复变函数前5章知识纲要.doc

复变函数复变函数复习第一章1、z=x+iy中实部为x,虚部为y而不是yi；2、而不是第二章1、设，那么的必要与充分条件是且。2需要知道的例题（1）讨论初等函数：sec z，csc z，tan z，cot z，sh z，ch z的连续性。由于 在整个复平面上连续。所以，,(2)讨论函数arg z的连续性设z0为复平面上任意一点，那么当z0=0时，arg z在z0无定义，故arg z在z00处不连续。当z0落在负实轴上时，由于，arg z在z从实轴的上方趋于z0时，arg z趋于，在z从实轴的下方趋于z0时，arg z趋于.因而arg z 此时不连续。当z0为其它情况时，由于所以arg z 连续。（3）讨论对数函数Ln z的连续性因为,而ln|z|在除原点和负实轴以外处处连续,反以Ln z的各个分支和其主值函数ln z在除去原点和负实轴以外的复平面上处处连续.注:可导的函数一定连续.3、函数在定义域内一点可导的必要与充分条件是：和在点可微，并且在该点满足柯西黎曼方程注：如果可导，必须同时满足，只满足其中的一个式子不一定可导！4、求导公式：这个公式可以求.5、判定在处是否可导，可根据是否存在来判定，如果不存在肯定不可导。6、已知函数的实部或虚部求解函数表达式的方法（三种）（1）偏积分法例1、已知是调和函数求解析函数解：(c为实数)(为实数)（2）不定积分法.同上例: (c 为实数).(3)线积分法同上例 (为实数)(为实数)第三章1、例1（这是一个比较重要的结论，解题方法也是我们应该掌握的）计算积分，其中C为以为圆心，为半径的正向圆周，为整数。解:C的方程可以写作()当时,当时2、柯西定理：设C是一条简单正向闭曲线，在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么3、复合闭路定理：设D为由外线路C0及内线路C1，C2，Cn 围成的有界多连通域，在多连通域D内及边界线C0，C1，C2，Cn上解析，那么（此定理可以用作求区域内含奇点的沿边界的积分）例如：求积分，其中C为。解：以0和1为圆心在C内取两个半径为0.5的圆，设其边界为C1，C2则有复合闭路定理有：所以3、如果是定义在C上的解析函数，则只与和z有关，与积分路径无关。4、柯西积分公式：设在简单正向闭曲线C及所围成的区域D内处处解析，为D内任一点，那么5高阶导数公式：设在简单正向闭曲线C及所围成的区域D内处处解析，为D内任一点，那么，这里n=0,1,2,高阶导数应用的例子:求4其中C为由高阶导数公式可知 所以第四章1、若，则收敛，收敛2、若级数收敛，则级数必收敛。3、收敛半径求法1： 求法2：；对于含有不连续项的级数求收敛半径时,不能再用上面的公式.我们应该利用定理计算比如:求级数的收敛半径所以原级数的收敛半径是2.(如果用公式来算的话,结果是1,不信你算算).4、幂级数和函数的求法。我们知道幂级数和函数的性质是和函数XXX在其收敛圆内是解析的，那么它在其收敛域内是可以逐次求导，逐次积分。例如求的和函数=（|z|1）5、罗朗级数对于将函数表达式展成罗朗级数，我们一般是利用一些已知函数的函数展开式来将表达式展开。所以我们要注意已知函数的收敛半径，并利用题目已给的条件，化成满足条件的形式。例如：（）展成罗朗级数。如果我们