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53概率论与数理统计课后习题及答案第1章 三、解答题 1设p(ab) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) a和b不相容； (2) a和b相容； (3) ab是不可能事件； (4) ab不一定是不可能事件； (5) p(a) = 0或p(b) = 0 (6) p(a b) = p(a) 解：(4) (6)正确. 2设a，b是两事件，且p(a) = 0.6，p(b) = 0.7，问： (1) 在什么条件下p(ab)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下p(ab)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为，又因为即 所以(1) 当时p(ab)取到最大值，最大值是=0.6.(2) 时p(ab)取到最小值，最小值是p(ab)=0.6+0.7-1=0.3. 3已知事件a，b满足，记p(a) = p，试求p(b) 解：因为，即，所以 4已知p(a) = 0.7，p(a b) = 0.3，试求 解：因为p(a b) = 0.3，所以p(a ) p(ab) = 0.3, p(ab) = p(a ) 0.3,又因为p(a) = 0.7，所以p(ab) =0.7 0.3=0.4，. 5 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有种，以下求至少有两只配成一双的取法：法一：分两种情况考虑：+ 其中：为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：+ 其中：为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：+ 其中：为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：-法五：考虑对立事件：- 其中：为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件： 其中：为没有一双配对的方法数所求概率为 6在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率 解：(1) 法一：，法二： (2) 法二：，法二： 7将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率 解：设m1, m2, m3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则, , 8设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 解：设m2, m1, m0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 , 9口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率 解：设m1=“取到两个球颜色相同”，m1=“取到两个球均为白球”，m2=“取到两个球均为黑球”，则.所以 10 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率 解：这是一个几何概型问题以x和y表示任取两个数，在平面上建立xoy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间w = (x，y)：0 x，y 1 事件a =“两数之和小于6/5”= (x，y) w ： x + y 6/5因此图？ 11随机地向半圆（为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率 解：这是一个几何概型问题以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，q表示原点和该点的连线与轴的夹角，在平面上建立xoy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 w=(x，y)： 事件a =“原点和该点的连线与轴的夹角小于” =(x，y)：因此 12已知，求 解： 13设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设a=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，b=“两件均为不合格品”；， 14有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：设a=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，b=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则，由全概率公式得由贝叶斯公式得 15将两信息分别编码为a和b传递出去，接收站收到时，a被误收作b的概率为0.02，而b被误收作a的概率为0.01，信息a与信息b传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是a，问原发信息是a的概率是多少？ 解：设m=“原发信息是a”，n=“接收到的信息是a”，已知所以由贝叶斯公式得 16三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？ 解：设ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.已知所以至少有一人能将此密码译出的概率为 17设事件a与b相互独立，已知p(a) = 0.4，p(ab) = 0.7，求. 解：由于a与b相互独立，所以p(ab)=p(a)p(b),且p(ab)=p(a)+ p(b) - p(ab)= p(a)+ p(b) - p(a)p(b)将p(a) = 0.4，p(ab) = 0.7代入上式解得 p(b) = 0.5，所以或者,由于a与b相互独立,所以a与相互独立，所以 18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？ 解：设a=“甲射击目标”，b=“乙射击目标”，m=“命中目标”，已知p(a)=p(b)=1,所以由于甲乙两人是独立射击目标，所以 19某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？ (2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？ 解：设ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.（1）根据题意，p(a1)=0.7，p(a2)=0.8，p(a3)=0.9，p(b1)=0.7,p(b2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为p(a1a2a3)= p(a1)p(a2)p(a3)=第二种工艺加工得到合格品的概率为p(b1b2)= p(b1)p(b2)=可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而p(b1)=p(b2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为p(b1b2)= p(b1)p(b2)=可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。 1设两两相互独立的三事件a，b和c满足条件abc = ，且已知，求p(a) 解：因为abc = ，所以p(abc) =0,因为a，b，c两两相互独立，所以由加法公式得 即 考虑到得 2设事件a，b，c的概率都是，且，证明： 证明：因为，所以将代入上式得到整理得 3设0 p(a) 1，0 p(b) 1时，所以；（2）， 当时，为不可能事件，则， 当时，则， 当时，则，根据得 ；（3），当时，当时，所以 ；7. (1) 证明：由题意知。，当时，即，当时，当时，故有，可以看出服从区间（0，1）均匀分布；（2） 当时， 当时， 当时， 由以上结果，易知，可以看出服从区间（0，1）均匀分布。第三章1解：(x,y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：px=1,y=1=px=1py=1|x=1|=2/31/2=/3同理可求得px=1,y=1=1/3; px=2,y=1=1/3(x,y)的分布律用表格表示如下：yx1211/31/321/302 解：x，y所有可能取到的值是0, 1, 2(1) px=i, y=j=px=ipy=j|x=i|= c3ic82c2jc32-(i+j)c8-i2, i,j=0,1,2, i+j2或者用表格表示如下： yx01203/286/281/2819/286/28023/2800 (2)p(x,y)a=px+y1=px=0, y=0+px=1,y=0+px=0,y=0=9/143 解：p(a)=1/4, 由p(b|a)=得p(ab)=1/8由p(a|b)=得p(b)=1/4(x,y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则px=0,y=0=)=p(ab)=1-pab =1-p(a)-p(b)+p(ab)=5/8px=0,y=1=p(ab)=p(b-a)=p(b)-p(ab)=1/8px=1,y=0=p(ab)=p(a-b)=p(a)-p(ab)=1/8px=1,y=1=p(ab)=1/84.解：(1)由归一性知：1=-+-+fx,ydxdy=0101axydxdy=a4, 故a=4(2)px=y=0(3)pxy=01x14xydydx=12 (4)f(x,y)= -x-yf(u,v)dudv=0,x0或y0 40x0yuvdudv,0x1,0y140y01uvdudv,x1,0y11,x1,y1即f(x,y)=0，x0或y0x2y2,0x1,0y1y2,x1,0y11,x1,y15.解：px+y1=6 解：x的所有可能取值为0,1,2,y的所有可能取值为0,1,2, 3.px=0,y=0=0.53=0.125; 、px=0,y=1=0.53=0.125px=1,y=1=, px=1,y=2=px=2,y=2=0.53=0.125, px=2,y=3=0.53=0.125x,y 的分布律可用表格表示如下： yx0123pi.00.1250.125000.25100.250.2500.52000.1250.1250.25p.j0.1250.3750.3750.12517. 解：8. 解：(1)所以 c=21/4(2) 9 解：(x,y)在区域d上服从均匀分布，故f(x,y)的概率密度为10 解： 当00时，所以，12 解：由得13解：z=max(x,y),w=min(x,y)的所有可能取值如下表pi0.050.150.20.070.110.220.040.070.09(x,y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)max(x,y)001111222min(x,y)-100-101-101z=max(x,y),w=min(x,y)的分布律为z012pk0.20.60.2 w -101pj 0.160.530.3114 解： 由独立性得x，y的联合概率密度为则pz=1=pxy=pz=0=1-pz=1=0.5故z的分布律为z01pk0.50.515 解：同理，显然，所以x与y不相互独立.16 解：(1) 利用卷积公式：求fz(z)=(2) 利用卷积公式：17 解：由定理3.1（p75）知，x+yn(1,2)故18解：(1) (x0)同理， y0显然，所以x与y不相互独立(2).利用公式19解：并联时，系统l的使用寿命z=maxx,y因xe(a),ye(b),故 串联时，系统l的使用寿命z=minx,y (b)组1 解：px=0=a+0.4, px+y=1=px=1,y=0+px=0,y=1=a+bpx=0,x+y=1=px=0,y=1=a由于x=0|与x+y=1相互独立, 所以px=0, x+y=1=px=0 px+y=1即 a=(a+0.4)(a+b) (1)再由归一性知： 0.4+a+b+0.1=1 (2)解(1),(2)得 a=0.4, b=0.12 解: (1) (2) 利用公式计算3.解：(1) fy(y)=pyy=px2y当y0时，fy(y)=0当y0时，从而，(2) f(-1/2,4)=px-1/2,y4= px-1/2,x24=p-2x-1/2=4.解：pxy0=1-pxy=0=0即 px=-1,y=1+px=1,y=1=0由概率的非负性知，px=-1,y=1=0，px=1,y=1=0由边缘分布律的定义，px=-1= px=-1,y=0+ px=-1,y=1=1/4得px=-1,y=0=1/4再由px=1= px=1,y=0+ px=1,y=1=1/4得px=1,y=0=1/4再由py=1=px=-1,y=1+ px=0,y=1+ px=1,y=1= px=0,y=1知px=0,y=1=1/2最后由归一性得：px=0,y=0=0(x,y)的分布律用表格表示如下： yx01px=i-11/401/4001/21/211/401/4py=j1/21/21(2) 显然，x和y不相互独立，因为px=-1,y=0 px=-1py=05 解：x与y相互独立，利用卷积公式计算 6.解：(x,y)(g)设f(x)和f(s)分别表示s=xy的分布函数和密度函数f(s)=pxyss0时，fs(s)=0s0时，所以，于是，s=y概率密度为7.解：由全概率公式：fu(u)=puu=x+yu=px=1px+yu|x=1+ px=2px+yu|x=2= px=1p1+yu+ px=2p2+yu=0.3fy(u-1)+0.7fy(u-2)所以，fu(u) =0.3fy(u-1)+0.7fy(u-2)8. 解：(1) (2) 如图所示，当z0时，fz(z)=0; 当z2时，fz(z)=1 当0z2时:综上所述，所以z的概率密度为：9.解：(1) (2) (3) 10.解：(1)pz1/2|x=0=px+y1/2|x=0=py1/2=1/2(2) 由全概率公式：fz(z)=pzz=px+yz=px=1px+yz|x=1+px=0px+yz|x=0=px=-1px+yz|x=-1= px=1p1+yz+px=0pyz=px=-1p-1+yz=1/3fy(z-1)+ fy(z)+ fy(z+1)从而，fz(z) =1/3fy(z-1)+ fy(z)+ fy(z+1)=11.解：如图，当z0时，fz(z)=0; 当z1时，fz(z)=1 当0z1时:综上得：12z的概率密度为12 解：当z5时， ，当5时，0.e(x) =所以这种家电的平均寿命e(x)=10年.9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例x的概率密度为求x的数学期望e(x)解：e(x) =1/4 10. 设随机变量x的概率密度如下，求e(x)解：.11. 设，求数学期望解：x的分布律为， k = 0，1，2，3，4，x取值为0，1，2，3，4时，相应的取值为0，1，0，-1，0，所以 12. 设风速v在(0，a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力w是v的函数：，（k 0，常数），求w的数学期望解：v的分布律为，所以 13. 设随机变量(x, y )的分布律为 y x01203/289/283/2813/143/14021/2800求e(x)，e(y )，e(x y )解：e(x)=0(3/28+9/28+3/28）+1(3/14+3/14+0)+ 2(1/28+0+0)= 7/14=1/2 e(y)=0（3/28+3/14+1/28）+1(9/28+3/14+0)+ 2(3/28+0+0)=21/28=3/4 e(x-y) = e(x)- e(y)=1/2-3/4= -1/4.14. 设随机变量(x，y)具有概率密度，求e(x)，e(y)，e(xy)解：e(x)= 15. 某工厂完成某批产品生产的天数x是一个随机变量，具有分布律x10 11 12 13 14pi0.2 0.3 0.3 0.1 0.1所得利润（以元计）为,求e(y)，d(y)解： e(y) = e1000(12-x)=1000(12-10)0.2+(12-11)0.3+(12-12)0.3+(12-13)0.1+(12-14)0.1 = 400e(y2) = e10002(12-x)2=10002(12-10)20.2+（12-11）20.3+（12-12）20.3+（12-13）20.1+（12-14）20.1=1.6106d(y)=e(y2)-e(y)2=1.6106- 4002=1.44106 16. 设随机变量x服从几何分布 ，其分布律为其中0 p 1是常数，求e(x)，d(x)解：令q=1- p ,则 d(x) = e(x2)- e(x) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p217. 设随机变量x的概率密度为，试求e(x)，d(x)解：e(x)= d(x)= e(x2)= 18. 设随机变量(x，y)具有d(x) = 9，d(y) = 4，求，解：因为，所以=-1/632=-1,19. 在题13中求cov(x，y)，rxy解：e(x) =1/2, e(y) =3/4, e(xy)=0(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+13/14+20+40=3/14, e(x2)= 02（3/28+9/28+3/28）+12(3/14+3/14+0)+ 22(1/28+0+0)=4/7, e(y2)= 02（3/28+3/14+1/28）+12(9/28+3/14+0)+ 22(3/28+0+0)=27/28, d(x)= e(x2) -e(x)2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, d(y)= e(y2)- e(y)2=27/28-(3/4)2= 45/112, cov(x，y)= e(xy)- e(x) e(y) =3/14- (1/2) (3/4)= -9/56, rxy = cov(x，y) /()=-9/56 ()= -/520. 在题14中求cov(x，y)，rxy，d(x + y)解：,21. 设二维随机变量(x, y )的概率密度为试验证x和y是不相关的，但x和y不是相互独立的解：，所以cov(x，y)=0，rxy =0，即x和y是不相关.当x2 + y21时，f ( x,y)fx ( x) f y(y),所以x和y不是相互独立的22. 设随机变量(x, y )的概率密度为验证x和y是不相关的，但x和y不是相互独立的解：由于f ( x,y)的非零区域为d: 0 x 1, | y | 2x ,所以cov(x，y)=0，从而，因此x与y不相关 . 所以，当0x1, -2y2时，所以x和y不是相互独立的 .四、应用题.1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致n元的损失，再者，他们预测销售量y（件）服从参数的指数分布，问若要获利的数学期望最大，应该生产多少件产品？（设m,n,均为已知）.解：设生产x件产品时，获利q为销售量y的函数 y 0 y=所以e(y)= 4p =2，d(y)= 4p(1-p)=1， e(y2) = d(y)+e(y)2=1+4=53. 设随机变量u在区间(-2，2)上服从均匀分布，随机变量试求：(1)和的联合分布律；(2) 解：(1) px =-1, y =-1= pu -1且u 1= pu -1=，px =-1, y =1= pu -1且u 1= 0，px =1, y =-1= p-1 -1且u 1= pu 1=，所以和的联合分布律为 x y-11-11/41/2101/4(2) 和的边缘分布律分别为x 11pi1/43/4y 11pi3/41/4所以e(x)= -1/4+3/4=1/2，e(y)= -3/4+1/4=-1/2，e(xy)= 1/4-1/2+1/4=0，e(x2)= 1/4+3/4=1，e(y2)=1，d(x)=1-1/4=3/4，d(y)=1-1/4=3/4，cov(x，y)=1/4，d(x+y)= d(x)+ d(y)+2 cov(x，y)=3/4+3/4+2/4=24. 设随机变量x的期望e(x)与方差存在，且有，证明证明：首先证明e（y）存在(1) 若随机变量x为离散型随机变量，分布律为：则由e(x)存在知，绝对收敛，且记,则绝对收敛，所以e（y）存在，,(2) 若x为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则：5. 设离散型随机变量x的分布律为，且e(x)，e(x 2)，d(x)都存在，试证明：函数在时取得最小值，且最小值为d(x)证明：令，则，所以，又，所以时，取得最小值，此时 6. 随机变量x与y独立同分布，且x的分布律为x12pi2/31/3记， (1) 求(u，v)的分布律；(2) 求u与v的协方差cov(u，v).解：(1) (x ,y)的分布律 y x1214/92/922/91/9(x ,y)（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）pij4/92/92/91/9u1222v1112 v u1214/9024/91/9(2) e(u)= 4/9+25/9=14/9，e(v)= (4/9+2/9+2/9)+ 21/9=10/9，e(uv)= 4/9+24/9+41/9=16/9,cov(u，v)=16/9-140/81=4/81 7. 随机变量x的概率密度为令为二维随机变量（x，y）的分布函数，求cov(x，y)解： 8. 对于任意二事件a和b，0 p(a) 1，0 p(b) 1，称作事件a和b的相关系数 (1) 证明事件a和b独立的充分必要条件是其相关系数等于零 (2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明证明: (1) ,即(2) 考虑随机变量x和y x服从0-1分布:x01pi1-p(a)p(a)y服从0-1分布:x01pi1-p(b)p(b)可见, 随机变量和的相关系数由两随机变量的相关系数的基本性质有第五章5三、解答题1. 设随机变量x1，x2，xn独立同分布，且xp(l)，试利用契比谢夫不等式估计的下界。解：因为xp(l)，由契比谢夫不等式可得2. 设e(x) = 1，e(y) = 1，d(x) = 1，d(y) = 9，r xy = 0.5，试根据契比谢夫不等式估计p|x + y | 3的上界。解：由题知 =0cov= -1.5所以3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率解：设i个元件寿命为xi小时，i = 1 ,2 , . , 16 ，则x1 ，x2 ，. ，x16独立同分布，且 e(xi ) =100，d(xi ) =10000，i = 1 ,2 , . , 16 ，由独立同分布的中心极限定理可知：近似服从n ( 1600 , 1.610000)，所以=1- 0.7881= 0.21194. 某商店负责供应某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需要用一件的概率为0.6，假定在这一时间段各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一时间段内每人最多可以买一件）解：设商店应预备n件这种商品，这一时间段内同时间购买此商品的人数为x ，则x b（1000，0.6），则e(x) = 600，d (x ) = 240，根据题意应确定最小的n，使px n = 99.7%成立.则px n 所以，取n=643。即商店应预备643件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销。5. 某种难度很大的手术成功率为0.9，先对100个病人进行这种手术，用x记手术成功的人数，求p84 x 95解：依题意, x b（100，0.9），则e(x) = 90，d (x ) = 9， 6. 在一零售