二阶与三阶行列式.ppt

一、一、二阶行列式的引入二阶行列式的引入 二、三阶行列式二、三阶行列式 1 用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入 两式消去两式消去得得 2 由线性方程组的四个系数确定由线性方程组的四个系数确定. . 类似地消去类似地消去得得 当当 时，方程组的解为时，方程组的解为 3 定义定义1.41.4 由四个数排成二行二列（横排称行、竖由四个数排成二行二列（横排称行、竖 排称列）的数表排称列）的数表 称为数表称为数表所确定的二阶行列式，并记作所确定的二阶行列式，并记作 表达式表达式 即即 4 主对角线主对角线 副对角线副对角线 对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算 若记若记 对于二元线性方程组对于二元线性方程组 系数行列式系数行列式 5 6 7 8 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为 注意注意 分母都为原线性方程组的系数行列式。分母都为原线性方程组的系数行列式。 9 解解 求解二元线性方程组求解二元线性方程组例例 10 二、三阶行列式二、三阶行列式 定义定义1.51.5 记记 设有设有9 9个数排成个数排成3 3行行3 3列的数表列的数表 （7 7）式称为数表（）式称为数表（6 6）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式. . 11 (1)沙路法 三阶行列式的计算 .列标 行标 12 (2)(2)对角线法则对角线法则 13 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号 说明说明 注意注意 （1 1）对角线法则只适用于二阶与三阶行列式）对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 （2 2）三阶行列式包括）三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于每一项都是位于 不同行不同行, ,不同列不同列的三个元素的乘积的三个元素的乘积, ,其中三项其中三项 为为正正, ,三项为三项为负负. . 14 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 的系数行列式的系数行列式 利用利用三阶行列式三阶行列式求解求解三元线性方程组三元线性方程组 15 若记若记 或或 16 记记 即即 17 18 得得 19 得得 20 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为: : 21 解 解 按按对角线法则对角线法则，有 ，有 例例 计算三阶行列式计算三阶行列式 22 解解方程左端方程左端 求解方程求解方程 由由解得解得 或或 例例 23 解线性方程组解线性方程组 解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式 例例 24 同理可得同理可得 故线性方程组的解为故线性方程组的解为 25 课堂练习 p25 1,(1),(2)p25 1,(1),(2) 26 一、一、概念引入概念引入 二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数 三、计算排列逆序数的方法三、计算排列逆序数的方法 四、小结与思考四、小结与思考 27 一、概念的引入一、概念的引入 引例引例用 用1 1、2 2、3 3三个数字，可以组成多三个数字，可以组成多 少个没有重复数字的三位数？少个没有重复数字的三位数？ 解解 1 2 3 123百位百位 3种放法种放法 十位十位 1231 个位个位 12 3 2种放法种放法 1种放法种放法 种放法种放法.共有共有 28 二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数 问题问题 把把n n个不同的元素排成一列，共有几种个不同的元素排成一列，共有几种 不同的排法？不同的排法？ 29 定义定义1.11.1 把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）个元素的全排列（或排列）. . 通常用通常用 表示表示. . 个不同的元素的所有排列的种数，个不同的元素的所有排列的种数， 由引例由引例 同理同理 30 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, , n n 个不同的自然数，规定由小到大为标准个不同的自然数，规定由小到大为标准 次序次序. . 排列的逆序数排列的逆序数 31 在一个排列在一个排列 中，若 中，若 数数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序. . 例如例如 排列排列32514 32514 中中， 定义定义1.21.2 3 2 5 1 4 逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 32 一个排列中所有逆序的总数称为此排列一个排列中所有逆序的总数称为此排列 的逆序数的逆序数. . 例如例如 排列排列32514 32514 中，中， 3 2 5 1 4 逆序数为逆序数为3 3 1 故此排列的故此排列的逆序数逆序数为为1+3+0+1+0=51+3+0+1+0=5. . 定义定义 1.31.3 33 逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为奇数的排列称为奇排列; ; 逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列. . 排列的奇偶性排列的奇偶性 34 方法方法1 1 三、计算排列逆序数的方法三、计算排列逆序数的方法 从左到右分别计算出排列中每个元素后从左到右分别计算出排列中每个元素后 面比它小的数码个数之和，即算出排列中面比它小的数码个数之和，即算出排列中 每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之 总和即为所求排列的逆序数总和即为所求排列的逆序数. . 35 从右到左分别计算出排列中每个元素前从右到左分别计算出排列中每个元素前 面比它大的数码个数之和，即算出排列中面比它大的数码个数之和，即算出排列中 每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之 总和即为所求排列的逆序数总和即为所求排列的逆序数. . 方法方法2 2 36 例例 求排列求排列3251432514的逆序数的逆序数. . 解解在排列 在排列3251432514中中, , 4 4的前面比的前面比4 4大的数有大的数有1 1个个, ,故逆序数为故逆序数为1;1; 1 1的前面比的前面比1 1大的数有大的数有3 3个个, ,故逆序数为故逆序数为3;3; 5 5的前面没有比的前面没有比5 5大的数大的数, ,其逆序数为其逆序数为0;0; 37 3 2 5 1 4 于是于是排列排列3251432514的的逆序数逆序数为为 3 3排在首位排在首位, ,逆序数为逆序数为0 0; ; 2 2的前面比的前面比2 2大的数只有一个大的数只有一个3,3, 故逆序数为故逆序数为1;1; 38 计算下列排列的逆序数，并讨论它们计算下列排列的逆序数，并讨论它们 的奇偶性的奇偶性. . 解解 此排列为此排列为偶排列偶排列. 例例 39 解解 当当 时为时为偶排列；偶排列； 当当 时为时为奇排列奇排列. 40 解解 当当 为为偶数偶数时，排列为时，排列为偶排偶排列列， 当当 为为奇数奇数时，排列为时，排列为奇排列奇排列. . 41 练习练习 求求i i，j j使使2525i4j1i4j1为偶排列。为偶排列。 解解 6 6元排列使元排列使i i、j j只能取只能取3 3或或6 6；由于；由于 所以，所以，i i=6,j=3=6,j=3。 奇 排 列 偶 排 列 （偶数）偶数） 42 定理定理2.12.1：经过一次对换，排列的奇偶性改：经过一次对换，排列的奇偶性改 变。变。 定理定理2.2 2.2 所以所以n n（n=2n=2）元排列中，奇偶）元排列中，奇偶 排列各占一半，均为排列各占一半，均为n!/2n!/2个。个。 四、补充知识四、补充知识 43 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 1 个不同的元素的所有排列种数为 五、小结与思考