09数学一考研真题.doc

/article/article_show2.asp?articleid=932004年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷答案和评分参考一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填写在题中横线上.）（1）曲线上与直线垂直的切线方程为 y = x1 .（2）已知，且，则.（3）设为正向圆周在第一象限的部分，则曲线积分的值为.（4）欧拉方程的通解为 .（5）设矩阵，矩阵满足，其中为的伴随矩阵，是单位矩阵，则 .（6）设随机变量服从参数为的指数分布，则 .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后面的括号内.）（7）把的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（a）. （b）. （c）. （d）. 【 b 】（8）设函数连续，且，则存在，使得（a）在内单调增加.（b）在内单调减小.（c）对任意的有.（d）对任意的有. 【 c 】（9）设为正项级数,下列结论中正确的是（a）若,则级数收敛.（b）若存在非零常数,使得,则级数发散.（c）若级数收敛,则.（d）若级数发散,则存在非零常数,使得. 【 b 】（10）设为连续函数,则等于（a）. （b）. （c）. （d）. 【 b 】（11）设是阶方阵,将的第列与第列交换得,再把的第列加到第列得,则满足的可逆矩阵为（a）.（b）.（c）.（d）. 【 d 】（12）设为满足的任意两个非零矩阵,则必有（a）的列向量组线性相关,的行向量线性相关.（b）的列向量组线性相关,的列向量线性相关.（c）的行向量组线性相关,的行向量线性相关.（d）的行向量组线性相关,的列向量线性相关. 【 a 】（13）设随机变量服从正态分布,对给定的,数满足.若,则等于（a）. （b）. （c）. （d）. 【 c 】（14）设随机变量独立分布,且其方差为.令,则（a）. （b）.（c）. （d）. 【 a 】三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(15)(本题满分12分)设,证明.证法1 设，则 ， ， 5分所以当时，故单调减少，从而当时， ， 9分即当时，单调增加.因此当时，.即 ，故 . 12分证法2 对函数在上应用拉格朗日中值定理，得 3分 设，则,当时，所以单调减少. 9分从而，即 ，故 . 12分(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为）.问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注：kg表示千克，km/h表示千米/小时.解 由题设，飞机的质量kg，着陆时的水平速度=700km/h.从飞机接触跑道开始计时，设时刻飞机的滑行距离为，速度为.法1 根据牛顿第二定律，得. 4分又 ，由以上二式得， 7分积分得.由于，故得，从而.当时，（km） 11分所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.法2 根据牛顿第二定律，得 4分所以 .两端积分得通解，代入初始条件解得，故 . 7分飞机滑行的最长距离为（km）. 11分法3 根据牛顿第二定律，得， 4分其特征方程为 ，解之得 故 . 7分由 ，得 于是 .当时，（km）. 11分所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.（17）（本题满分12分）计算曲面积分，其中是曲面 的上侧.解 取为平面上被圆所围部分的下侧，记为由与围成的空间闭区域，则 . 3分由高斯公式知 6分 9分而 ，因此 . 12分（18）（本题满分11分）设有方程，其中为正整数.证明此方程存在唯一正实根，并证明当时，级数收敛.证 记.当时，,故在,上单调增加. 3分而，由连续函数的介值定理知存在惟一正实根. 6分由与知 9分故当时，而正项级数收敛，所以当时，级数收敛. 11分（19）（本题满分12分）设，是由确定的函数，求的极值点和极点.解 因为 ，所以 , 2分 令 得 将上式代入，可得 或 5分由于 ， ， 8分所以 ，故，又，从而点（9，3）是是极小值点，极小值为.类似地，由 可知，又，所以点（-9，-3）是是极大值点，极大值为. 12分（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组 试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解解法1 对方程组系数矩阵作初等行变换，有.当的时，故方程组有非零解，其同解方程组为，由此得基础解系为 于是方程组的通解为 其中为任意常数， 4分当时，对矩阵作初等行变换，有 6分可知时，,故方程组也有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为于是方程组的通解为，其中为任意常数. 9分解法2 方程组的系数行列式为. 3分当，即,方程组有非零解.当，对系数矩阵作初等行变换，有，故方程组的同解方程组为,由此得基础解系为 于是方程组的通解为 其中为任意常数. 6分当对系数矩阵作初等行变换，有 ，故方程组的同解方程组为由此得基础解系为于是方程组的通解为，其中为任意常数. 9分（21）（本题满分9分）设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论是否可相似对角化.解 的特征多项式为 2分若是特征方程的二重根，则有，解得. 4分当时，是特征值为2，2，6，矩阵的秩为1，故对应的线性无关的特征向量有两个，从而可相似对角化. 6分若不是特征方程的二重根，则有为完全平方，从而，解得.当时，是特征值为2，4，4，矩阵的秩为2，故对应的线性无关的特征向量只有一个，从而不可相似对角化. 9分（22）（本题满分9分）设为随机事件，且，令 求：（i）二维随机变量的概率分布； （ii）与的相关系数.解 （i）由于 2分所以 （或），故 的概率分布为 0101 6分（ii）的概率分布分别为01，01.则故从而. 9分（23）（本题满分9分）设总