由偏心质量、传动机构和原动机组成。偏心质量在工程中被称为偏重 块，它铰支在振动体上。原动机通过传动机构带动偏重块旋转，偏心块产生的离心惯 性力驱动振动体运动，偏重块的质量和偏心距决定了振动体的振幅，偏重块的转速即 为振动体的工作频率，改变传动机构的传动比或者改变原动机的转速，就可改变振动 体的工作频率。该类振动机械具有以下特点：(1)偏重块对振动体具有附加质量；(2)机 械的工作频率远大于系统的自然频率；(3)振动体的惯性力与偏重块产生的离心力可以 相互平衡；(4)振动体的工作振幅和频率可以根据不同的工艺要求进行调节。 惯性式振动机械按振动体的运动轨迹可分为惯性回转式和惯性往复式两种。惯性 回转振动机械采用单台惯性激振器激振，偏重块旋转产生沿圆周方向变化的离心惯性 力驱动振动体在回转工作面内做回转运动。惯性往复振动机械通常采用两个激振器激 振，两个旋转偏重的质量及偏心距相等，在同一平面内反向同步旋转，它们产生的离 心惯性力在振动体振动方向上的分量相互叠加，即系统的激振力，从而驱动振动体在 振动平面内做往复振动，而它们产生的离心惯性力在振动体横向方向上的分量相互抵 消。通过调节激振力的大小可改变振动体的振幅。通过支承元件传递给基础的动载荷 由弹性力和阻尼力两部分组成。该类振动机械结构简单，运行平稳，能耗低，噪声小， 使用和维护方便，因此惯性往复振动机械的应用最为广泛2-4。 粮食行业中使用的振动清理筛、清粉机、去石机等都属于惯性往复振动机械1。如 图 1-1、图 1-2 和图 1-3 所示。 图 1-1 振动清理筛 惯性往复振动机械动力学参数设计方法研究及应用 3 图 1-2 清粉机 图 1-3 去石机 1.2 惯性往复振动机械的研究现状 目前对惯性往复振动机械的研究主要集中在对该类机械的工艺参数，机构动力学 和结构动力学等方面的研究。 河南工业大学硕士学位论文 4 1.2.1 惯性往复振动机械工艺参数的研究 惯性往复振动机械常用于给料、输送、筛分等工艺过程中，他们的工艺过程通常 是在物料沿振动工作面连续运动的情况下完成的1。关于惯性往复振动机械工艺参数的 研究主要包括物料滑行运动的理论、物料抛投运动的理论以及物料运动状态与运动学 参数的选择等方面的研究5,6。物料作滑行运动状态时，由于物料与工作面始终保持接 触，不产生互相冲击，输送过程中噪声低，物料不易粉碎。另外，由于在滑行过程中， 物料与工作面之间始终保持接触，导致物料的通气性不好，在物料层与工作面之间， 容易形成空气垫而影响物料的运动，这种输送方式，对于粉状物料有较好的适应性7-9。 提高工作振幅，可以提高物料的输送速度。物料作抛投运动时，由于物料与工作面接 触时间短，输送时振动面的磨损较小，且输送速度较高。选用抛投运动进行筛分时， 可是物料翻滚，使细粒物料透筛的机会增大，从而可提高工作机的效率。物料运动状 态的选择，主要应根据物料的性质（如易碎性、粘性、含水量和摩擦系数等）、工作 面的特性等，同时考虑有较高的产量与工作效率10,11。影响产量的主要因素有机械的 运动学参数和物料的运动状态。一般情况下，提高振动面的工作倾角可以提高实际平 均输送速度12。物料的性质不同，其产生的摩擦力和其他的阻尼力也就不相同，导致 实际的输送速度低于理论的输送速度，各种不同物料的性质对输送速度的影响还缺乏 充足的实验资料，目前只能依赖经验选择13,15。物料层厚度对物料实际平均速度有明 显的影响，且变化比较复杂，只能通过实验进行测定16,17。 1.2.2 惯性往复振动机械的机构动力学研究 机构运动学是研究物体间的相对运动即位移、速度和加速度随时间变化的关系， 动力学则是在运动学的基础上研究运动副的约束反力和驱动力18。目前对惯性往复振 动机械动力学的研究，主要是建立该类机械的力学模型及动力学方程，讨论系统的阻 尼、刚度与系统动力学特性的关系。 (1) 系统的建模研究。早期在该领域的研究一般是建立该类机械的集中质量模型， 如图 1-4 所示。质量为 m 的振动体通过弹簧和阻尼器支承在基础上，系统支承弹簧刚 度为 k，粘性阻尼系数为 c，作用于质心的简谐激振力为 f(t)， y(t)为振动体质心的位移。 惯性往复振动机械动力学参数设计方法研究及应用 5 图 1-4 简谐振动机械的力学模型 根据上述力学模型建立系统的动力学方程，通过求解系统的动力学方程，研究了 激振频率和系统质量的波动对振动体振幅的影响，以及频率比与隔振系数和偏重参数 的关系。通过研究，胡继云教授提出了单自由度振动机械合理的下限频率比，并给出 了单自由度支承刚度和偏重参数设计的理论依据和方法19,20。但由于力学模型的简化， 该模型不能够对机械的瞬态过程进行分析。 工程中，在研究该类机械的瞬态过程时，也有假设偏重块的角加速度是恒定的， 即偏重块是匀加速启动的，而采用电机驱动的惯性往复振动机械，偏重块的启动角加 速度主要由电机的负载特性所决定，所以对该类机械的瞬态分析必须建立机电耦合的 数学模型21-24。河南工业大学的胡继云教授研究了惯性回转振动机械的瞬态过程，建 立了惯性回转振动机械的机电耦合模型25-27，通过对数学模型的数值仿真及瞬态过程 分析，为工程中提供了急需的理论依据，并发明了新型的惯性激振器28。目前对惯性 往复振动机械瞬态过程的研究较少，且还未见到通过对瞬态过程的分析来研究该类机 械系统的阻尼 29-34设计问题。 (2) 系统支承刚度的设计。支承刚度是惯性往复振动机械主要的动力学参数，目前 对该类机械的支承刚度设计已经作了一定的基础研究工作。如胡继云教授提出了单自 由度往复振动机械铅垂支承刚度的设计方法19。而工程中一般的惯性往复振动机械振 动体的运动通常是铅垂和水平方向上运动的合成，振动体的运动轨迹与铅垂和水平支 承刚度有密切关系，显然仅给出铅垂支承刚度的设计是不够的，所以对水平和铅垂支 承刚度与振动体振动轨迹的关系以及两个方向上支承刚度的设计还需作进一步的研究。 (3) 系统阻尼的设计。系统阻尼也是该类机械的主要参数，阻尼影响机械的共振 振幅和系统的功率消耗，而且传递给基础的动载荷也与其有关。因此在设计该类机械 的动力学参数时，确定合适的系统阻尼值是很重要的1。工程实际中，由于该类机械的 y(t) f(t) kc m 河南工业大学硕士学位论文 6 系统阻尼较为复杂，理论上设计时可以给出合理的系统阻尼值，但机械实际运行时， 系统阻尼主要由结构阻尼，物料摩擦阻尼，空气阻尼等组成20，使得机械的实际阻尼 值并不能通过计算得出。目前工程中在设计该参数时仍然采用经验值。为了获得实际 的系统阻尼值，只能通过实验的方法获得。至今还未见到对该类机械的系统阻尼进行 测试的相关文献，因此本文将实测机械的系统阻尼值，作为工程设计的参考35-39。 1.2.3 惯性往复振动机械的结构动力学研究 结构动力学是研究结构系统在动力载荷作用下的振动特性的一门科学技术，是以 改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性提供理论基础为目的40。结构动力学的研 究主要包括模态分析和动响应分析。传统结构研究是以静力分析为依据，一般采用试 凑设计方法，即在综合考虑一些因素后，经反复试凑得出所求的设计结构。而惯性往 复振动机械在一定振动频率下工作，振动体承受很大的动力，因此既要有足够的强度， 还要有足够的整体刚度。解决该类机械的结构强度问题是发展大型振动机械、改善工 作性能、提高处理能力的关键。1975 年，韩二中教授首先用结构力学的方法对振动筛 进行强度分析41，由于当时计算条件的限制，只对横梁做了等效静强度计算。后来韩 二中教授使用有限元法对振动筛筛箱进行了静、动强度的计算42，他不仅提出按动态 计算分析进行结构的设计是振动机械设计的发展方向，而且为振动机械的设计和安装 提出了有价值的参数。闻邦椿教授将动力学的方法用于振动输送机事故分析和动力参 数选择上43,44。从 70 年代以来，人们先后用有限元分析法对多种振动机械作了静强度 和动态特性的计算分析，积累了较多的经验，证明了有限元法是计算振动机械结构强 度问题的较好的计算方法。但在以前的一些计算中，往往只考虑激振力和惯性力，而 忽略载荷的时间效应。物料进入槽体和不断被抛掷时，机体一直受到物料的冲击，增 加了机体的动应力，对机体的动强度影响很大，如何考虑这种影响还有待于进一步深 入研究45,46。另外，目前还没有相关文献提供该类机械的动力载荷的计算方法，所以 在对该类机械进行结构动力学分析时并没有达到满意的效果。 1.3 本课题的研究内容及意义 根据惯性往复振动机械的研究现状及存在的问题，提出本文的研究内容及意义如 下： 建立该类振动机械的多刚体力学模型及其动力学方程，同时将两电机的状态方 程与机械系统的状态方程相耦合，建立机电耦合的数学模型，通过对数学模型 惯性往复振动机械动力学参数设计方法研究及应用 7 的数值仿真及结果分析，研究阻尼对系统共振振幅及电机启动电流的影响，为 该类机械阻尼的设计提供工程依据。 自制一实验样机，实测实验样机分别采用螺旋弹簧和橡胶弹簧支承时系统的阻 尼率，讨论弹性支承对系统阻尼的影响。实测样机的起动过程，并与仿真结果 作对比，验证机电耦合模型。 将多自由度模型简化为两自由度力学模型，讨论水平支承刚度和铅垂支承刚度 对振动轨迹的形状、方向和振幅的影响，提出水平支承刚度与铅垂支承刚度的 设计方法。 本文通过对机电耦合模型的瞬态分析，研究了阻尼对系统瞬态过程的影响，进而 给出该类机械系统阻尼的设计依据。通过实测机械的系统阻尼值，为该类机械阻尼参 数的设计提供了工程参考。最后通过系统的分析，提出惯性往复振动机械水平支承刚 度和铅垂支承刚度的设计方法。综上所述，本课题的研究为该类机械的系统阻尼及支 承刚度的工程设计提供了理论依据，同时也为该类机械的结构动力学分析做了前期准 备。 1.4 本课题研究的技术路线 图 1-5 研究技术路线框图 惯性往复振动机械动力学特性研究 理论研究 实验研究 确定实验方案及测试系统 多刚体力学模型 系统测试 机电耦合的多刚体力学模型 实验数据处理 系统动力学特性分析及动力学参数设计 数值仿真 河南工业大学硕士学位论文 8 本文研究的技术路线如图 1-5 所示。首先建立了该类机械的多刚体力学模型及动 力学方程，进一步分析，考虑到两驱动电机的状态方程，建立了机电耦合的数学模型。 通过对机电耦合模型的数值仿真及结果分析，研究了系统阻尼对瞬态过程的影响。由 于机械的阻尼较为复杂，实际计算时存在较大困难，只能通过实验的方法获得。因此 又通过实验实测了机械的系统阻尼。最后将理论研究与实验研究相结合，研究该类机 械的系统阻尼和支承刚度的设计。 1.5 本章小结 本章简要的介绍了惯性往复振动机械，然后分别从该类机械工艺参数的研究，机 构动力学的研究，结构动力学的研究等方面阐述了该类振动机械的研究现状；最后针 对目前该课题研究的不足，提出本文要研究的内容及意义。 惯性往复振动机械动力学参数设计方法研究及应用 9 第二章 惯性往复振动机械的多刚体力学模型 本章摘要：建立了惯性往复振动机械的多刚体力学模型，并应用建立多刚体系统动 力学方程的牛顿欧拉法推导出系统的动力学方程，为下一章机电耦合模型的建立 做准备。 对惯性往复振动机械系统动力学的研究，首先应建立该类机械的力学模型47。工 程实际中各类惯性往复振动机械的结构形式有所差别，但其工作原理基本一致。 如图 2-1 所示，为一般惯性往复振动机械的机构简图，振动体由四组轴线铅垂的 弹簧（螺旋弹簧或橡胶弹簧）支承在机架上；两激振器对称安装在振动体的两侧(假定 激振器与振动体之间为刚性连接)，两激振器的轴线平行，且与铅垂线的夹角为，两 激振器的质心连线通过振动体的质心；质量为 m0、质心旋转半径为 e 的偏重分别对称 铰支在振动体上。旋转偏重产生的离心惯性力驱动振动体做往复振动。 1 2 3 4 5 1.机架 2.振动体 3.激振器 4.偏重 5.支承弹簧 图 2-1 惯性往复振动机械机构简图 2.1 多刚体力学模型 图 2-2 为惯性往复振动机械的多刚体力学模型。振动体简化为质心在 c，质量为 m 的均质刚体；各支承弹簧分解为刚度系数为，、的三个相互垂直的线性弹 i u k i v k i w k 河南工业大学硕士学位论文 10 簧；机械的阻尼比较复杂，主要有结构阻尼、空气阻尼等20，但由于该类机械的运动 速度较低，所以将机械的阻尼等效为阻尼系数为，、的三个相互垂直的粘性阻 i u c i v c i w c 尼器(i=14)；四个支承点分别为 d1、d2、d3、d4；两激振器的质心分别为 c3、c4，c3、c4的连线通过振动体的质心 c，且与连线 d1d2和连线 d3d4平行。两偏重 块的旋转主轴为 o1c3、o2c4，两主轴相互平行且与水平面的夹角为；质量为/ 2 m0、偏心距为 e、质心为 c1，c2的两偏重块分别与转轴铰接，设铰接点分别为 o1、o2。 i v 10 22 ee 10 33 ee 10 11 ee i w i u d1 d2 d3 d4 o(c) o1 o2 r i y i x i z e c3 c4 2 1 e 2 2 e 2 3 e 3 2 e 3 1 e 3 3 e (,) ii uu kc (,) ii vv kc (,) ii ww kc 1 2 3 1偏重 2偏重 3振动体 图 2-2 惯性往复振动机械的多刚体力学模型 2.1.1 建立参考基 (1) 建立惯性参考基，其基点 o 与静平衡状态时振动体的质心 c 重合；基 0 ,o e 矢量沿铅垂方向，基矢量与静平衡状态时的连线 d1d2平行，基矢量与静平衡状 0 3 e 0 1 e 0 2 e 态时的连线 d1d4平行。 (2) 建立固连于振动体的参考基，基点在振动体的质心 c，它的三个基矢量 1 ,c e 分别与惯性参考基的三个基矢量平行。初始状态时，与惯性参考基重合。 0 ,o e (3) 分别建立固连于偏重块 1 和 2 的参考基、，基点位于偏重块的 2 1, c e 3 2, c e 质心 c1、c2，基矢量、垂直于两偏重的回转平面，基矢量、平行于连线 2 3 e 3 3 e 2 1 e 3 1 e d1d2，各参考基的另外一基矢量方向可按右手法则确定，如图 2-2 所示。 惯性往复振动机械动力学参数设计方法研究及应用 11 设支承点 di(i=14)在连体基中的坐标列阵为：。两激振 1 ,c e t iiii xyz 器的质心 c3、c4在连体基中的坐标列阵分别为：、 1 ,c e 3 111 t ccxyz lll ，铰接点 o1与激振器质心 c3之间的距离为 r，铰接点 o2与激振 4 222 t ccxyz lll 器质心 c4之间的距离也为 r。 2.1.2 广义坐标 振动体在空间的位置可由六个参数来确定，用三个参数确定其质心的位置，另外 三个参数描述振动体的姿态。两偏重的位置可用其绕转轴的角位移来描述。用 q1、q2、q3、q4、q5、q6、q7和 q8表示系统的独立广义坐标。q1、q2和 q3分别为振动体 质心关于参考基的矢径在基矢量、和方向的分量（坐标） ，取振动体的质 0 ,c e 0 1 e 0 2 e 0 3 e 心 c 在参考基中的矢径为，则；q7、q8为偏重块相对于振动 0 ,c e c r 123 t c rqqq 体绕基矢量、的转角。振动体的姿态可用卡尔丹（卡尔丹（cardano，j.）角）角来确定48,49。 2 3 e 3 3 e 刚体动力学中，常用欧拉角、卡尔丹角等来描述刚体绕定点的转动50。本文将采 用卡尔丹（cardano，j.）角来描述振动体绕质心的转动。卡尔丹（cardano，j.）角的 描述如图 2-3 所示，规定连体基从位置(ox0y0z0)出发，首先绕轴 x0转动角到达位置 4 (ox1y1z1)，再绕轴 y1转动角到达位置(ox2y2z2)，最后绕轴 z2转动角到达位置 5 6 (ox3y3z3)。角度坐标，称为卡尔丹（cardano，j.）角。 4 5 6 x2 x3 y0 y3 y1 y2 x0 x1 z1 z0 z2 z3 4 5 6 4 6 5 6 4 5 o 图 2-3 卡尔丹（cardano，j.）角 设振动体处于静平衡位置时，连体基与图 2-3 所示的基(ox0y0z0)相对应，则 1 ,c e q4，q5，q6分别对应图 2.3 所示的卡尔丹角、，振动体的实时位置与初始位 4 5 6 置之间的方向余弦矩阵为： 河南工业大学硕士学位论文 12 564645646456 21 564645646456 54545 c cc ss s cs sc s c ac sc cs s ss cc s s ss cc c (2.1) 其中， cos,sin aaaa qcqs4,5,6a 方向余弦矩阵符号右上角的双上标指明此变换矩阵所完成的变换是将基从与基 (2) e 相同的方位转到它的实时位置的方位，即实时位置的方位是的方位通过一个 (1) e (2) e (1) e 旋转变换达到的。短阵完全确定了相对的方位。方向余弦矩阵是正交矩阵， 21 a (2) e (1) e 且方向余弦矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵48。所以可得： (2.2) 1 212112 t aaa 而振动体的角速度沿基三个转动轴分解后，在连体基中可表示为： 1 ,c e 1 ,c e (2.3) 566445656 566545656 56456 coscossin0coscossin cossincos0cossincos sin01sin x y z qqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqq 为了后面运算的方便，先求出旋转变换矩阵的一阶及二阶导数。设是振动体 12 ar 上的连体矢量，它在参考基和连体基中的坐标列阵分别为和，二者之间 ( ) i e ( ) j e ( ) i r ( ) j r 的变换方程为。 ( )( )iijj ra r 对求导，因为为常矢量。所以。公式中表示连体矢量的端 ( ) i r ( ) j r ( )( )iijj ra r ( ) i r r 点对参考基的速度列阵。设是振动体相对与参考基的角速度，是在参考 ( ) i e ( ) i e i 基中的叉乘矩阵，称为角速度矩阵。所以可得：。 ( ) i e ( )( )( )iii rr 比较公式和公式，并利用公式，得： ( )( )iijj ra r ( )( )( )iii rr ( )( )iijj ra r ( )ijiij aa (2.4) 即：，角速度在连体基中分解的角速度矩阵也有类似的关 ( ) t iijij aa ( ) j e ( ) j 系式，由此可得： ( )( ) t iijjij aa (2.5) 所以有：，。通过上面的公式，便可以求出的二 t ijjij aa t jijij aa 21 a 阶导数。即： 惯性往复振动机械动力学参数设计方法研究及应用 13 (2.6) 21(2)21(2)21 t aaa 为了便于后面的运算，暂且将记为： 21 a (2.7) 111213 21 212223 313233 aaa aaaa aaa 矩阵中的各元素可根据公式求得。 21 a 21(2)21(2)21 t aaa 偏重块 1 的实时位置可由偏重块 1 的角位移来确定，同样偏重块 2 实时位置也 7 q 可由此来确定。所以偏重块 1 和 2 的实时位置相对于静平衡时的位置之间的旋转变换 矩阵分别为39-42： (2.8) 77 177 cossin0 sincos0 001 qq aqq 88 288 cossin0 sincos0 001 qq aqq 2.1.3 牛顿-欧拉方法 在刚体力学的研究中，将刚体在空间的一般运动分解为随其上某点的平动和绕此 点的转动，分别用牛顿定律和欧拉方程处理，这种方法很自然的被推广到多刚体系统 动力学的研究中，称为牛顿-欧拉方法49。本章将利用牛顿欧拉方程建立系统的动力 学方程。 000000 mrf jjm (2.9) 式(2.9)为牛顿欧拉方程的简化写法；其中为角速度的坐标列阵，为转动 0 0 j 惯量的坐标方阵，为作用力矩的坐标列阵，为角速度列阵的反对称坐标方阵， 0 m 0 其中定义为： 0 (2.10) 0 0 0 0 zy zx yx 取每个刚体为研究对象进行受力分析。系统中所有铰链、弹簧、阻尼器和驱动器 的质量可以忽略不计，必要时附加在所联系的刚体上，不单独考虑。作用于刚体的力 有重力、铰链约束反力以及摩擦力；所有与刚体相连的弹簧、阻尼器和驱动器等无质 河南工业大学硕士学位论文 14 量元件都要用相应的力代替。一般地，弹簧力和阻尼力可表示为相对位置和速度的已 知函数，由电机产生的驱动力为时间的已知函数。将所有作用于各刚体上的主动力和 约成反力分别向质心简化，得到主动力的主矢和主矩，以及约束反力的主矢和主矩， 根据式 可以对每个刚体写出牛顿欧拉动力学。 2.2 各刚体受力分析 2.2.1 偏重块的受力分析 偏重块 1 和 2 分别与激振器的转轴铰接，q7，q8分别对应偏重块 1 和 2 绕主轴转 动的角位移。偏重块 1 的隔离体如图 2-4 所示。工程中，偏重块与振动体间的转动铰 为滚动轴承，将转动铰看成理想约束，两原动机对偏重块 1 和 2 的主动力矩分别为 tp1，tp2。同时，根据作用力与反作用力定理，对振动体应附加一反方向的主动力矩。 作用于偏重块 1 的主动力有重力 m0g、外力矩 tp1，转动铰对偏重块的理想约束反力。 1z f 2 2 e 0 m g 2 1 e 2 3 e 1p t 4 1 e 4 3 e 1z f 4 2 e 图 2-4 偏重块的受力图 偏重块 1 和偏重块 2 上作用的主动力矩在基中的坐标列阵分别为： 2 ,c e 211 00 t p tt ， 222 00 t p tt (2.11) 为了确定反力与广义坐标的关系，对偏重块 1 应用牛顿方程，有： ， (2.12) 0111cz mfg 其中，为偏重块 1 的质心 c1在惯性参考基中的矢径，为振动 10 00 t gm g 1c 1z f 体对偏重块 1 的反力。 惯性往复振动机械动力学参数设计方法研究及应用 15 由各参考基之间的相互关系，最终可求得偏重块 1 质心的矢径为： (2.13) 31 3 12 1cccc cc ar 为激振器 1 的质心 c3到振动体质心 c 的矢径，为偏重块 1 质心 c1到激振器 1 3 cc 1 3 c c 的质心 c3的矢径，为振动体质心在惯性参考基中的矢径。根据分析可知： c r 0 ,c e (2.14) 3 123 111 t cc lll 123 t c rqqq (2.15) 1 3 77 77 100cossin00 0cossinsincos0 0sincos001 c c qq qqe r 对式(2.13)求二阶导数，有： (2.16) 31 31 31 3 12121212 1 2 cccc cc cc cc aaaar 根据式(2.12)可得，偏重块 1 对振动体的反力为： 1z f (2.17) 41 31 31 3 12121212 101 2 zccc cc cc cc fmaaaarg 同理可得，偏重块 2 对振动体的反力为： 2z f (2.18) 22 42 42 4 12121212 201 2 zccc cc cc cc fmaaaarg 为激振器 2 的质心 c4到振动体质心 c 的矢径，为偏重块 2 的质心 c2到激振器 4 cc 2 4 c c 2 的质心 c4的矢径。 根据参考基间的变换关系，偏重块对振动体的反力、在参考基中可 1z f 2z f 1 ,c e 分别表示为： ， (2.19) 21 11z fa f 21 22z fa f 反力、的作用点在参考基中分别为： 1z f 2z f 1 ,c e ， (2.20) 31 3 1cco c l 42 4 2cco c l 所以反力、对振动体质心 c 的转矩分别为： 1 f 2 f ， (2.21) 1111p mflf 1122p mflf 偏重块 1 和 2 对振动体的反力矩、分别为： 1z t 2z t 河南工业大学硕士学位论文 16 ， (2.22) 121 100 0cossin 0sincos z tt 222 100 0cossin 0sincos z tt 2.2.2 振动体的受力分析 作用于振动体的外力（矩）有重力 mg，弹性力（矩） ，阻尼力（矩） ，反力（矩） 。 为了便于计算，下面分别求作用于振动体各个外力（矩） 。 (1) 各支承点的弹性力（矩） 作用于支承点 di(i=14)的弹簧力在惯性参考基中的坐标列阵为： 0 ,c e (i=14)。 iii t iuvw ffff 支承点 di(i=14)在连体参考基中的矢径为：(i=14)；令 1 ,c e t iiii xyz (2.23) 1564645646456 11564645646456 154545 t ix i iiy i iz i c cc ss s cs sc s cx c sc cs s ss cc s sy ss cc cz 则支承点 di(i=14)在惯性参考基中的矢径(i=14)可表示为： 0 i (2.24) 01 0012 03 ix iiyi iz q q q 平衡位置时支承点 di(i=14)处弹性支承的静变形设为：(i=14)， iixiyiz 则可得支承点 di(i=14)处的弹性力(i=14)的坐标列阵为： ki f (2.25) 0 0 0 i iiii i ix iixu t iy kikukvkwiiyv iz iizw xk ffffyk zk 则所有支承点 di(i=14)的弹性力对质心的主动力在基中的坐标列阵为：c 0 ,c e k f (2.26) 0 44 0 11 0 i i i ix iixu iy kkiiiyv ii iz iizw xk ffyk zk 惯性往复振动机械动力学参数设计方法研究及应用 17 力对点的矩矢的解析表达式为： ozyxzyx xyz ijk mfrfxyzyfzfizfxfjxfyfk fff (2.27) 根据式(2.27)可得，支承点 di(i=14)处弹性力对质心的主矩在基中可以表c 1 ,c e 示为： (2.28) 111 000 iii ixiyiz cikiii ixiyiz iixuiiyviizw ijk mff xkykzk 所有的支承点 di(i=14)的弹性力对质心 c 的主矩可表示为： (2.29) 4 1 kkikki i mfmf (2) 各支承点的阻尼力（矩） 支承点 di(i=14)在参考基中的速度列阵为： 0 ,c e (2.30) 21 001 t iii i vqaq 其中 123 t qqqq 将式(2.7)代入式(2.30)可得： (2.31) 1112131 02122232 3132333 iii i iii iii a xa ya zq va xa ya zq a xa ya zq (2.32) 1112131 2122232 3132333 ii ii ii cuiiiu cicviiiv cwiiiw fa xa ya zq c ffa xa ya zqc fa xa ya zqc 由式(2.31)、(2.32)可得，所有的支承点 di(i=14)处的阻尼力向质心 c 简化后可得 作用于质心 c 的阻尼力在基中的坐标列阵为： c f 0 ,c e 4 1 cci i ff (2.33) 河南工业大学硕士学位论文 18 根据式(2.27)可得，支承点 di(i=14)的阻尼力对质心 c 的力矩为： ci f (2.34) 111 iii ixiyiz ciciici cucvcw ijk mff fff 所有的支承点 di(i=14)的阻尼力对振动体质心 c 的主矩可表示为： (2.35) 4 1 ccicici i mfmf (3) 作用于振动体的反力（矩） 由式(2.19)和(2.22)可知，偏重块对振动体的反力为、，反力矩为、。 1 f 2 f 1z t 2z t 2.3 动力学方程 根据受力分析，下面利用牛顿欧拉方法列系统的动力学方程。利用牛顿方程对 振动体列力平衡方程。 (2.36) 12ckc mrffff 在参考基中，振动体对质心的惯量张量为： 2 ,c e c j (2.37) (0) 00 00 00 c c c j jj j 由于，应用式(2.3)及式(2.9)可得： 0 (2.38) 45645656 0 45645656 4565645656 0sincossincos sin0coscossin cossincoscoscossin0 qqqq qqqq qqqqqq qqqq qqqq qqqq 将式(2.21)、(2.22) 、(2.29)、(2.35)代入式(2.8)，可得： (2.39) 0212121 112212kkiccippppzz ma mfa mfamfmftt 偏重块 1 的重力在基中的坐标列阵为： 0 ,c e (2.40) 10 00 t gm g 惯性往复振动机械动力学参数设计方法研究及应用 19 将投影到基，可得： 1 g 2 ,c e (2.41) 21 1 100 0cossin 0sincos t x y z g gga g g 对转轴 o1c3的力矩为： 1 g (2.42) 177 sincos oyx mgeq geq g 同理可得偏重块 2 的重力对转轴 o2c4的力矩为： (2.43) 288 sincos oyx mgeq geq g 反力对转轴 o1c3、o2c4的矩为： 117171 sin(2,:)cos(1,:) o mfeq feq f (2.44) (2.45) 228282 sin(2,:)cos(1,:) o mfeq feq f 由式(2.36) 、(2.39)、(2.42)、(2.43)、(2.44)、(2.45)可得系统的动力学方程为： 12 00000212121 112212 2 071111 2 082222 ckc kkiccippppzz oop oop mrffff jja mfa mfamfmftt m ei qmgmft m ei qmgmft (2.46) 由系统的动力学方程可知，该机械系统是一个多输入，多输出的系统，其中， 1p t 即为系统的输入，即原动机的输出转矩，而系统的输出为：，i=18。 2p t i q i q i q 2.4 本章小结 根据惯性往复振动机械的机构简图，通过简化建立了惯性往复振动机械多刚体力 学模型。利用牛顿-欧拉方程建立了系统的动力学方程，为下一章建立该类机械的机电 耦合模型做准备。 河南工业大学硕士学位论文 20 第三章 惯性往复振动机械机电耦合模型及数值仿真 本章摘要：以振动电机驱动的惯性往复振动机械为例，将电机的状态方程与惯性往 复振动机械的动力学方程耦合，建立机电耦合的数学模型。通过不同系统阻尼时的 数值仿真，分析了系统阻尼对共振振幅以及电机启动电流的影响；提出了该类机械 系统阻尼的设计依据，建以工程设计时，使机械的系统阻尼率控制在 0.080.12 之 间。 惯性振动设备的稳态工作频率远大于其系统的固有频率1。在设备起动时，电机驱 动偏重块从开始通电（静止）到稳态转速有一个加速过程；在这个过程中，偏重块惯 性力的幅值和频率都是变化的，所以系统受到的是一个变频变幅激励。在这个变频变 幅激励的作用下，系统会经历一个启动瞬态过程，直到系统达到稳态振动。当偏重块 的转速在系统的固有频率附近时，振动体会产生较大的瞬态振幅，把这个瞬态振幅称 为最大启动振幅。同时系统在直接起动时，电动机的启动电流较大，为了保证电动机 的正常运行，一般要求启动电流为额定电流的 57 倍。 起动过程中，系统不可避免地要通过共振区，振动体的最大启动振幅可达稳态振 幅的几倍。当系统的共振振幅大于弹性支承的初始静变形时，振动体就会脱离弹性支 承，使设备的运行不稳定甚至是无法工作。要限制共振振幅，可考虑提高系统的阻尼。 但是阻尼增大时，电动机的电流值也随之变大，对电动机的安全运行又会产生不利的 影响。因此在设计该类机械的参数时，必须选择合适的系统阻尼值。 本章以两台振动电机驱动的惯性往复振动机械为例，考虑到偏重块的启动角加速 度主要由电机负载启动的瞬变过程决定，所以将惯性往复振动机械的动力学方程与电 机的状态方程耦合，建立机电耦合的数学模型。通过对机电耦合模型的数值仿真，分 析了该类机械的瞬态起动过程，研究了阻尼对共振振幅及启动电流的影响，从而给出 系统阻尼的合理取值范围，为工程设计提供理论依据。 3.1 建立机电耦合数学模型 采用振动电机驱动的该类机械，电机的输出转矩直接施加于偏重块上，该力矩即 第二章中所提到的作用于偏重块和偏重块上的主动力矩 tp1和 tp2，它们是系统能 量的来源。 惯性往复振动机械动力学参数设计方法研究及应用 21 在起动过程中电机转速和电流等参数是变化的，其电磁转矩和输出转矩不再是恒 定变化的，即施加于惯性往复振动机械的启动转矩不是恒定的，且其变化规律由电机 的瞬态过程和负载决定。所以分析由电机驱动的机械系统的瞬态过程时，必须考虑电 机瞬态特性的影响，即所谓的机电耦合。 电机的电磁转矩 te与电机参数的关系式为： (3.1) 0 1 2 t e l tpii 式中：p0为电机的极对数；i 为电机的电流列阵； 为电机转子的转