薛定谔方程(Schrodinger_equation)_硕士学位论文.doc

上海交通大学硕士学位论文 - 1 - 目录目录 第一章第一章 引言引言.- 2 - 1.1 耦合长短波方程的背景.- 2 - 1.1.1 schrodinger 方程的介绍 - 2 - 1.1.2 kdv 方程的介绍.- 8 - 1.1.3 schrodinger-kdv 方程组及耦合长短波方程的由来.- 10 - 1.2 hamilton系统、辛算法及多辛算法.- 11 - 1.3 原有的数值方法.- 17 - 1.3.1 时间分裂方法- 17 - 1.3.2 crank-nicolson 方法 - 19 - 第二章第二章 多辛格式多辛格式.- 22 - 2.1 euler box格式- 24 - 2.2 preissman格式 - 30 - 2.3 fourier拟谱格式.- 35 - 第三章第三章 数值实验数值实验.- 40 - 3.1 e_ls、cni 与 box_ls的误差及阶数- 40 - 3.2 tss 与 ls1 的误差及阶数.- 49 - 第四章第四章 结论结论.- 55 - 参考文献参考文献.- 56 - 致谢致谢.- 59 - 上海交通大学硕士学位论文 - 2 - 第一章第一章 引言引言 1.1 耦合长短波方程的背景耦合长短波方程的背景 1.1.1 schrodinger 方程的介绍方程的介绍 薛定谔方程(schrodinger equation)是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力 学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。 是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运 动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体 形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 一关于波的简单介绍一关于波的简单介绍 波的形式是多种多样的，平面波是指在波的传递过程中在一段距离内波幅变动 不大的波。描述平面波的状态的波函数为： (1.1) 2 ( , )cos()cos(2)x takxtaxt 为波函数。x 与 t 分别表示 x 方向的距离变量与时间变量。函数计算结果的 物理量为波幅，即长度单位为米。 a 为波幅，单位为米。指平面波相对稳定的最大波幅绝对值。 cos(kx-wt)为波幅的变动系数，数值在-1，0，+1 之间变动。 k 为单位长度弧度数，即，单位为弧度米。 2 为单位时间弧度数，即 ，单位为弧度秒。2 由于=波速度 ，=即波在传播过程中不同距离的时间差。波函数v/x/x v (1.1)式可以写成： 上海交通大学硕士学位论文 - 3 - (1.2)( , )cos()cos(22) x x takxtat 如果上述波函数(1.2)式去掉括号中的第一项，得到： (1.3)( )cos()cos( 2)tatat 即为一个以时间为变量的振幅函数，这样的波并不向外传播，而是在原地上下 振动，余弦 cos 的正负角的函数值是相等的，因此括号中的负号可以忽略。 如果波函数(1.2)式中去掉括号中的第二项同时保留第一项，得到： (1.4)( )cos()cos(2) x xakxa 即为一个以坐标为变量的函数，是描述波到达各种位置的振动位移情况。 波函数 (1.1)式也可以写成以 e 为底的复数形式： (1.5)( , )exp ()x tai kxt 通用的波动方程是如下形式： (1.6) 2222 22222 1 0 xyzut 化简为一维形式的波动方程： (1.7) 22 222 1 xut 函数是直接描述变量之间的关系，而物理方程则是在复杂的情况下表述各种物 理量的关系，它可以包含各种函数，但对函数中的变量之间关系的表述不是那么直 接，函数表达式与方程之间，在一定条件下可以转换。下面给出具体的推导过程。 对宏观平面波函数(1.5)式进行转换，得： (1.8) 2 ( , )exp ()exp (2)x tai kxtaixt 对时间二次微商得： 2 22 2 4 t 整理得： 2 2 22 4 t 上海交通大学硕士学位论文 - 4 - 对坐标二次微商得： 222 222 xt 整理得： 22 2 2 4 x 将两个二次微商的结果连接得： 222 222 xt 引入波速 u，将上式整理得到： 22 222 1 xut 这就是前面的一维形式的波动方程(1.7)式。可见波函数与波动方程在一定条件 下可以相互转换。应当注意到由波函数转换为波动方程的过程中，波幅常量 a 消失 了，说明这个波动方程中含有的波函数与波幅常量没有直接联系。如果由波动方程 反解出波函数，这个常量 a 需经过归一化处理重新找回来。 通常，参照一般的波动描述方式，似乎可以建立一个类似的电磁波的波函数表 达式： 00 2 ( , )cos()cos(2)e x tekxtext 然而，我们以宏观的平面波方式来描述量子波时，必须考虑到量子波与平面波 的重要区别：平面波的波函数描述的是一个波群(波束)，而量子波由于其量子性， 表现为个体的量子波。即使一个有限的空间在一段有限的时间里，只有一个电子或 者一个光子在运动，我们也得承认这个电子或者光子的波动性，应当也有波函数描 述它。因此用波函数来描述量子波时，显然应当与描述光束或者电子束的方式有所 区别，或者说不能用描述一般平面波的波函数的方法来描述量子波。 分析光子的运动：光子在振动且以光速运动，以位置作为变量，光子的相位随 之而变，换以时间作为变量，光子的相位也是随之而变。光子的波幅、一个波动周 期内的速度也是在随位置和时间变动的，但是波动量的大小与相位的变动是相关的。 因此首先选取相位作为一个波动周期的因变量。 将原来描述光束的函数式(1.8)改为描述单个光子的波函数： 上海交通大学硕士学位论文 - 5 - (1.9) 2 ( , )2f x tkxtxt 函数的值就是相位，单位为弧度。 将上述描述光子相位的函数用三角函数表示： (1.10) 2 ( , )cos()cos(2)x tkxtxt 得到的是无量纲数，数值在-1，0，1 之间变动，这就是我们描述概率幅的函数。 加上适当的常数项 a，使得波函数有适当的物理量，将模平方并按一定的物理量积 分后，得到的结果是有量纲数，即概率密度： (1.11) 22 222 ( , )|( , )|( , )|cos()|p x tx tdxax tdxakxtdx 根据 (1.8)式对电磁波的函数表达式，按照式 (1.6)的通用波动方程，可以建立 一个电磁波的波动方程： (1.12) 2222 22222 1 0 eeee xyzct 方程中 e 表示什么呢?根据前面对一般波函数与波动方程的转换分析我们知道， 这个 e 无法代表电场强度，因为由波函数转换为波动方程的过程中，电场强度常量 e 已经消失了，现在这个 e 函数计算得到的值是无量纲数，在一定条件下按归一化 处理后可以有一定的物理量纲，就是概率幅。由此可见，即使人们将波动视为量子 的出现概率的似波性，在进行归一化处理之前，波动方程并不能完整地描述量子的 波动状态，因为波动方程计算出来的概率幅数值在-1,0,1 之间变动，必须考虑行程、 波数等因素，进行适当的转换后才能得到实际波动的概率幅数值。因此归一化处理， 实际上是使波动方程描述的物理现象回归实在的波动。笔者将在后面的实例中进一 步说明，波动方程加上波动的边界条件，再加上归一化处理，是可以描述量子实在 的。 二二 薛定谔方程薛定谔方程 1建立描述电子运动的波函数 既然电子的运动可以形成波，那么应当如同描述光子的波动一样，有一个波动 方程描述电子的波动。参照前面描述光子的波动方程(1.10)式建立描述电子的波函 上海交通大学硕士学位论文 - 6 - 数： 2 ( , )cos()cos(2)x tkxtxt 上式是量子单位制形式。将上面的波函数按下式描述为经典形式： 由于动量，即动能速度 。能量 e= ，此处表示电子库仑势能。普1/pvv 朗克常数 h=1， 1 22 h h (1.13)( , )cos()cos() pe x tkxtxt hh 2将电子的波函数改写为复数形式并进行微商 将(1.13)式改写为复数形式： (1.14)exp () pe aixt hh 这里为了波函数的完整性加上了 a，在后面进行微商处理时 a 自然消失，而在 归一化处理时 a 又回到公式中，那时它的物理意义与我们进行归一化处理方式有关。 将上述函数对时间微商得： (1.15) e i th 将上述函数对坐标微商得： (1.16) p i xh 为了将能量 e 引入，将(1.16)式再对 x 求一次偏导，得到： (1.17) 22 2 22 2 pm e xhh 转换中用上的公式，是由德布罗意波的动量与能量关系决定的。 2 2pem 3. 得到薛定谔方程 上海交通大学硕士学位论文 - 7 - 由(1.15)式得到： (1.18) eih t 由(1.17)式得到： (1.19) 22 2 2 h e mx 将(1.18)式与(1.19)式连接起来，就得到自由粒子的一维含时不计算势能的薛定 谔方程： (1.20) 22 2 2 h ih tmx 如果考虑到量子的库仑势能，得到一维含时的薛定谔方程： (1.21) 22 2 ( , ) 2 h ihu x t tmx 将上式扩展到三维，得到三维含时的薛定谔方程： (1.22) 2 2 2 h ihu tm 如果不考虑时间因素，得到三维定态的薛定谔方程： (1.23) 2 2 h ue m 其中： 222 2 222 xyz 简化为一维定态的薛定谔方程： (1.24) 2 2 2 h ue mx 定态是指粒子的概率密度分布不随时间变化的状态，定态薛定谔方程示，任何 时候粒子概率幅的空间分布，不随时间变化。 上海交通大学硕士学位论文 - 8 - 1.1.2 kdv 方程的介绍方程的介绍 1834 年英国科学家 scott russell 偶然观察到了一种奇妙的水波。1844 年，他在 英国科学促进协会第 14 届会议报告上发表的论波动一文中，对此现象作 了生动的描述：“我观察过一次船的运动，这条船被两匹马拉着沿狭窄的运动迅速 前进着，突然，船停了下来，而被船所推动的大堆水却并不停止，它们积聚在船头 周围激烈地扰动着，然后水浪突然呈现在一个滚圆而平滑、轮廓分明的巨大孤立波 峰，它以巨大的速度向前滚动着，急速地离开了船头，在行进中它的形状和速度并 没有明显的改变，我骑在马上紧跟着观察，它以每小时约八、九英里的速度滚滚向 前，并保持着长约 30 英尺，高约 1-1.5 英尺的原始形状，渐渐地它的高度下降了。 当我跟踪 1-2 英里后，它终于消失在逶迤的河道之中” 。这就是 russell 观察到的奇 特现象，进而他认为这种孤立的波动是流体运动的一个稳定解，并成它为“孤立波” 。russell 当时未能成功地证明并使物理学家们信服他的论断，从而埋汰数学家未能 从已知的流体运动方程预言出这一现象，之后有关孤立波的问题在当时许多物理学 家中引起了广泛的争论。直到 60 年后的 1895 年，kerteweg，de vries 研究了浅水 波的运动，在长波近似和小振幅的假定下，建立了单向运动的浅水波运动方程 2 2 3 3121 () 2233 g tlxx 下面就简单推导一个 kdv 方程： 在竖直平面考察平面内流体的运动，考虑下面定解问题 0 0 ( , ) 22 ( , ) 0( , ) ()0 1 ()0 2 |0 xxzz txxzz h t x zxzzz h t x zzh hzh t x hh g 其中是水的深度，h(t,x)是水波的函数。 0 h 引进小参数a 是平面波振幅， 是波长。作下列变换： 2 0 2 0 , ha hl l 上海交通大学硕士学位论文 - 9 - 2 000 , lgla zzhz tt xlx zh z hahcgh cc 则上述方程组变为： 1 22 1 0 0(01) 1 ()0 11 ()()0 22 |0 xxzz txxzz h zxz zh zz zh hh h 把去掉还原成：: 1 22 1 0 0(01) 1 ()0 11 ()()0 22 |0 xxzz txxzzh zxzzh zz zh hh h 用构造( , )ww t x 2 2 0 2 2 1 ( 1)() (2 )! ( , )( 1)() (2 )! m mmm x m m mmm x m z w m z w t xw m 所以成立 0 |0 zz 构造的满足因为0 xxzz 22 1 2 2 1 ( 1)() (2 )! ( 1)() (22)! zm mmm xxxxx m zm mmm zzx m z ww m z w m 将代入到得 1 1 ()0 txxzzh hh 上海交通大学硕士学位论文 - 10 - 2 1 (1)(1) (1)(1)( )0 62 x txxxxxxxx h hh whhwh wo 将代入到得 22 1 11 ()()0 22 zxzzh h 2 22 1(1) ( )0 22 txxxtxxxxxx h whwww wwo 下面就建立关于 h 的偏微分方程： 在上述两式中忽略一次以及以上的项得：、 0,0 txxt hwwh 取可得，展开 x wh0 tx hh( ,) x whqro 在上述两式中忽略二次以及以上的项得、 2 11 (1)0,0 622 txxxxxxtxxxt hh wwwhww 将代入到刚得到的两项中分别可得： x w ( )0, 6 ( )0 2 txxxxxxxx tttxxxxt hhqrh hhhho hqrhhhho 取可得 2 11 , 43 xx qh rh 3 0 26 txxxxx hhhhh 这就是经典的 kdv 方程。 1.1.3 schrodinger-kdv 方程组及耦合长短波方程的由来方程组及耦合长短波方程的由来 各种客观环境已经在研究长短波之间的相互作用现象，尤其是在流体力学、等 离子物理和化学物理。短波通常用 schrodinger 方程来描述，长波一般用带有色散 的某种类型的波方程来描述。本文中，我们用多辛积分1,2,3格式来研究耦合长短 上海交通大学硕士学位论文 - 11 - 波方程(lsie)。 (1.25) 2 2 , (), tx tx i 满足 (1.26) 00 ( ,0)( ),( ,0)( ), ( , )( , ),( , )( , ), xxxx a tb ta tb t 复值函数表示短波的包络层，实值函数表示长波的振幅。是实常数。、 在方程(1.25)被用来在重力和微小范围模式下建立表面波。这个方程是 schrodinger- kdv 方程组的一个特殊例子。 (1.27) 2 11 2 32 22 (), ( )()0 tx xxxxx ic x c 关于初始边界问题(1.25)-(1.26)，可以得到下面命题 命题 1.1 带有初始边界问题(1.25)-(1.26)的解满足下面的守恒律 22 0 0 22 2 ( )( , )( , )(0), ( )( , )( )(0), ( )( , )( , )( , )(0), ( )()(0), bb aa bb aa b xa b xxa tx tdxx tdx p tx t dxx dxp tx tx tx tdx i tidxi 是复函数 的共轭函数。 方程组(1.25)具有独特的数学特点因为研究发现它具有完整的可积结构。特别 的，它有一个逆散射变换和显示的 n 孤子解5,6。各种数值技术尤其是有限元方法、 谱方法和时间分裂步方法都已经用来解各种形式的长短波相互作用的方程。 1.2 hamilton 系统、辛算法及多辛算法系统、辛算法及多辛算法 力学研究中一个非常重要的是对称的几何观点，它不论是从基本的原理公式出 发，还是到具体的应用，都特别强调了几何方法和力学研究的密不可分的关系。其 上海交通大学硕士学位论文 - 12 - 中 hamilton 提出的力学定理可以用微分流形来研究刚体体系及太阳系等复杂系统的 力学性质；可以用相应的 hamilton 函数的对称性来研究能量、线性动量与角动量等 hamilton 系统的守恒性质。 hamilton 系统是一种重要的力学系统，广泛的出现在物理、力学、工程、纯数 学与应用数学领域。通常可以认为，一切耗散可忽略不计的真实物理过程都可以表 示成 hamilton 方程的形式，而它们的共同基础都是辛几何。辛几何历史可以追溯到 十九世纪英国物理学家和数学家 hamilton，他为了研究 newton 力学，引入广义坐 标和广义动量来表示系统的能量，即 hamilton 函数。 考虑 newton 运动方程，设表示质点位置，它满足拉格 12 ( )(,)t n q tqq qq 朗日方程 其中表示动能，表示势能。引入, qq d ll ltv dt ( , )tt q q( )vv q 共轭动量，其满足 12 (,)t n pp pp( , ),1,2, jqj plq qjn 下面定义 则( , )( , ) t h q pp ql q q , tt ttt qll ql hpp q qqqqq ql q hqpq p pqq 令，那么上述方程可表示如下：( , )tzq p 1 0 ( ), 0 n z n i zjh z j i 其中，为 n 阶单位矩阵，称为有限维 hamilton 系统，h(z), d zz in dt 1 ( ) z zjh z 为 hamilton 函数。 hamilton 系统有两个重要特性：守恒性与辛结构。我们知道 hamilton 系统的解 是一个单参数的保测变换,即辛变换。因此在研究 hamilton 系统的计算方法时候， 都要使得离散后的方程保持原有系统的辛结构。用传统的数值算法模拟 hamilton 系 统，会破坏系统的辛结构，进而使数值模拟不能保持长时间的稳定。因此构造一种 上海交通大学硕士学位论文 - 13 - 能保持 hamilton 系统的辛结构的算法，具有重要意义，称能保持 hamilton 系统辛 结构的算法为辛算法。 无限维 hamilton 系统一般情况下可以表示为： (1.28), t h jz z 其中，z=z(x,t)为状态向量，h 为 hamilton 函数： (1.29) ( ,), , t xz h h zf z z dxd h z 为 h 的 frechet 导数。 x zzxz d hff 等式(1.28)也可通过 lagrange 泛函导出。考虑如下非线性 klein-gordon 方程 ，其中，为某一光滑非线性函数。 ( ) 0 ttxx uuf u ( ) f u 对以下的 lagrange 泛函作变分 (1.30) 22 11 ( ,) t tx tx x ll u u u dxdt 其中 lagrange 密度为： 22 11 ( ,)( ), 22 xttx l u u uuuf u 就可以得到 euler-lagrange 方程： ( ) 0. ttxx txx lll uuf u tuuu 对 lagrange 密度 l 作 legendre 变换，即令得到一阶方程组 t t l vu u (1.31) ( ), . txx t vuf u uv 令 ( , ) , t zu v 2 1 22 01 11 ,( , )( ) 1022 x xx jh u vvuf u dx 则(1.31)等价于 hamilton 系统(1.28)。相应的辛二形式为： 上海交通大学硕士学位论文 - 14 - 2 1 () x x wdudv dx 从以上过程可知，legendre 变换仅对时间方向进行。若对空间方向也进行 legendre 变换，即可得到相应一阶方程, x x l wu u (1.32) ( ), . ttt x wuf u uw hamilton 函数为： 2 1 22 11 ( , )( ) 22 t tt h u wwuf u dx 相应空间方向的辛二形式为： 2 1 () . t t dudv dt 大量的孤立波方程，可表示为无限维 hamilton 系统。例如： 非线性 schrodinger 方程： 2 |0. txx i 其 hamilton 函数为： 2222 1 ( )(), 22 xx h zpqpqdx 其中,( , ).piq zp q kdv 方程： 0 txxxx uuuu 其 hamilton 形式为： 23 11 ,( )() 26 txx h uh uuu dx u 将求解有限维 hamilton 系统的辛算法推广到无限维最直接有效的方法是：先对 空间方向进行离散，这样离散以后的系统为有限维 hamilton 系统，然后应用辛算法。 常用的半离散方法为差分法20,21,22,23,24，拟谱方法和配置点法25等。 在上例导出非线性 klein-gordon 方程的无限维 hamilton 形式时，采用的是不 上海交通大学硕士学位论文 - 15 - 完全 legendre 变换。若对方程(1.29)采用完全的 legendre 变换，即同时令 ，可得到相应一阶方程组：, tx tx ll vu wu uu (1.33) ( ), , . tx t x vwf u uv uw 记(1.33)等价于： 22 1 ( , , ) , ( )()( ), 2 t zu v ws zwvf u (1.34)( ) txz mzkzs z 其中 010001 100 ,000 000100 mk bridges 和 reich 称形如(1.34)的方程为具有多辛结构的 hamilton 系统。 求解有限维 hamilton 系统的辛算法与其它方法相比具有许多优点，其中有一点 就是辛算法可以对守恒量长时间数值模拟。但是当用辛算法对无限维 hamilton 进行 离散时具有局限性，具体表现在守恒量是全局性的。为了克服此局限性，marsden 等26,27,28,29和 bridges30,31,32分别从 lagrange 系统和 hamilton 系统出发，提 出了多辛 hamilton 系统和多辛算法的概念。marsden 等是从变分原理开始，由边界 项得到辛形式，限制到具体方程上得到该方程的多辛守恒律；bridges 是将有限维的 hamilton 系统推广到无限维 hamilton 系统，使得偏微分方程在时间方向和空间方向 上都有各自不同的辛结构。 多辛结构的良好特征是它可以导出一个包含微分二形式的守恒律，即多辛守恒 律。与多辛守恒律相对应的是多辛 hamilton 系统具有能量守恒律和动量守恒律。由 于这些守恒律不依赖边界，因而都是局部守恒律。 bridges 和 reich 考虑了一般情形的多辛 hamilton 系统。设是有限维相 d qr 空间，s 为 q 上的函数，m，k 为两个反对称矩阵，则称 上海交通大学硕士学位论文 - 16 - (1.35)( ) z mzkzs z 为多辛 hamilton 系统。其中，为反对称矩阵；为状态向3, d d dm kr ( , )z 量及为光滑函数；表示函数关于 z 的梯度，为底空 1 : d s rr( ) zs z ( )ss z, 间的两个独立变量。 具有 m 个空间变量的一般多辛 hamilton 系统可表示为： (1.36) 1 ( , )( , )( , , ), m md titz i m x tzk x tzs z x t xrzr 洪佳林等对(1.36)作了详细的讨论33,34,35，为简单起见，我们仅讨论具有一个空 间变量，且系数矩阵为常系数的情形，即(1.35)中。, tx bridges 和 reich 证明了多辛 hamilton 系统(1.35)具有如下局部守恒律，即多辛 守恒律、局部能量守恒律和局部动量守恒律。 hamilton 系统(1.35)满足多辛守恒律： (1.37)0, tx w 其中分别对应于 t 和 x 方向的两个不同的辛结构。,.wdzmdzdzkdz 多辛 hamilton 系统(1.35)具有局部能量守恒律： (1.38) 11 0,( ), 22 tt txxt efes zz kz fz kz 和局部动量守恒律： (1.39) 11 0,( ). 22 tt txxt igiz mz gs zz mz 利用矩阵分解： , , tt mmmkkk mmkk moore36得到了多辛守恒律、局部能量和动量守恒律的另一种表示，即 ,. ( ), ,( ). tt xt tt xt wdzm dzdzk dz es zz k z fz k z iz m z gs zz m z 上海交通大学硕士学位论文 - 17 - 与无限维 hamilton 系统比较，多辛 hamilton 系统具有的守恒律都是局部的， 但是它们在任意的时空区域内成立，而且不依赖于边界条件。若对局部守恒律在空 间方向积分，并利用适当的边界条件，就可导出相应的整体守恒律即辛守恒律、能 量守恒律和动量守恒律。而这些适当的边界条件显然也是整体守恒律的必要条件。 因此，局部守恒律蕴涵着整体守恒律。另外多辛 hamilton 系统的相空间是有限维的， 因而可应用有限维的理论来分析方程的性质。 1.3 原有的数值方法原有的数值方法 1.3.1 时间分裂方法时间分裂方法 时间分裂方法31-35是近些年研究非线性偏微分方程数值解时使用较多的方法， 目前常见的有分裂差分方法36-40、分裂谱方法41-46等等，时间分裂方法的主要 优点是把方程的非线性项与线性项分开计算，把较难处理的非线性项单独处理。 时间分裂方法的基本原理37如下： 对方程： (1.40) 2 |0, txx iuuq uu 方程(1.40)改写为如下形式： (1.41)( )( ) , t uiluin u ui ln u u 其中 分别为方程的线性项和非线性项。,( )|w xx luun u uq uu 在时间步上，由(1.41)有： ,t t (1.42)( ,)exp( ( )( , ),u x tiln uu x t 即有： (1.43)exp( ( )( , )exp() exp( )( , )iln uu x ti li n uu x t 上海交通大学硕士学位论文 - 18 - 设是的近似，由(1.42)可得( , )u x t( , )u x t (1.44) ( ,)exp() exp( )( , )u x ti li n uu x t 则可以得到如下的分裂格式： (1.45) * exp(), nn ui n uu (1.46) 1* exp(), n ui l u 其中为函数在时间层对 u 的逼近。 n u n 因此方程(1.40)可以采用下面的时间分裂步来进行计算： 分裂步 1： (1.47)( ) , t uin u u 分裂步 2： (1.48). t uilu 方程(1.47)是一个非线性的常微分方程，可以精确的求解，方程(1.48)可以采用 不同的数值方法来计算，常见的有分裂谱方法，分裂差分方法，如分裂 c-n 格式等 等。 分裂格式(1.47)-(1.48)在时间方向上为一阶的。根据 strang31的分裂思想，可 构造如下在时间方向上二阶的分裂格式： (1.49) * exp() / 2), nn uin uu (1.50) * exp(),ui l u (1.51) 1* exp() / 2). nn uin uu 本格式相当于对(1.47)分别在时间步和进行了两次的计 ,/2t t/2,tt 算。 对本问题利用时间分裂方法，其步骤如下： step1. 方程组(1.25)的第一个方程可分解为： (1.52) 2 0, 0. tx t i i 上海交通大学硕士学位论文 - 19 - step2. 对方程组(1.52)的第一个方程做傅里叶变换得： 得 2 ()0, t iik * 2 t ni e 进一步解得 *1* f step3. 对方程组(1.25)的第二个方程做傅里叶变换得： * 2 | , t i kf 然后对上述方程做差分得进而可求出： 1 * 2 | . 2 nn i kf t 1n 1* 2 11* 2 2| . (2| ) nn nn i t kf fi t kf step4. 直接解方程组(1.52)的第二个方程可得： 1 1 * 2 nn tn tn id it ee step5. 最后求出： !n 2 11* 2 t i k n fe 这一小节先是对时间分裂步方法的基本原理的一个简单介绍，然后简单推导得 出时间分裂步方法在本篇文章当中对耦合长短波方程的实现步骤，当然以上五个步 骤也是在用 matlab 进行数值试验时的基本编程思路。在本文的数值试验部分，取特 定的参数及变量值就可以按照上述步骤编写程序得出相应的结论。 1.3.2 crank-nicolson 方法方法 对方程组(1.25)进行以下的差分离散： 上海交通大学硕士学位论文 - 20 - 111111 1111 2 1122 11 22 ()(), 222 | 22 nnnnnnnnnnnn jjjjjjjjjjjj nnnn jjjj i tx tx 记如下： 11 , nnnn 11 1111 11 112222 11 , nnnn nnnn nnnn nnnn nnnn 其中下标 n 是时间节点数。 将上述方程组的第一个等式按照定义的合并空间指标 j 之后得 11 , nnnn 到下面这个等式： 1111 2 42 ()()() () nnnnnnnn i ab tx 其中 a 是单位矩阵，b 和运算是如下格式：nn 111 1 2222 211 12 , 1 112 nnnn uvu v uvu v buvu v uvu v 上式两边同时乘以： 2 t x 211211 4()2()() () nnnnnnnn i x atbt x 化简得： 212211 4242() () nnnnnn i x atbi x atbt x 令上式可变为： 22 12 42,42.bi x atb bi x atb 111211 121 () () nnnnnn b bbt x 同理方程组第二式可化为： 上海交通大学硕士学位论文 - 21 - 122 | nnnn t cd x 其中 010 000 , 1 100 c 001 100 . 0010 d 综上所述最后推出迭代格式为： 111211 121 122 () () | nnnnnn nnnn b bbt x t cd x 本文研究的方程是耦合的长短波方程，它是 schrodinger-kdv 方程组的一个特 例。本文所做的工作主要是建立耦合的长短波方程的几种多辛格式，并通过数值试 验与已有的数值算法比较。 在本文的第一章引言中，会介绍一下耦合的长短波方程的背景，然后叙述 hamilton 系统、辛算法和多辛算法，进而会介绍两种现在认可的数值算法：时间分 裂方法和 crank-nicolson 方法，并对相应的格式进行简单的推导。 在本文的第二章中，会详细叙述新建立的三种多辛格式，它们是 euler box 格 式、多辛 preissman 格式和 fourier 拟谱格式，给出相应的性质并格式的误差的阶 数做了详细的说明。三种多辛数值算法用来解决周期性带有初始问题的长短波相互 作用方程。 第三章是本文的数值试验，针对上述 5 种数值格式，取三组时间步长 dt 和相 应的节点数 n 算出各自的误差，并根据公式求出相应的误差的阶数。 第四章是本文的结论说明，通过理论分析和数值实验来分析新构造的三种格式， 给出本篇文章的结论。 上海交通大学硕士学位论文 - 22 - 第二章第二章 多辛格式多辛格式 根据多辛的定义9，如果偏微分方程可表示为：f( ,)0 txtx u u u u (2.1)( ), txz mzkzs z 则称方程（2.1）为多辛 hamilton 系统。其中：m,k是反对称矩阵； d d r z(x，t)是状态变量的函数。s：是光滑函数；是 hamiltonian 函数 s 1d rr ( ) zs z = s (z)的梯度。 多辛格式满足多辛守恒律 (2.2)0 tx 是外微分格式, (2.3) 11 , 22 dzmdzdzkdz 定义了一个对称的时间空间结构。多辛结构由 nothers 定理8自然地可以, 得到局部守恒律。事实上，对于 hamiltonian 系统中的偏微分方程(2.1)，当 s 与 x，t 无关，可以得到局部能量守恒律和局部动量守恒律。 (2.4) 11 0,( ), 22 tt txx efes zz kzfz kz (2.5) 11 0,( ), 22 tt txxt igiz mz gs zz mz 对于周期边界或者在边界条件为 0 的 f(z)和 g(z)，可以推出整体能量和动量守 恒律 (2.6)( )0,( )0, dd zi z dxdx 其中， ( )( ( , ), ( )( ( , ). rr ze z x t dx i zi z x t dx 能保持离散多辛守恒律的数值方法为多辛算法9,10,11。为了得到长短波相互 上海交通大学硕士学位论文 - 23 - 作用方程的多辛格式，令 22 ,2,22 (), xxxx uivupvqr sruv ( , , , , , , )tzu v p qr s 方程组(1.25)可以用下列一阶方程组表示： (2.7) 22 222, 222, 22, 22, 1 (), 2 0, 1 , 2 tx tx x x t tx x vpu uqv up vaq suv s r 反对称矩阵 m, k 表示如下。 02000000020000 20000000002000 00000002000000 ,00000000200000 00000100000000 00001000000000 00000000000000 mk 方程(2.1)等号右边的 s(z)为： 2222 1 ( )()() 2 s zuvpqs 直接计算就可以得出方程组(3.1)满足多辛守恒律： (2.8)(2)(22)0 tx dvdudrddudpdvdqdrds (2.4)和(2.5)中定义的密度函数可以下面给出 上海交通大学硕士学位论文 - 24 - (2.9) 2222 2 22222 ()(), 1 ()(), 2 1 (), 2 ()()() 11 () 22 tttttt xx tt tt euvpq fupp uvqqvssr ivuuv guvpqv uuv rrs 加上适当的边界条件可以得到整体守恒律。例如在周期或者消失在无限边界条 件的情况下可对 e 和 i 在空间区域上积分，就可以得到整体能量守恒律(1.6)和动量 守恒律(1.7)。 (2.10) 22 2 (), (). x xx dx iidx 对于长短波相互作用方程这是两个很重要的整体守恒律。 2.1 euler box 格式格式 根据13通过引入两个矩阵 m 和 k 的分裂矩阵可以获得方程组(2.1)的 euler- box 格式。例如，分裂矩阵 m,k 如下： (2.11) , ,. t t mmmmm kkkkk 相应的格式变为： (2.12)(). nnnnn tjtjxjxjzj m d zm d zk d zk d zs z 格式(2.12)满足离散多辛守恒律： (2.13) 0 nn tjxj dd 其中 很明显矩阵的分裂是不唯一的。但 11 ,. nnnnnn jjjjjj dzm dzdzk dz 是在本文中，分别是 m,k 的上三角矩阵。这种特殊的选择