缓和曲线数学模型在公路施工中的应用.pdf

第2期 ( 总第 1 7 6期) 2 0 0 9年 4月 2 0 日 华 东 公 路 eas t chi na hi ghw ay n o 2 ( t o t a l n o 1 7 6 ) ap r i l 2 0 0 9 文章编号 ：1 0 0 1 7 2 9 1 ( 2 0 0 9 )0 2 0 0 5 1 0 5 文献标识码 ：b 缓和 曲线数学模型在公路施工中的应用 邹仕华 ( 1 三峡大学土木水电学院，湖北 宜昌4 4 3 0 0 2 ；2 中国国电集团云南分公 司，云南 昆明 6 5 0 0 2 1 ； 3 贡山独龙族怒族 自治县人民政府 ，云南怒江6 7 3 5 0 0 ) 摘要：分析缓和曲线的数学模型，推理缓和曲线点位 坐标的计算公式 ，检测缓和 曲线实地放 样的数学方法，达到公路施工应用的 目的。 关键词 ：缓和曲线；平曲线；数学模型；全站仪 ；极 坐标法 ；放样 公路施工时，需要详细的中线测量 ，就是通过测 设直线或曲线 ，将公路中心线 的平面设计位置准确地 标定在实地上。完成这道工序的方法有多种，这里主要 介绍一种极坐标法，这种方法适宜于现代工程测量。 为了适应高速公路行车的需要，并考虑到特殊的 地形地貌，由直线过渡到圆曲线之间，需要插人一段 半径从无限大逐渐减小到圆曲线半径的曲线 ，这种曲 线称为缓和曲线。我国公路的缓和曲线采用 回旋线。 图 1是缓和曲线与圆曲线组成的平 曲线 ，其 中缓 和曲线段为 z h h y及 y h h z，圆曲线段为 h y y h。缓和曲线长为 ，圆曲线半径为 尺。 图 1 带有缓和曲线的平曲线示意图 收稿 日期 ：2 0 0 8 - 0 9 - 3 0 1 缓和曲线弧长 据有关文献 ，缓和曲线弧长有多种设定方式 ，若 按车辆运行速度参数计算，则有： = 0 4 3 v r ( 1 ) 一 般地 ，都满足 30 0 3 5 v r的条件。 式中 为车辆行车速度 ，k m h ； 为圆曲线半径 。 必要时 ，应结合其他因素，调整计算结果。 据研究 ，圆曲线内移值 p和缓和曲线增值 q 有如 下关系式 ： p= ( 2 4 r) 一 ( 2 6 8 8 r ) ( 2 ) q = l 2 一 l ? ( 2 4 0 r ) ( 3 ) 由 ( 2 )式和 ( 3 )式推算可得 ： l ： ( 1 5 q + ( 2 2 5 q 一 3 3 6 r p ) ) t , ( 4 ) 可见 ，缓和曲线弧长 与半径 关系密切。 列出缓和 曲线 常数 jb 、p、q值 和基 本要 素 、 e、 、 、d值 ，具体见表 1 。 2 曲线 中特征点位的里程桩号表达式 如图 1 ，曲线共有 5个 主点 ，其桩号里程计算式 如下 ： 直缓点 ( z h)里程 =交点 ( j d )里程 一 ( 5 ) 缓圆点 ( h y)里程 =直缓点 ( z h)里程 + ( 6 ) 一 5 2一 华 东 公 路 2 0 0 9年第2期 表 1 缓和曲线计算公式一览表 曲中点 ( q z )里程 =直缓点 ( z h)里程 + l + l 2 ( 7 ) 圆缓点 ( y h)里程 ：直缓点 ( z h)里程 + l + ( 8 ) 缓直点 ( h z )里程 ：直缓点 ( z h)里程 + 2 + l ( 9 ) 各主点之间的点位桩号按照上述方法求得。求得 了点位桩号 ，为坐标的推算提供基础数据 。 3 曲线点位的坐标表达式 引人缓和曲线切 线支距 的相关元素，以 z h为原 点 ，以切线方向为 x轴，以半径方向为 y轴 ( 如图2 ) 。 图 2 缓和 曲线切线支距示意图 3 1 缓 和 曲线点位 坐标 =l一， j 5 ( 4 0 r 。 l ) y： l 3 ( 6 r l ) 一l 7 ( 3 3 6 r l ) 3 2主 曲线 点位 坐标 = r s i n ( + 口) + q y= r 1 一c o s( + ) + p ( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 式中 缓 和 曲线 ( 或主 曲线 )上 任意一点 的 横距 ； ) ， 缓和曲线 ( 或 主 曲线 )上 任意 一点 的 纵距 ； 缓和曲线起点至缓和曲线上任意一点的 曲线长； 缓和曲线终点至主曲线上任意一点的曲 线对应 的中心角 ； 缓和曲线的长度 ； 、p 、q 、r同表 1 。 4 缓和曲线的数学模型 根据图2 ， 建立两个坐标系，其一为切线支距坐 标系 ，其二为北京坐标系 ( 如图 3 ) 。 图3 坐标转换示意图 切线支距坐标系 ( 一 y )的点位坐标为 ： 4 1 缓和曲线部分 ( 切线支距坐标 系) =l l s ( 4 0 r l ) ( 1 4 ) y = l ( 6 r l ) 一 ( 3 3 6 r l ) ( 1 5 ) 4 2主曲线部分 ( 切线支距坐标系) =r s i n ( + ) +q ( 1 6 ) y =r 1一c o s( + ) + p ( 1 7 ) 在北京坐标系中，z h至 j d的方位角根据相邻 的交点 ( j d)坐标 正反算求 得 ，记为 删，直缓点 ( z h)的北京系坐标也不难求得，记为 ( 删，y z h ) 。 则根据坐标平移和旋转的原理 ，可以把切线支距系坐 标 ( ，y )转化为北京系坐标 ( ，y ) 。 = z jl】 + c o s z h y s i n 删 ( 1 8 ) 2 0 0 9年 第2期 邹仕华：缓和曲线数学模型在公路施工 中的应用 一 5 3一 y= y z u + s i n 删y e o ,s o z h ( 1 9 ) 将 ( 1 4 ) 、 ( 1 5 ) 、 ( 1 6 ) 、 ( 1 7 )式分别 代人 ( 1 8 ) 、( 1 9 )式可得。 4 3 缓和 曲线部分( 北京坐标 系) x , z h+ 一l s ( 4 0 r l ) c o $ o z l 3 ( 6 r l s ) 一 ( 3 3 6 r l ) s i n 删 ( 2 0 ) y= y z l + ll s ( 4 0 r ) s i n o t z n ( 6 r ) 一 ( 3 3 6 r l 。 ) e o s o l z h ( 2 1 ) 4 4主曲线部分 ( 北京坐标 系) = 删 + r s i n ( o + 卢 ) + q e o s o g h r ( 1一 c o s( + ) + p s i n 删 ( 2 2 ) y= y z h + r s i n( + 卢) +q s i n a z 1一 c o s( o l + ) + pe o $ o g ( 2 3 ) 式中，若沿桩号增值方向 ( z hh y) 曲线 向左 拐 ，则取 x值 中 “” 号 的 “+”号 ，取 y值 中 “”号 的 “一” 号 ；若 沿 桩号 增 值 方 向 ( z h h y)曲线向右拐 ，则取值符号恰 好相反 ，取 值 中 “”号的 “一”号，取 y 值 中 “”号的 “+”号。 ( 2 2 ) 、( 2 3 )式 中，o t 与曲线长有关 ，也与相应 点位的里程桩号有关。根据里程桩 号即可推理出 ( 2 的计算式 ： o = 一 ( +l ) r ( 2 4 ) 式中 卜主曲线上要求的点位的里程桩号数 ； 直缓点 ( z h)的里程桩号数 ； 缓和曲线长度 ； 主曲线半径 ； o l 缓和曲线终点至主曲线上待求点的弧线 对应的中心角 ，单位为 r a d 。 上述式 ( 1 4 ) 一 ( 2 4 )是表示缓 和曲线的数学 模型，x z h ，y z j t 是缓和曲线数学模型的重要参数之一。 5 缓和曲线与主 曲线的连接 在平曲线中，缓和曲线与主曲线的关系已由相应 的特征参数确定 ，连接处在缓 圆点 ( h y ) 。 将 l=t分别代人 ( 1 4 ) 、 ( 1 5 ) 、( 2 0 ) 、 ( 2 1 ) 式，即得 删 处的坐标计算式 ： hy l 一 l 3 ( 4 0 r ) ( 2 5 ) y 日 y =l 3 ( 6 r) 一 ( 3 3 6 r ) ( 2 6 ) h y =x z t l + 一 ( 4 0 r ) c o $ o z l 2 ( 6 r) 一 l 4 ( 3 3 6 r ) s i n o z t t ( 2 7 ) y h y = y z n+ 一 ( 4 0 r ) s i n o t z t t ( 6 r) 一 l 4 ( 3 3 6 r ) c o s o z h ( 2 8 ) 上式表 明，缓 和 曲线与 主曲线的连接与 曲线 长 厶 和半径 尺有关 。在连接处点位 ，其曲率中心重合 。 6 坐标检测与实地放样 6 1检测 以同三线高速公路 ( 青 岛段 )施 工为例 ，来说 明这一 问题。 ( 注 ： “ 同” 系指 黑龙江省 的同江 ， “ 三”系指海南省的三亚 ) 有一段缓和曲线 ，其桩号区间为 k 1 1 8+ 2 0 2 5 6 9 k 1 2 0+ 2 1 2 6 6 8 。其 中，直缓点 ( z h)的桩号为 k 1 1 8 + 2 0 2 5 6 9 ， 坐 标 为( 4 0 8 6 9 5 3 6 2 5 ，5 3 9 9 3 5 0 5 9 3 ) ，z h 至 j dl 0 的方 位角 为 2 1 9 。 4 5 4 8 4 ” 。 ( 如图4 ) 相应的曲线要素如表 2 。 j d1 o 圈4 同三线 ( 青岛段)缓和曲线平面布置示意图 表2 同三线路轴线曲线要素表 ( 摘要) 根据转角值 o t = 2 7 。 1 0 3 4 3 、半径 r= 3 5 0 0 、缓 和曲线长 l = 3 5 0，进行 曲线要素的演算 ： 3= l s ( 2 r) = 3 5 0 ( 2 3 5 0 0)r a d = 20 5 1 5 3 2 4 ( 2 9) p= ( 2 4 r) 一 l 4 ( 2 6 8 8 r ) ：3 5 0 ( 2 4$3 5 0 0) 一3 5 0 4 ( 2 6 8 8， i： 3 5 0 0 ) = 1 4 5 8 ( 3 0 ) g= l 2 一 l 3 ( 2 4 0 r ) =3 5 0 一3 5 0 ( 2 4 0 3 5 0 0 。 ) = 1 7 4 9 8 5 ( 3 1 ) - - 5 4 华 东 公 路 2 0 0 9年第 2期 t= ( r+ p )t a n( 2 ) = ( 3 5 0 0+1 4 5 8 )t a n( 2 7 。 1 0 3 4 3 “ 2 ) = 8 4 6 3 2 2 ( 3 2 ) =t+ q= 8 4 6 3 2 2+1 7 4 9 8 5=1 0 2 1 3 0 7 ( 3 3 ) e = ( r+ p )s e e( 2 ) 一r ： ( 3 5 0 0+1 4 5 8 )s e e ( 2 7 。 1 0 3 4 3 “ 2 ) 一 3 5 0 0：1 0 2 2 8 7 ( 3 4) = ( 0 一 2 )r r 1 8 0 = ( 2 7 。 1 0 3 4 3 ”一2 2 。 5 1 5 3 2 4 ” ) 3 5 0 0 $“ r r 1 8 0 =1 3 1 0 0 9 9 ( 3 5) lh= +2 l =l 31 0 0 9 9+2 木3 5 0 =2 01 0 0 9 9 ( 3 6 ) d =2 一l=2 1 0 21 3 072 01 0 0 9 9=3 2 51 5 ( 3 7 ) 6 1 1取 z h 至 hy之 间一 点 ，假 定 为 k l 1 8+5 0 0， 其坐标推理 l =kl 1 8 + 5 0 0一k z h =l 1 8 5 o 01 1 8 2 0 2 5 6 9=2 9 7 4 3 l 则有 ， k 1 1 8 + 5 0 0 ：x 删 + l l s ( 4 0 r l ) c o s z h + ( 6 l ) 一l 7 ( 3 3 6 r ) s i n z h =4 08 6 9 53 6 2 5 +f 2 9 7 4 3 12 9 7 4 3 1 f 4 0 3 5 0 0 $ 3 5 0 ) c o s 2 1 9 。 4 5 4 8 4 ” + 2 9 7 4 3 1 。 ( 6 $3 5 0 0 3 5 0) 一 2 9 7 4 3 1 ( 3 3 6 3 5 0 0 3 5 0 ) s i i 1 21 9 o 4 5 48 4” =4 0 8 6 72 2 7 3 2 5 y k l 1 8 + 5 0 0 y 删+ l s 一 l 3 ( 6 r l ) coso l g t ( 4 0 r l ) s i n 删 一 l t ( 3 3 6 r l ) =5 3 9 9 3 5 0 5 9 3 + 2 9 7 4 3 12 9 7 4 3 1 ( 4 0 3 5 0 0 $ 3 5 0 ) s i n 2 1 9 4 5 4 8 4 ” 一 1 2 9 7 4 3 1 ( 6 3 5 0 0 ： ic 3 5 0) 一 2 9 7 4 3 1 ( 3 3 6 3 5 0 0 3 5 0 。 ) c o s 21 9。 45 48 4 =5 3 9 7 4 7 5 93 l 6 1 2 取 hy 至 yh 之 间一 点 ，假 定 为 k 1 1 9+7 0 0 ( 第六合 同段的终点桩号) ，其 坐标推理 a = k一 ( kz 日+ ) r= 1 1 9 7 0 0一 ( 1 1 8 2 0 2 5 6 9+ 3 5 0 ) 3 5 0 0 =1 8 4 7 01 3 2 则有 ， 戈 k l 1 9 + 7 0 0 = 删+ ( r s i n( + ) + q )c o s 删 + r 1一 c o s( o l + ) + ps i n = 4 08 6 9 53 6 2 5 +( 3 5 0 0 s i n ( 1 8 。 4 7 0 1 3 2 ”+2 。 5 1 5 3 2 4 ” ) + 1 7 4 9 8 5) c o s 2 1 9 。 4 5 48 4” +( 3 5 0 0 1 一c o s( 1 8 。 4 7 0 1 3 2 ” +2 。 5 l 5 3 2 4 ” ) +1 4 5 8 ) s i n 2 1 9 。 4 5 4 8 4” = 4 08 5 6 6 7 7 51 ， ， k i l 9 + 7 0 0 =y z 日+ ( r s i n( + ) + q )s i n z h 一 r ( 1一c o s( + 卢 ) + p )c o s z h =53 9 93 5 05 9 3 + 3 5 0 0： l：s i n ( 1 8 。 4 7 0 1 3 2 ” +2 o 5 1 5 3 2 4 ” ) +1 7 4 9 8 5 s i n 2l 9o 4 5 4 8 4” 一 ( 3 5 0 0 1一c o s( 1 8 。 4 7 o 1 3 2 + 2 。 5 1 5 3 2 4 ” ) ) +1 4 5 8 $c o s 2 1 9 。 4 5 48 4” =53 9 1 8 8 1 5 6 3 6 1 3连 接 点 删的 坐标 推理 k l l 8 + 5 5 2 5 6 9 = z + 一l 3 ( 4 0 r 2 ) c o s o l z i t + l 2 ( 6 r) 一 l 4 ( 3 3 6 r ) s i n z h =4 08 6 9 5 3 6 2 5 + 3 5 0 3 5 0 ( 4 0 $3 5 0 0 ) c o s 21 9 4 5 4 8 4” + 3 5 0 ( 63 5 0 0) 一3 5 0 ( 3 3 6 3 5 0 0 ) s i n 2l 9。 4 5 48 4 ” = 4 08 6 6 8 0 91 9 7 y k l lb + 55 2 _ 5 6 9 = + l 一 l 3 ( 4 0 r ) s in z h 一 l 2 ( 6 r) 一 l 4 ( 3 3 6 r ) eos g h =5 3 9 93 5 0 5 9 3 + 3 5 03 5 0 ( 4 0=ic 3 5 0 0 ) s i n 21 9 4 5 48 4 ” 一 3 5 0 ( 6 3 5 0 0 ) 一 3 5 0 ( 3 3 6 2 0 0 9年第 2期 邹仕华：缓和曲线数学模型在公路施工 中的应用 一 5 5一 3 5 0 0 ) ：l：c o s 2 1 9 。 4 5 4 8 4 ” =53 9 71 5 7 31 7 掌握了坐标推算的原理 ，用计数机编程来完成上 述过程 ，也就简化多了。只须一次性输入 删、y z h 、 l 、r和要求点位 的桩号数 ，即可显算 出该点的北 京系坐标。这里对计算程序不作介绍。 6 2实地放 样 选取合理 的架站点 ，例 t n b m3 3 3 ，其三维 坐标 为 ( 4 0 8 6 8 3 4 6 1 3 ，5 3 9 6 1 9 4 3 8 ，7 2 9 8 5 ) ，将全站 仪整平 、对 中、后 视 完 好 之 后 ，把