历年高考理科数学真题演练分类解析：立体几何的向量方法.doc

【考点14】 立体几何的向量方法1（2009上海卷理19）（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，求二面角的大小2 (2009天津卷理19)如图,在五面体 中，为的中点，() 求异面直线与所成的角的大小;() 证明平面平面;zyxe1g1() 求二面角的余弦值3 (2009广东卷理18)如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值4 (2009福建卷理17）如图，四边形abcd是边长为1的正方形，且md=nb=1，e为bc的中点(1)求异面直线ne与am所成角的余弦值(2)在线段an上是否存在点s，使得es平面amn？若存在，求线段as的长；若不存在，请说明理由 5（2009安徽卷理18）（本小题满分13分）如图，四棱锥f-abcd的底面abcd是菱形，其对角线ac=2，bd=，ae、cf都与平面abcd垂直，ae=1，cf=2（i）求二面角b-af-d的大小；（ii）求四棱锥e-abcd与四棱锥f-abcd公共部分的体积6（2008江苏，22）如图（1），设动点在棱长为1的正方体的地角线 上，记，当为钝角时，求的取值范围7（2008辽宁，19）如图（2），在棱长为1的正方体，（01），截面，截面（1）证明：平面和平面互相垂直；（2）证明：截面和截面面积之和是定值，并求出这个值；（3）若与平面所成的角,求勤与平面所成角的正弦值 8（2008上海，16，12分）如图（3），在棱长为2的正方体中，是的中点求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）9（2008湖南，17，12分）如图（4）所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，是的中点，底面，（1）证明：平面 平面；（2）求平面和平面所成二面角（锐角）的大小10（2008山东高考题）如图（5），已知四棱锥石 ，底面为菱形，平面，、分别是、的中点 （1）证明：；（2）求二面角的余弦值11（2007山东高考题）如图（6），在直四棱柱中，已知=，（1）设是的中点，求证：平面；（2）求二面角的余弦值高考真题答案与解析数 学（理）【考点14】 立体几何的向量方法1【解析】如图，建立空间直角坐标系则a（2，0，0），c（0，2，0），a1（2，0，2），b1（0，0，2），c1（0，2，2），设ac的中点为m，是平面a1c1c的一个法向量设平面a1b1c的一个法向量是，令z=1，解得x=0，y=1，设法向量与的夹角为，二面角b1a1cc1的大小为，显然为锐角2 【解法1】() 由题设知，所以（或其补角）为异面直线与所成的角设为的中点，连结因为 且，所以且同理且又，所以而，故，由，得设，则， ，为等边三角形，所以所以, 异面直线与所成的角的大小为() 因为，且为的中点，所以 连结，因为，且为的中点，所以，又，所以，而，所以平面平面() 设为的中点,连结因为,且为的中点,所以因为,且为的中点,则故为二面角的平面角由()可得，于是在中，所以，二面角的余弦值为【解法2】 如图,建立空间直角坐标系,点为坐标原点设，依题意得，() ,于是所以, 异面直线与所成的角的大小为() 由可得因此，又，故而，所以平面平面() 设平面的法向量为,则于是 令,则又由题设，平面的一个法向量为，所以，因为二面角为锐角，所以，它的余弦值为【点评】本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力3 【解析】（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，（2）以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，则，即，又，平面（3），则，设异面直线所成角为，则4 【解析】（1）在如图，以d为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得 ，所以异面直线与 所成角的余弦值为a（2）假设在线段上存在点，使得平面,可设又由平面，得即故，此时经检验，当时，平面故线段上存在点，使得平面，此时5【解】（i）(综合法)连接ac、bd交于菱形的中心o，过o作ogaf，g为垂足连接bg、dg由bdac,bdcf,得：bd平面acf，故bdaf于是af平面bgd,所以bgaf,dgaf,bgd为二面角b-af-d的平面角由fcac,fc=ac=2,得fac=,og=由obog,ob=od=,得bgd=2bgo=(向量法)以a为坐标原点，、方向分别为轴、轴、轴 的正方向建立空间直角坐标系(如图)于是设平面abf的法向量，则由得令得，同理，可求得平面adf的法向量由知，平面abf与平面adf垂直，二面角b-af-d的大小等于（ii）连eb、ec、ed，设直线af与直线ce相交于点h，则四棱锥e-abcd与四棱锥f-abcd的公共部分为四棱锥h-abcd 过h作hp平面abcd，p为垂足因为ea平面abcd，fc平面abcd，所以平面acfe平面abcd，从而由得又因为故四棱锥h-abcd的体积【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力6【解析】由题设可知，以、为单 位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则有，b（1，1，0）c（0， 1，0），d1（0，0，1）。由得 =，所以+= +（1，0，-1）=（）， = 。显然不是平角，所以 为钝角等价于， =0，这等价于0，即 =，得。因此，的取值范围为。7【解析】以d为原点，射线da、dc、dd分别 为、轴的正半轴建立如图的空间直角坐 标系。由已知得，故（1， 0，0），a（1，0，1），d（0，0，0），d（0， 0，1），p（1，0，b），q（1，1，b），e（1-b， 1，0），f（1-b，0，0），g（b，1，1），h（b，0，1） （1）证明：在所建立的坐标系中，可得= （0，1，0）， ，,。 因为， 所以平面pqef和平面pqgh互相垂直。 （2）证明：因为（0，-1，0），所以 ，。又，所 以pqef为矩形。同理pqgh为矩形。在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面pqef和界面pqgh面积和为，是定值。 （3）由已知得角， 8【解析】过e作efbc，交bc于f，连结df。ef平面abcd，edf是直线de与平面abcd所成的角。由题意，得cf=故直线de与平面abcd所成角的大小是9【解析】如图的示，以a为原点，建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是a（0，0，0），b（1，0，0），c（），d（），p（0，0，2），e（）. （1）因为，平面pab的一个法向量是共线，从而be平面pab，又因为be平面pbe，故平面pbe平面pab。 （2）易知 故平面pad和平面pbe所成二面角（锐角）的大小是10. 【解析】由题知ae、ad、ap两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又e、f分别为bc、pc的中点，所以a（0，0，0），d（0，2，0），p（0，0，2）， （1）， （2）由（1）知设平面aef的一法向量为， 因为二面角eafc为锐角，所以所求二面 角的余弦值为11.【解析】（1）以d为原点，da、dc、dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图6-1所示的空间直角坐标系，设da=a，由题意知：d（0，0，0），a（a，0，0），b（a，a，0），c（0，2a，0），c1（0，2a，2a），a1（a，0，2a），d1（0，0，2a），e（0，a，0），又（0，a，-2a）=（a，a，0）-（a，0，2a），平面a1bd，平面a1bd，/平面a1bd。（2）解法一：取db的中点f，dc1的中点m，连接a1f、fm，由（1）及题意得知：为所求二面角的平面角。=所示二面角a1bdc1的余弦值为解法二：以d为原点，da、dc、dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图6-2所示的空间