变式教学在高中不等式教学中的应用研究硕士学位论文.doc

分类号 u d c 编号 硕士学位论文 变式教学在高中不等式教学中的应用研究 华中师范大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。学位论文作者签名： 日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关学位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权省级优秀学士学位论文评选机构将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1、保密 ，在_年解密后适用本授权书。2、不保密 。（请在以上相应方框内打“”）学位论文作者签名： 日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日 学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日摘 要现行的变式教学是我国中学数学教学的一个重要特色，所谓变式，就是从多方面变更所提供材料或问题呈现的形式，使事物非本质特征时隐时现，而事物的本质特征却保持不变的变化方式。因此变式教学便是通过不同角度、不同侧面、不同情形、不同背景的变式手段使学生有效地加深认识和理解数学对象的本质特征的活动过程。变式教学对帮助学生理解知识含义、熟悉数学方法、明了知识之间的联系、总结数学规律、提高数学能力都具有积极的意义。本文首先介绍研究变式教学的实际意义，总结前人对变式和变式教学的研究。其次，在已有研究的基础上，阐述了变式和变式教学的涵义，比较系统地归纳了变式教学的理论依据：有意义学习的理论、马登的变异理论、最近发展区理论、脚手架理论。接着，在初中数学教学实践的基础上，结合教学案例进行分析说明，通过实验研究，从学生的体会和学业成绩两个方面对初中数学变式教学的实践效果进行分析和评价，并指出研究中运用数学变式教学的存在问题。最后，通过实例表明了：变式教学在培养学生抽象、具体、求逆、分解、组合、类比等数学思维具有一定的作用，从而为进一步研究变式教学提出展望。不等式是高中数学的重要内容，是数学基础理论的一个重要组成部分。在高中数学中不等式的性质是基础，其性质和解法在其他知识的领域中应用较为广泛，如函数的定义域、单调性、最值、复数等等。高中数学中许多重要的数学思想方法如分类讨论、整体换元、数形结合、转化化归思想，都可以借助于不等式教学来实现。因此，从不等式入手研究数学变式教学有着重要的现实意义。 随着新课程改革的逐步深入，如何在课堂中利用变式教学来提高数学教学的效率已经成为大家关注的焦点。本文在相关文献综述的基础上结合教学实际和自己的经验，在不等式教学的基础上进行研究，通过课堂实验和问卷的调查得出相关结论。关键词：变式； 变式教学；不等式；概念变式； abstractcurrent variable type teaching is an important characteristic of middle school mathematics teaching in our country, the so-called variable type, is the problem from various change materials provided or presented in the form of the things the essential characteristics, whereas the essential characteristics of things stay the same way of change. therefore variable type teaching is through different angles, different sides and different situations, different background variable type means to make the students effectively deepen understanding and the understanding of the essential characteristics of mathematical object activity process. variable type teaching to help students understand the meaning of knowledge, familiar with mathematical method, clear link between knowledge, summarizes the mathematical laws, improve math ability has positive significance. this paper first introduces the practical significance of the research type teaching, summarizing predecessors to change type and research type teaching. secondly, on the basis of existing research, the article expounds the meaning of change type and type teaching, systematically summarizes the variant teaching: the theoretical basis of the meaningful learning theory, madden variation theory, the theory of the zone of proximal development, scaffolding theory. then, in the junior middle school mathematics teaching practice, on the basis of combining the teaching case analysis shows that, through the experimental research, from two aspects of students experience and academic performance of junior middle school mathematics is the practice of the teaching effect analysis and evaluation, and points out that the study of mathematical variant teaching problems. finally, an example shows that: the variant teaching in training students abstract, concrete, inverse, decomposition, combination, analogy and other mathematical thinking has a certain function, thus to put forward the outlook for the further research type teaching.inequality is an important content of high school mathematics, is an important part of the basic theories of mathematics. inequality in the high school mathematics is the foundation, and the properties of its property settlement method which has been widely applied in other areas of knowledge, such as function, monotonicity, the values, the plural of domain and so on. high school mathematics discussed in many important mathematical thinking methods such as classification, overall in yuan, several form combining, the transformation of thinking, can be implemented by using inequality teaching.therefore, never study math equation of variable type teaching has important practical significance.with the new curriculum reform gradually thorough, how to use variant in classroom teaching to improve the efficiency of the mathematics teaching has become the focus of attention. in this paper, on the basis of the relevant literature review combined with teaching practice and their own experience, on the basis of the inequality of teaching research, through the classroom experiment and questionnaire survey of related conclusions.keywords: variable type teaching inequality concept of variant;目录 摘要 abstract 第一章 引言1.1 研究背景1.2 研究的内容和方法1.2.1 研究的内容1.2.2 研究的方法1.3 研究的意义第2章 数学变式教学的内涵与理论依据2.1 变式的含义2.2 变式教学2.3 变式教学的理论基础2.31 哲学理论视角 2.3.2 有意义学习理论2.3.3 马登理论2.3.4 最近发展区与理论2.3.4 新课标理论下的数学变式教学 第三章 高中数学变式教学的的教学原则与概念变式3.1 高中数学变式教学的原则3.1.1 目标导向原则3.1.2 启迪思维原则3.1.3 暴露过程原则3.1.4 探索创新原则3.1.5 反思性原则3.2 高中概念变式教学的实施方式3.2.1 概念引入变式3.2.2 概念辨析变式3.2.3 概念深化变式第四章 高中数学变式教学的实证研究4.1 数学概念变式4.2 数学过程变式4.3 数学应用变式第五章 高中数学变式教学研究结论与展望5.1 研究结论5.1.1 实施变式教学对高中生数学学习兴趣方面的影响5.1.2 有利于数学知识的掌握5.1.3 有利于学生能力培养和思维水平的提升5.2 目前变式教学所存在的问题 5.2.1 变式教学与“题海战术”5.2.2 变式教学能否提高教学效率5.2.3 变式教学能否为教学目的服务5.3 变式教学的反思与展望5.3.1 目前对变式教学的认识还有些模糊地方5.3.2 建立和谐互动的师生关系53.3 变式教学的展望引言1.研究背景上世纪80 年代以来，中国的数学教育开始受到国际教育界的重视。当时有许多中国中小学生参加的有关数学成绩的国际比较研究，一直重复着一个矛盾的结果。那就是“错误”的教学方法和优秀的数学成绩之间的悖论。一方面，许多研究表明，中国学生不仅在数学成绩国际比较中，而且在各种奥赛表现都要比西方学生好。另一方面，许多西方研究者发现中国现有的教学模式不太可能产生好的学习成绩。中国教师经常用“被动灌输”和“机械训练”的教学方式引导学生被动的学习，相当于一个受人尊敬的老者把知识传授给一个驯服的年轻人。因此，这表明中国的数学教学是相当传统和保守的。这两种矛盾的现象就构成了所谓的“中国学习者悖论”，而对这个悖论的研究与解释，已成为国际比较教育及心理学研究的一个热点。针对这种“矛盾”情况，西方学者给出了诸多解释。其中变式教学就是学者发现的一种教学方法。变式教学正是在这种情况下得以受到重视，并逐渐被学者重视的。实际上，我们国家历来重视变式教学，变式教学在中国由来已久，并被广大教师自觉或不自觉地应用着。顾冷沅教授指出： 所谓“变式”教学，就是在提供给学生教学素材的同时，能通过不断地变换条件、结论、方法、形式，将问题进行推广，让学生在变化、联系中寻求规律的一种教学方法。正因为有了这种具有中国传统特色的教学方法，才使得我国学生在具有良好的基础知识和熟练的基本技能方面大大超过了西方国家学生。简单来说，变式教学在实际中的应用，主要体现在以下三个方面：(1)多角度理解知识；(2)有层次推进教学；(3)寻找不同的问题解决途径。很多学者在这方面也有很深的研究，具体我们会在第 2 章进行具体的阐述。由上可知，对于变式教学，许多学者已经在的理论、形式等方面进行了较深入的研究。变式教学是逐步得到了完善的一种教学方法。2.研究的内容和方法2.1 研究的内容 （1）在已有的研究基础上，从学习论、教学论方面给出了数学变式教学的理论指导，总结了数学变式教学原则。（2）结合高中数学教学实践，对数学变式教学的几种课堂实施形式以及以及变式教学在数学课堂中的作用结合案例进行了探讨。（3）分析当前我国高中变式教学的现状,根据新课程标准以及高中生的认知特点,将数学知识重新分类,并分别做了课堂实践研究,然后给出结果分析; (4)给出对目前高中变式教学的几点建议,预测未来变式教学的可能发展趋势。2.2研究的方法(1)调查法：通过观察、问卷、测试等手段对学生关于变式教学的理解和意见。 (2)文献法：通过查阅各种理论著作和研究资料，进一步明确数学变式教学的内涵以及高中学生变式教学的实施方法。（3）案例研究法：本文所研究的案例，有笔者在教学实践过程中所设计实施的教学案例、教学片段、教学设计、课堂教学实录等，也借鉴了已有的具有代表性的教学案例。通过对这些案例的分析，探讨变式教学设计方法。（4）行动研究法：在日常教育教学实践中发现问题、思考问题并研究问题。教师结合在开展课堂变式教学实践的过程中所遇到的问题，并对自己的实践做出反思，边反思边实践，尝试建立促进高中生数学思维品质发展的变式教学模式。(5)经验总结法：坚持理论与实践相结合，不断总结研究成果，进行阶段性小结、调整、完善研究方案。本课题的研究目的及意义众所周知,在我国的传统数学教学过程中,十分注重变式教学。正是因为运用了变式教学。我国学生在具有良好的基础知识和熟练的基本技能方面大大超过了西方国家学生,但是我国学生在动手能力和解决比较复杂!开放的数学问题上却逊于西方学生也是不争的事实另一方面中国的数学教育理论工作者和数学教师对数学变式教学的理论研究很少,大都停留在感性认识上,甚至在理论认识上还存在一些模糊和错误-同时很少有教师从案例和实验中去深层次地剖析变式教学因此对变式教学进行探讨和研究有重要的理论和实践意义首先我们能够建立扎根于中国数学教学实践,具有中国特色的数学变式教学理论,其次可以指导高中数学教学实践,提高课堂教学效率,从而促进学生发展。本人希望对以下几个问题进行实践和研究:1.希望能为广大一线教师提供一些可参考的变式教学案例和不同变式教学的教学策略 2.针对高中数学课程的特点和目标,基于数学知识的分类,对变式教学进行了重新分类,分为概念和原理的变式教学、数学技能的变式教学、数学思想方法变式教学三种类型,通过实践来研究这种分类的可行性,并总结出变式教学策略。 3.对各类变式教学进行从知识的掌握,思维的培养,能力的提升等几个方面验证。第一章 数学变式教学的内涵与理论依据1.1 变式古今中外,对于变式的定义的研究有好多,不同的学者从不同的角度提出了很多不同的观点,其中,比较有代表性的有以下几个:(1)所谓变式,即是指对数学概念、定义、定理、公式以及问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化,使其面目不一,而本质特征保持不变。(2)变式是指形成概念时提供的肯定样例在非本质特征方面有变化的形式。(3)所谓变式,是通过变更对象的非本质特征的表现形式，变更人们观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素，让学生在变式中思维，从而掌握事物的本质和规律。(4)变式就是变更展示感性材料的形式,即从事物的不同角度,对其不同情况加以说明,使事物的本质属性展示出来。(5)变式是指相对于某种范式(即属性教材中具体的数学思维成果,含基本知识、典型问题等)的变化形式,就是在不断变更问题的情境或改变思维的角度,在保持事物的本质特征不变的情况下,使事物的非本质属性不断迁移的变化方式。变式既是一种重要的思想方法,又是一种重要的教学途径。我认为所谓变式就是教师有针对性的对命题进行合理的转化,即教师应该抓住对象中的本质因素变更非本质特征,如变更命题中的条件或结论,转换命题的内容和形式,配合创设各种不同的教学情境,从而使学生掌握数学对象的本质属性。变式是重要的，但在教学中也不可过多地运用。变式的成效并不取决于运用的数量，而在于是否具有广泛的典型性，能否使学生在领会科学概念时，摆脱感性经验和片面性的消极影响。同时，材料的变式也不必都在讲授过程中进行，有些也可在练习或巩固作业中让学生来做。此外，教师在运用变式时，要对学生提出明确的要求，引导学生观察、思考，才能使变式达到预期的教学效果。 1.2 变式教学变式教学法，它的核心是利用构造一系列变式的方法，来展示知识发生、发展过程，数学问题的结构和演变过程，解决问题的思维过程，以及创设暴露思维障碍情境，从而，形成一种思维训练的有效模式。它的主要作用在于凝聚学生的注意力，培养学生在相同条件下迁移、发散知识的能力。它能做到结构清晰、层次分明，使优、中、差的学生各有所得，尝试到成功的乐趣，并激发学生的学习热情，达到举一反三、触类旁通的效果，使他们的应变能力得以提高，进而提高教学质量。变式教学在培养学生抽象、具体、求逆、分解、组合、类比等数学思维具有一定的作用，从而为进一步研究变式教学提出展望。在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段。所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。13变式教学的理论基础1.3.1 哲学认识视角辩证唯物主义认为：认识是主体对客体的能动反应，即主体以一定的思维方法或方式整理感性材料，对来自客体的信息进行“重组”和“构建”，形成理性材料，从而表达客体的过程。对一个概念定理要达到真可的理解和认识，意味着对各个侧面进行充分的认识，也就是要不断变更所提供材料或问题呈现方式，使事物的非本质特性时隐时现，而事物的本质特性却不变。1.3.2有意义的学习理论一般来说不同的学习理论对学习的本质有不同的解释，由于中国的传统数学教学偏重于学科知识的传授，以构造完善的数学知识结构为基本的取向，因此我们选择奥苏贝尔的有意义言语学习理论为我们理解学习的出发点。奥苏贝尔认为，有意义的学习有两个先决条件：(1)学生表现出一种意义学习的心向，即表现出一种在新学内容和已有知识之间建立联系的倾向。(2)学习的内容对学生具有潜在的意义，即能够和学生的已有认知结构建立非人为的实质的联系。这种合理的实质的联系指的是新知识能和学生已有的认知结构中某些知识联系起来。奥苏贝尔称个体认知结构在内容和组织上的特征为认知结构变量。一般来说有三个。第一，在认知结构中是否具有适当的产生固定作用的观念；第二，起固定作用的观念与新知识之间的意义是可辨的；第二，起固定作用观念的稳定性和清晰性。要使意义学习真正的发生，关键在于新知和已有的认知结构建立实质的联系，那么教师在实际的教学中究竟利用什么措施来帮助学生建立这种非人为的实质的联系呢?教师又是如何判定这种实质联系的真正建立呢?应该说中国的变式教学在这方面作出了很好的回答。通过设置一系列的变式，变换知识的本质特征或非本质特征，让新知识和学生认知结构中众多已有知识之间建立纵横联系，在变换的过程中突出了知识的本质属性，从而实现了对新知识的多角度、全方位的理解，进而促进了新知识和已有的知识之间建立了非人为的实质性的联系。通过设置一系列的变式，暴露了知识的发生发展过程，解题思路的究探过程，弄清了知识之间的来龙去脉，从而有利于各种知识之间建立有意义的实质联系，帮助学生形成综合贯通的，不断精细分化的数学认知结构。通过设置变式也可以判定学生是否真正的理解了新的知识，或者说新知识是否真正的和已有的知识之间建立了非人为的实质的联系。我们可以围绕某一知识点设计一系列的变式，这些变式既有本质特征的变化又有非本质特征的变化，似是而非，如果新知识是不清晰可辨的，不稳定的，那么在解决变式时必然受到挑战。施良方学习论m北京：人民教育出版社，19941.3.3马登理论现象图式学认为“学习是一种个体与世界的内在联系。马登进一步指出,学习意味着发现一种看待事物(对象)的方式,而这种方式的建立是基于学习对象关键特点的分辨及对这些特点的同时聚焦正是由于变式,我们能够体验与分辨学习对象的关键方面当不同的变异出现在同一时段时,它们使学习者认识到学习对象的不同方面通过比较变异与不变的方面,一种模式出现了,因此某种学习便产生了。通过变式教学,教师与学生通过互动建立聚焦于学习对象关键方面的各个变异范畴,进而构建一个变异空间让学生体验这对学生的学习是至关重要的也就是说,提供适当的概念性变式对学习相应对象来说是必要的同时,通过过程性变式也可以构建活动经验系统的变异空间。徐汝成“马登理论及其对数学教学的启示”数学教育学报，2002，2（1）：48501.3.4最近发展区域理论角度从最近发展区域的理论和“脚手架”的理论角度对变式教学进行理论上的反思指出变式实质上是设置在学生的最近发展区域的“脚手架。帮助学生实现了从已有水平向潜在水平的跨越,从而论证了变式教学的合理性。维果斯基将学生在成人指导下,借助成人的帮助,所能达到解决问题的水平与在独立活动中所达到的解决问题的水平之间的差异称之为“最近发展区。他认为教学决定着学生的智力发展如果教师在教学过程中只是利用学生现有的知识水平,那么,教学过程就不可能成为学生发展的源泉,学生的发展就会受到限制和阻碍,影响其积极性和创造性教学应当走在学生发展的前面,不停地把学生的智力从一个水平引导到另一个新的更高的水平。张乃达“反思比发现更重要”中学数学，2003（5）11.3.5新课标理论下的数学变式教学当前我国数学教育的重大改革体现了以人为本,以学生发展为本的基本理念.同时提倡数学教育要紧密联系学生的生活实践,要从学生现有的认知结构出发进行教学;强调主体活动,让学生通过活动来主动建构对数学意义的理解,通过解决数学问题提高应用数学知识的能力;数学教学要满足学生个人兴趣爱好,要根据学生的个性特点进行教学.通过数学变式教学让学生“数学的思维”,把问题作为教学的出发点,让学生主动参与,在“做数学”和“用数学”的过程中掌握数学。通过概念性变式教学引导学生从多角度发现概念本质属性,通过过程性变式教学,引导学生积极参与形成概念的全过程,同时通过构建活动经验系统,让学生在做数学的过程中不断探索,思维不断发散,进而达到解决问题的目的。第二章 高中数学变式教学的的教学原则与概念变式2.1 高中变式教学的原则课堂教学原则确定，对于正确运用变式教学模式教学，掌握模式的精髓具有重要意义。运用变式教学模式进行教学，除应遵循一般的教学原则外，还必须贯彻以下几条重要原则：2.1.1目标导向原则数学教学是师生围绕既定目标而进行的双向活动。因此，教师首先要根据教学内容和学生实际制定出具体明确、切实可行的教学目标，然后，在课堂教学过程中，采用变式教学模式，学生在教师启发、引导下完成既定的教学目标。做到教师为目标而教，学生为目标而学，教学目标是教学活动的出发点和归宿。2.1.2启迪思维原则数学教学是思维活动的教学。学生思维的积极性和主动性依赖于教学的循循善诱、精心启发。运用变式教学模式教学，教师必须精心设计问题情境，把“问题作为教学的出发点”，“问题处于学生思维水平的最近发展区”，引导学生逐步发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。通过创设思维情境，设置思维障碍，添设思维阶梯等手段激发学生的好奇心，唤起学生的求知欲。2.1.3暴露过程原则数学教学是数学思维活动过程的教学。让学生看到思维过程，主动参与知识的发现，是提高学生学习积极性和发展其数学能力的有效措施。运用变式教学模式教学，应特别强调暴露数学思维过程。讲解概念要求构建情境，提供素材，揭示概念的形成过程；讲解定理（公式）要求模拟定理（公式）的发现过程；例题、习题的教学要求探索变式，拓广成果，对解题思路进行内化、深化探索，总结升华。也就是说，应注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，使学生在这些“过程”中展开思维，从而发展他们的能力。2.1.4探索创新原则要使学生自主能动地学习,养成积极探索!勤于思考!勇于创新的良好学习习惯,就必须为学生创设自主学习!探索创新的激励氛围教学民主是学生探索创新!发展创造性思维的土壤,只有构建良好的课堂人际关系,形成民主和谐的教学氛围,实施全员参与的合作学习策略,才能激发学生的学习兴趣,培养他们积极的学习动机,提高他们的求知欲望,增强他们的探索精神和创新意识,使他们的创造性思维最大限度地活跃起来因此,运用变式教学模式教学,必须遵循探索创新原则在教学过程中,教师要善于运用创造性教学策略,包括设疑!启发!鼓励!指导!评价!总结的策略,教学生学会学习,使学生乐学!善学。2.1.5反思性原则所谓反思性原则是指在变式教学中，通过对一系列变式练习之后，应引导学生对这些变式进行反思，弄清这些变式之间的实质联系。华罗庚教授在谈到读书方法时说：“在学习书本的每一个问题，每一个章节的时候，应该不只看到表面上，还要看到书背后的东西，这就是说，对课本某些原理、定律、公式，我们在学习的时候，不仅应该记住它的结论，懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎么样想出来的，经过多少曲折，攻破多少关键，才得出这个结论的，”这实际上告诉我们，在学习中一定要注重反思。变式教学涉及到一系列的变式，如果不对这些变式进行反思，就有可能意识不到这组变式之间的关系，搞不清题目的实质内容。 张乃达“反思比发现更重要”中学数学，2003（5）12.2 高中概念变式教学的实施方式从培养学生思维能力、创新意识的要求来看，数学概念的形成过程，其内涵、外延的揭示过程，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，这就要求教师创设问题情境，让学生自己去“发现”，去“创造”，通过多样化的变式，培养学生观察、分析以及概括的能力。数学概念变式主要包括概念的引入变式、辨析变式、深化变式和巩固变式。2.2.1概念引入变式所谓概念引入变式，就是在教授一个新的概念时，将概念还原到客观实际（包括变式题组）之中，撷取部分含有此新概念的萌芽或雏形的实际现象（如实例、模型或已有经验、题组等）进行引入，通过变式移植概念的本质属性，使实际现象数学化，达到展示知识形成过程，促进学生概念形成的目的。2.2.2 概念辨析变式所谓概念辨析变式，就是在引进概念后，针对概念的内涵与外延设计辨析型问题，通过对这些问题的讨论，达到明确概念本质、深化概念理解的目的。2.2.3 概念深化变式所谓概念深化变式，就是探求概念的等价形式或变式含义，并探讨等价形式及变式含义的应用，达到透彻理解概念、灵活应用概念的目的。2.2.4 概念巩固变式概念引入、辨析的同时，要明确概念的应用，并通过练习巩固概念。所谓概念巩固变式，就是设计直接应用概念的练习变式题组，并通过题组的讨论解决，达到熟悉概念、巩固概念、应用概念、提高解决问题能力的目的。第三章 变式教学的实证研究3.1实验目标与假设3.1.1实验目标本实验的目的主要是验证变式教学在不等式章节教学的有效性，并在实验中逐步改善中学不等式教学策略，从而增强高中学生学习兴趣的信心，促进学生能力的培养，提高课堂质量，增进学业发展。3.1.2实验假设实施变式教学能有效激发学生学习数学的兴趣，促进学生能力的培养，能够提高学生的数学学习兴趣。3.2实验研究3.2.1试验实验在高二年级两个班级进行。受试对象：实验班60人，对照班 58人，实验班的教学是运用变式教学实施策略来施教，对照班采用传统的讲授法施教。这两个班的选择条件基本满足： 两班学生的数学入学成绩基本一致。 两班任课教师的水平及班主任的管理水平基本相当。 两班使用课本相同(人教社统编教材)，进行课堂教学授课时数与课外辅导时问大致相同。3.2.2自变量：实验班与对照班在授课时数、课业内容完全相同的前提下，实验班根据教学内容运用变式教学实施概念教学，重视知识发生，发展过程，探究概念本质属性，对照班按常规教学进行。变式教学是自变量。3.2.3教学模式采用变式教学的基本模式中的一种-概念课的教学模式。教学过程中运用了数学概念变式教学，主要包括：概念的引入变式、概念辨析变式、概念深化变式和概念巩固变式。3.2.4因变量：实验结束后两班学生测验的成绩及数学学习兴趣及能力3.2.5两个班学生的数学成绩基本一致, 两班任课教师的水平及班主任的管理水平基本相当的前提下保持正常教学，按时间、时数上课，没有正常教学时间以外的加班、加点工作；教材、教学内容、作业、测试反馈方式都一致。为避免“实验效应”的影响，对整个实验过程进行保密，尽量消除无关因素的影响。3.3实验设计实验前两个班都接受前测：上一次考试成绩作为前测成绩，并且进行学生对数学变式教学认识的问卷调查，了解学生对数学变式教学的重视程度。实验班接受实验处理（采用变式教学），而对照班采取传统教学，实验处理后，两个班都接受后测，把高二上学期的期考成绩作为后测成绩，作出能力检测,并进行数学学习兴趣的问卷调查。（三）实验过程3.3.1收集实验材料。对学生发放学生对数学变式教学的认识问卷调查，了解学生对数学变式教学的重视程度（2013 年 2 月-8 月）3.3.2进行变式教学实验（2013 年 9 月-2014 年 1 月初）3.3.3对学生发放数学学习兴趣问卷调查表（见附录五）（2014年 1 底）3.3.4整理调查问卷数据，实验结果与分析（2014 年 2 月）3.4数据处理运用 microsoft 和 spss140 统计软件进行数据分析3.5实验操作过程在实验过程中，不等式教学主要运用以下变式(以一元二次不等式为例)：3.5.1现象变式法只改变题目的表面形式，而题目的内涵与外延都不改变的一种变式方法。这种方法使学生不受表面现象的影响，正确的识别问题的实质，从而培养学生思维的灵活性.例1.已知不等式，求的解集。变式1 求不等式的解集。变式2 求不等式的解集。变式3 已知不等式，求的取值范围。点评：本质均为去掉对数符号再计算，是关于对数不等式的变式教学。3.5.2条件变式法条件变式法在不改变结论的情况下，把题目的条件进行变更，或是增强或是减弱的一种变式方法。例2.已知两函数，对任意的，都有成立，求的取值范围。变式1.若存在，使成立，求的取值范围。变式2.若对任意的，都有成立，求的取值范围。变式3。若对任意的，总存在，使成立，求的取值范围。点评：原命题是在给定区间的两个函数大小进行比较，变式分别改变、调整或限制自变量的区间，将问题呈现多样化。3.5.3等价变式法等价变式法是指将要求解的题目通过代数恒等变换，以新的题目出现。在题目恒等变换过程中，学生可以观察到原题与变题之间的联系，使学生知道如何运用等价变换进行化归求解，培养学生思维的灵活性、能力的贯通性。例3.已知不等式恒成立，试求的取值范围。变式1 已知函数的定义域为，求的取值范围。变式2 已知函数的定义域为，求的取值范围。变式3 已知不等式的定义域为，求的取值范围。点评：原命题是求不等式恒成立问题，变式主要改变已知条件的关系式，其实是恒等变换的结构关系，与原命题求解是等价的。3.5.4结论变式法结论变式法指有些题目在相似条件不改变情况下，变更结论或者把结论延伸的一种变式方法。这种方法让学生看到相似条件下可求多种结果。例4.已知不等式的解集为，求的值。变式1.已知不等式的解集为，求的取值范围。变式2.已知且，求的取值范围。变式3.已知不等式的解集为，求实数的取值范围。点评：原命题是典型的不等式解的特点展现，变式将不同的结论进行变化，迫使对问题中的字母范围重新确立。3.6高中不等式变式教学案例3.6.1测试前为了更好的了解两个班学生对高中不等式的掌握程度，为不等式变式教学打下基础，在进行不等式教学前先进性简单测试。测试共五道题，每题20分，满分100分。（测试题见附录二）1 测试前数据统计班别学生人数平均分 标准差实验班 对照班 2.测试分析我们需要对这两个平均值进行差异分析，可采取假设检验的方法来解决这个问题。由于此次试验样本容量大于50，方差已知的情况，适合采用z检验的方法原假设 备择假设 选择并计算统计量 ,假设,则代入数据得，因此,，即在0.05显著性水平下接受拒绝,因此认为两个班学生对不等式掌握没有显著性差异。3.6.2变式教学在高中不等式教学中的应用概念引入变式 (由不等关系引入不等式，现实世界和日常生活中，存在大量的不等关系，我们从实际事物模型中获得感性认识，引导学生把关键特征，本质抽象出来，加以分析，综合，比较概括出不等式定义，这样学生易于理解，同时培养学生透过现象看本质，由浅入深。)3.6.2.1设置情境我们通过以下三个问题引入不等式的概念：问题1 设点与平面的距离为,为平面上的任意一点，则.问题2 某种杂志以每本2.5元的价格出售，可以售出万本。据市场调查，若单价每提高0.1元。销量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为元，怎么用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？分析：若杂志的定价为元，则销售的总收入为万元。那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为问题3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm钢管根，截得600mm的钢管根。根据题意，应有如下的不等关系：我们通过这三个问题来引入不等式的概念，在我们数学学习的过程中，对于初次接触的概念，我们常常采用概念形成的学习方式，通过这三个问题以及我们生活中的具体事例，使学生对于不等式的概念形成感性认识。在我们课堂教学中设置情境可以激发学生的求知欲，达到增强记忆，发展学生智力，提高教学能力的效果。3.6.2.2课堂变式教学1.不等式基本性质变式 1.已知，求证：.变式1：（1）如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）a. b. c. d. 解：选a设计意图：不等式基本性质的熟练应用。变式2：设，且，则下列结论中正确的是（ ）a. b. c. d. 解：选a设计意图：不等式基本性质的熟练应用2.一元二次不等式变式 2.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. （人教a版89页习题3.2a组第3题）变式1：解关于x的不等式解：下面对参数m进行分类讨论：当m=时，原不等式为 (x+1)0，不等式的解为当时，原不等式可化为，不等式的解为或当时，原不等式可化为， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式无解综上述，原不等式的解集情况为：当时，解为；当时，无解；当时，解为；当m=时，解为；当时，解为或设计意图：含参数的不等式的解法.变式2：设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围？解：（1）有两种情况：其一是，此时；其二是，此时或，分三种情况计算a的取值范围。设，有当时 ，；当，或2；当时；当时，。当时，或。设方程的两根，且，那么， ，即，解得，时，的取值范围是设计意图：一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的综合应用.3.二元一次不等式有关变式3. 求的最大值，使满足约束条件变式1：设动点坐标满足，则的最小值为( )a b c d解：数形结合可知当时，的最小值为10 选d设计意图：用线性规划的知识解决简单的非线性规划问题.4.画出不等式组表示的平面区域.变式1：点 在直线的上方，则的取值范围是_解：在直线的上方，则，解得, 答案:设计意图：熟悉判断不等式所代表的区域的方法.变式2：求不等式,表示的平面区域的面积.解：可化为或或或其平面区域如图面积s=44=84.基本不等式有关变式不等式是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种常见的变式及应用。变式1 ； 变式2 变式3 ； 变式4 ;变式5 若，则； 变式6 则；变式7 若； 变式8 若，则（上述等式等号成立的充要条件均为：）对于不等式，我们俗称均值不等式，在我们教学实践中，可采用变式教学。对于它的证明，我们可采用以下方法：证法变式1：因为，所以所以（当且仅当时等号成立）证法变式2:如图所示，已知正方形的边长为，,且，则：，所以，即，上述不等式当且仅当重合时，即时去等号）。变式题组一：1. ，求函数的最小值；2，求函数的最小值；变式题组二：1.，已知，求的最小值以及相应的的值。2.，,求的最小值以及相应的的值。3.，且，求函数的最小值以及相应的值