关于函数的连续点与不连续点的讨论_毕业设计(论文).doc

毕 业 设 计（论 文）题 目：关于函数的连续点和不连续点的讨论 院 （系）：专 业：班 级：学生姓名：*导师姓名： * 职称：教授起止时间：2013 年3月4日至 2013 年 6月7日毕业设计（论文）诚信声明书本人声明：本人所提交的毕业论文关于函数的连续点和不连续点的讨论是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，论文中所引用他人的文献、数据、图件、资料均已明确标注；对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明并表示感谢。本人完全清楚本声明的法律后果，申请学位论文和资料若有不实之处，本人愿承担相应的法律责任。论文作者签名： 时间： 年 月 日指导教师签名： 时间： 年 月 日毕业设计(论文)任务书学生姓名指导教师职称教授系别专业题目关于函数连续点及不连续点的讨论任务与要求1. 学习有关于函数连续性的知识。 2. 完成毕业论文。开始日期2013-03-04完成日期2013-06-07系主任(签字)2013年3月20日西安邮电大学毕 业 设 计(论文)工 作 计 划学生姓名 指导教师职称教授系别 专业 题目 连续点及不连续点的讨论 工作进程起止时间工作内容第01周3.04-3.08学习关于函数连续性的有关基础知识，完成知识储备.第02周3.11-3.15熟悉讨论函数连续性的基本思想 ，提交毕业论文开题报告。第03周3.18-3.22学习讨论函数连续性的基本技巧。第04周3.25-3.29完成问题分析报告。第05周4.01-4.05完成问题分析报告。第06周4.08-4.12对初步所得结果进行分析，提出改进方向。第07周4.15-4.19提供分析整理报告，并进行中期检查。第08周4.22-4.26进行分析和比较，提出较合理的研究方法。第09周4.29-5.03得到结果，并对结果进行分析。第10周5.06-5.10提供毕业论文初稿。第11周5.13-5.17对毕业论文进行修改，并进行后期检查。第12周5.20-5.24毕业设计论文。第13周5.27-5.31完成毕业设计论文。第14周6.03-6.07完成毕业设计答辩。主要参考书目(资料)1陈建功著，实函数论，科学技出版社，北京，1978年9月第三次印刷。主要仪器设备及材提供上网查资料,上机编程,及复印打印资料所需设备.论文(设计)过程中教师的指导安1.每周听取学生工作汇报，并进行专门指导至少一次; 2.随时解决学生在毕业设计中遇到的问题.对计划的说明学生必须严格按照计划进度完成论文,如有更改需经过指导老师同意.毕业设计(论文)开题报告 系专业 级 班课题名称： 关于函数连续点及不连续点的讨论学生姓名： 学号： 指导教师： 报告日期： 2013-03-20 1本课题所涉及的问题及应用现状综述 自然界中许多现象，如气温的变化、河水的流动、动植物的生长等等都是连续的变化着的，这种现象在数学上的反应就是函数的连续性。 函数的一致连续性是数学分析的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键函数的连续应用的非常的广泛，生物学、物理学等学科都需要用到和函数连续息息相关的知识。2本课题需要重点研究的关键问题、解决的思路及实现预期目标的可行性分析 关键问题：在研究普通函数的连续性时，需要判断其是否在某一区间内有间断点或一直连续，通过判断来确定函数是否一致连续。 解决思路：函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因为也可以直接用该点的极限来判断函数在此点是否连续或间断，间断点包括可去间断点、跳跃间断点和第二类间断点，然后通过判断得出间断点和连续点，再比较讨论间断点和连续点之间的判断方法和联系。 可行性分析：在做此课题之前学过一些有关函数连续的知识，但是从来没有讨论过连续点和间断点的区别，连续的问题很广泛，在接下来的课题中，我会通过已经学过的知识和一些新的知识，来分析判断连续点和间断点之间的区别，通过一些实际的运算和应用来进一步比较连续和间断的差别和联系。在此课题的分析会遇到一些难题，只要利用好函数连续性的知识，相信会的到一个可行的结果。 3完成本课题的工作方案 起止时间 工作内容 第01周3.04-3.08 学习函数连续问题的有关基础知识，完成知识储备. 第02周3.11-3.15 熟悉讨论函数连续问题的基本方法和基本思路，提交毕业设计论文开题报告 第03周3.18-3.22 学习讨论函数连续问题的基本技巧。 第04周3.25-3.29 完成问题分析报告。 第05周4.01-4.05 完成问题分析报告。 第06周4.08-4.12 对所讨论结果进行分析，提出改进方向。 第07周4.15-4.19 提供分析整理报告，并进行中期检查。 第08周4.22-4.26 对所获得的结果进行分析和比较，提出较合理的改进。 第09周4.29-5.03 得到结果，并对结果进行分析。 第10周5.06-5.10 提供毕业论文初稿。 第11周5.13-5.17 对毕业论文进行修改，并进行后期检查。 第12周5.20-5.24 毕业设计论文。 第13周5.27-5.31 完成毕业设计论文。 第14周6.03-6.07 完成毕业设计答辩。4指导教师审阅意见同意开题指导教师(签字)： 年月日说明：本报告必须由承担毕业论文(设计)课题任务的学生在毕业论文(设计)正式开始的第1周周五之前独立撰写完成，并交指导教师审阅。毕业设计 (论文)成绩评定表学生姓名性别男学号专 业班 级课题名称关于函数的连续点和不连续点的讨论课题类型理论研究难度较难毕业设计（论文）时间2013 年3月7日6月 10日 指导教师(职称：教授)课题任务完成情况论 文 (千字)； 设计、计算说 明书 (千字)； 图纸 (张)；其它(含附 件)：指导教师意见 分项得分：开题调研论证 分； 课题质量（论文内容） 分； 创新 分；论文撰写（规范） 分； 学习态度 分； 外文翻译 分指导教师审阅成绩：指导教师(签字)： 年 月日评阅教师意见分项得分：选题 分； 开题调研论证 分； 课题质量（论文内容） 分； 创新 分；论文撰写（规范） 分； 外文翻译 分评阅成绩：评阅教师(签字)： 年月日验收小组意见 分项得分：准备情况 分； 毕业设计（论文）质量 分； （操作）回答问题 分验收成绩：验收教师(组长)(签字)： 年月日答辩小组意见分项得分：准备情况 分； 陈述情况 分； 回答问题 分； 仪表 分答辩成绩： 答辩小组组长(签字)： 年 月 日成绩计算方法(填写本院系实用比例)指导教师成绩 20 () 评阅成绩 30 () 验收成绩 30 () 答辩成绩 20 ()学生实得成绩(百分制)指导教师成绩 评阅成绩 验收成绩 答辩成绩 总评 答辩委员会意见毕业论文(设计)总评成绩(等级)： 院（系）答辩委员会主任(签字)： 院（系）签章) 年 月 日备注目录摘要iabstractii引 言1一 相关概念的阐述及例题分析31.1 函数在一点处连续31.2 函数在区间上连续31.3 函数在区间上一致连续41.4 函数在区间上绝对连续4二 相关概念的比较及例题分析62.1函数在区间上连续与在区间上一致连续的区别与联系62.2函数的一致连续性与绝对连续的区别与联系7三 函数连续性的相关性质93.1在闭区间上连续函数的基本性质包括93.2在局部上连续函数具有的性质包括9四 函数连续性的应用114.1函数连续性在求函数极限中的应用114.2函数连续性在求方程的根达到的指定精确度的近似值中的应用114.3函数连续性在求闭区间上连续函数最值点中的应用114.4函数连续性在判断函数在区间上是否有界中的应用12五 函数的连续性与间断点135.1函数的连续性135.2函数的间断点145.3间断点的分类15结 论20致 谢21参考文献22 摘要 函数连续性是自然界中广泛存在的一种性质，同时也是函数理论中最基本最重要的问题之一。本文首先阐述并分析了函数在一点连续，在区间上的连续和一致连续，等概念，对这些基本概念进行比较后又分析了函数连续点和不连续点性质。最后阐述了函数连续性在其他方面的应用。 关键词：连续性 一致连续性 连续点 间断点abstract continuity is a natural function of the existence of a widespread nature, but also the most basic function theory one of the most important issues. this paper describes and analyzes the function is continuous at a point in the interval of continuous and uniformly continuous, concepts such as comparison of these basic concepts and then analyzed the function point and continuous nature of discontinuities. finally the continuity of the function described in other applications.key words: continuity，uniform continuity，consecutive points，discontinuities - 22 -引 言 在研究普通函数的连续性时，需要判断其是否在某一区间内有间断点或一直连续，通过判断来确定函数是否一致连续。函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因为也可以直接用该点的极限来判断函数在此点是否连续或间断，间断点包括可去间断点、跳跃间断点和第二类间断点，然后通过判断得出间断点和连续点，再比较讨论间断点和连续点之间的判断方法和联系。之前学过一些有关函数连续的知识，但是从来没有讨论过连续点和间断点的区别，连续的问题很广泛，在接下来的课题中，我会通过已经学过的知识和一些新的知识，来分析判断连续点和间断点之间的区别，通过一些实际的运算和应用来进一步比较连续和间断的差别和联系。在此课题的分析会遇到一些难题，只要利用好函数连续性的知识，相信会的到一个可行的正确结果。 在高等数学中，函数在一点上的连续性，在区间上的连续性与一致连续性属于最基本的概念.函数在区间上连续是指在该区间上每一点都连续；而函数在区间上的一致连续性则反映了函数在区间上更强的连续性.下面就从对这些基本概念的分析中得出概念间的区别与联系，再从具体应用中体会这些概念的深刻含义.一 相关概念的阐述及例题分析1.1 函数在一点处连续若函数在点的某邻域内有定义，若 ，则称函数在点连续。若函数在区间内的任一点处都连续，则称为区间上的连续函数.1.2 函数在区间上连续若对任给，任给，存在使得当且时，就有. 例1、设和.对于数值求出充分小的正数，使得可从不等式推出不等式可否对于已知的选出来，使它对于区间中的一切值都适用，换句话说，对于任意的值，若，则？ 解： （1）由于或，故有 （在此，我们已假设了，这一点是可以办到的）.于是要，只要 即只要 .取，则当时，恒有 .我们取近似值， 当 当时， 当时，由表达式（1）可知，对于不论怎样小的正数（固定），则当及时，可任意地大.因此，无法选出一个公共的正数来.1.3 函数在区间上一致连续若对任给，存在，使得当，且时，就有. 例2、圆柱形鞘筒之宽度为，长度为，将鞘筒套在曲线上且沿此曲线滑动，但筒之轴须保持平行于轴.为了使此筒顺利地经过此曲线上由不等式所限定的部分，问应等于什么？设为任意小数. 解: 。对于，由于 即 或 对于任给的，要，只要或即可.取，则当时，恒有 当时，； 当时， 当时， 当为任意小数时，1.4 函数在区间上绝对连续设为定义在闭区间上的实值函数，若对任给，存在，使得对任意，当，则称函数在区间上绝对连续. 例3、设是闭区间上的可积函数，则的不定积分 （其中c是任意常数）是闭区间 上的绝对连续函数. 证明： 由积分的绝对连续性,对任意的，存在，使得对中的任意可测集a，当时，,于是对闭区间上的任意有限个互不相交的开区间，当时，令，则,于是 因此f是上的绝对连续函数.二 相关概念的比较及例题分析2.1函数在区间上连续与在区间上一致连续的区别与联系： 函数的连续与一致连续的区别在于的选取是否与或有关.若函数在区间上连续，是用在区间上每点处都连续来定义的，因此，的选取与的选取无关.而一致连续性不然，的选取只与的大小有关，与，的选取无关，这表明函数在区间的一致连续性不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求函数在区间上的连续是“一致”的，这是对函数的“整体性”的要求的增强.函数的连续性是函数一致连续的必要条件.函数一致连续性的实质，就是当这个区间的任意两个彼此靠近的点上的值的差，就绝对值来说，可以任意小，即任意的，当时就有.一般地，函数的连续性以及一致连续性反映的是函数的自变量的变化与函数值变化之间的关系，与可微性无关.总的来说，函数在一点处的连续性是局部性质，而函数在区间上的连续性和一致连续性等表示整体性质.例如函数在区间就是如此. 但是函数在某些条件下是一致的，我们从定理中可以得到，如：函数在上连续当且仅当函数在上一致连续。、如果函数在上连续，如果在点的右极限、在点的左极限均存在，那么可将函数延拓为上的连续函数.、若函数在上一致连续，则在点的右极限、在点的左极限均存在. 以上三条定理说明，有界区间上的一致连续函数均可看作有界闭区间上的连续函数. 例4、证明：函数在区间上是连续的，但在此区间上并非一致连续的. 证明： 连续性是显然的，先证其不一致连续.考虑上的两串点 ，则当时，不论取得多小，只要取得充分大，总可以使 但是， 因而，在上并非一致连续. 例5、证明：若函数在域上有定义并且是连续的，而且存在，则在此域上是一致连续的.证明： 任给。由于存在，故必存在，使当时，恒有 。由于 在上连续，故一致连续，从而必有正数存在，使当，时恒有 。令现设为满足的任何两点。由于，故或同时属于，或同时满足，因此，恒有 ，故在上一致连续.证毕.2.2函数的一致连续性与绝对连续的区别与联系：一致连续与绝对连续的差别在于的选取，一致连续性对的要求是与有关，还要与数对的“个数”n有关，即；而绝对连续性不然，它只与有关，与数对的“个数”无关。绝对连续的函数一定是一致连续的，而反之不然。但要深入了解二者的内在特征，还需从其他方面做深入的剖析与对比. 例6、证明：设函数在上-可积，若对任意的，存在，使当可测子集且时，就有，则称函数在上的-积分具有绝对连续性。 证明：事实上，只要函数在上-可积，则其积分必具有绝对连续性.如果函数在上-可积，则对任意的，存在，使得对任意，当且时，就有 其中 例7、证明：函数在上一致连续当且仅当对任给，对任意的，存在，而当，满足时，就有 证明：只要取，即可知定理的充分性成立.下面证明必要性.设函数在上一致连续，当且仅当对任给，对任意的，存在，当满足时，就有成立.证毕.三 函数连续性的相关性质3.1在闭区间上连续函数的基本性质包括： 1、最大、最小值定理：若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值.2、有界性定理：若函数在闭区间上连续，则在上有界.3、介值性定理：设函数在闭区间上连续，且若介于与之间的任何实数或者，则至少存在一点，使得4、根的存在定理：若函数在闭区间上连续，且与异号（即），则至少存在一点，使得即方程在内至少有一个根.3.2在局部上连续函数具有的性质包括： 1、局部有界性：若函数在点连续，则在某内有界. 2、局部保号性：若函数在点连续，且（或），则对任何正数(或），存在某，使得对一切有 （或） 例8、证明：若，n为正整数，则存在唯一证书，使得（成为r的n次正根（即算数根），记作=）. 证明：先证存在性.由于当时有，故必存在正数,使得.因为在上连续，并有，故由介值性定理，至少存在一点，使得. 再证唯一性.设正数使得，则有 由于第二个括号内的数为正，所以只能即. 例9、设函数在区间上连续并有界，证明：对于任何数，可求得序列，使 证明：不妨设，及取一叙列且当时，.易见，是上连续且有界的函数，今按下法取使，如果异号，则由连续函数介值定理，存在，且使得，这时取若同号，且，都是同号的不妨设它们均大于0，那么我们可以证明，必存在一个自然数使得.因为，若对于一切自然数，则由的定义， . 则这与在内有界矛盾，故必存在自然数，使得，取然后，取自然数，通过考虑的符号；仿上，可取，使.依此类推，我们就可得到一叙列适合要求.四 函数连续性的应用4.1函数连续性在求函数极限中的应用例10、求解： 原式= = = =4.2函数连续性在求方程的根达到的指定精确度的近似值中的应用例11、求中根的近似值解： 先取的中点，因，所以中至少存在一个根，再取的中点，算得，则中至少存在一个根，不断这样作下去，可将一定存在一个根的范围缩小到很小的一个区间，以至这个小区间的长度小于所指定的精确度.这时，我们就可以取小区间的左端点（或者右端点）作为根的一个不足（或者过剩）近似值，它与根的精确值误差已不超过所制定的精确度.4.3函数连续性在求闭区间上连续函数最值点中的应用 例12、设在上连续，且存在.证明：在上有界，又问在上必有最大值或者最小值吗？证明：因为存在（设极限为b），可以推出：对，存在，当时有 （2）所以 而在闭区间上，因为连续，所以有界，即存在，使任意，有 所以任意，恒有 即在上有界.但它未必有最大值，也未必一定有最小值.如在上无最大值，但是无最大值者必有最小值，无最小值者必有最大值，因为若记是在上的最大值，t是最小值，改写（2）式为（这里为任意整数）当时，总存在使得，这时无非m变成更大的，但是仍存在，从而有最大值；当时，总存在使得，类似推得，这时有最小值当时，要保持上述两结果不出现，必须在变得任意大时，在闭区间上，恒有自然最大值、最小值都是4.4函数连续性在判断函数在区间上是否有界中的应用 例13、判断函数在区间上是否有界 解： 因为是初等函数，在定义域连续 所以，即有界. 例14、证明：若函数在区间内连续，且为此区间中的任意值，则在它们之间可找到一个数值，使得 证明：不妨设，此时设；当时结论显然成立.由于在上连续，于是，在上取得最大值和最小值： .从而有 .由连续性的性质，总存在，使 五 函数的连续性与间断点5.1函数的连续性11 增量：变量从初值变到终值，终值与初值的差叫变量的增量，记作，即。（增量可正可负）。12函数在点连续的定义定义：设函数在点的某个邻域内有定义，如果自变量的增量=趋向于零时，对应的函数增也趋向于零，则称函数在点处连续。定义：设函数在点的某个邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，即，则称函数在点处连续。 定义3：设函数在点的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式：，则称函数在点连续。注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数在点连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数在点的某个邻域内有定义（函数在点有定义），（2） 存在；（3）。 13函数在点处左连续、右连续的定义： （1）函数在点处左连续在内有定义，且（即）。 （2）函数在点处右连续在内有定义，且（即）。 显然，函数在点处连续函数在点处既左连续又右连续。 (3)、函数在点处连续是存在的充分条件，而非必要条件。1.4函数在区间上连续的定义定义4：如果函数在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数在该区间上是连续的。5.2函数的间断点如果函数在点处不连续，则称在点处间断，点叫做的间断点。函数在点处连续，必须同时满足三个条件： （1）在点及其附近有定义；（2）极限存在；（3）。如果上述三个条件中至少有一个条件不满足，则点叫是函数的间断点。如何寻找函数的间断点？一般来说，初等函数无意义的点是间断点；分段函数的分段点可能是间断点。例2 讨论函数在点处的连续性。解 因为函数在点没有定义，故此函数在处不连续。所以，是函数的间断点。=3，如果补充定义：令，则所给函数在处连续。所以称为该函数的可去间断点。例3 讨论函数在点处的连续性。图1-17解 因为函数在点无定义；当0时，函数值在-1与1之间振荡（图），所以点称为函数的振荡间断点。例4 判断函数在点处的连续性。解 显然函数在点及其附近有定义，又 =。图1-18所以，不存在。因函数的图形在处产生跳跃现象，我们称为函数跳跃间断点。例5 判断函数在点处的连续性。解 显然函数在点点及其附近有定义，又=，,因为。所以函数在点处间断。但如果修改函数在处的定义：令，则在处连续。所以称为该函数的可去间断点。上面列举了一些间断点的例子。通常我们把间断点分成两类：如果是函数的间断点，且左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点。上面例2、例4、例5中间断点是第一类间断点，其中例2和例5是可去间断点；例3是第二类间断点。5.3间断点的分类设为函数的一个间断点，3.1、第一类间断点，都存在， （1）若=，即存在，此类间断点称为可去间断点。函数在点无定义，函数在点有定义，但。（2）若，即不存在，此类间断点称为跳跃间断点。3.2 第二类间断点与中至少有一个不存在。其中有两类特殊的间断点：无穷间断点和振荡间断点。下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类： 在连续 在间断，极限为2 在间断，极限为2 在间断，左极限为2，右极限为1 在 间断在间断，极限不存在像这样在点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的称作第一类间断的可补间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；被称作第一类间断中的跳跃间断被称作第二类间断，其中也称作无穷间断，而称作震荡间断就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点例1确定a、b使在处连续解：在处连续因为；所以时，在处连续例2求下列函数的间断点