高考数学立体几何解答题.doc

立体几何解答题 c1、已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面， ，为的中点，为中点() 求证：直线平面；（）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值1、法一（）取的中点为，连接， 则，且，3分 则四边形为平行四边形， 则，即平面6分 （）延长交延长线于点，连接， 则即为平面与平面的交线， 且， 则为平面和平面所成的锐二面角的平面角8分 在中，12分 法二 取中点为，连接，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，2分（）则，设平面的法向量为，则，即4分令，则，即，所以，故直线平面6分（）设平面的法向量，则12分2、如图,在矩形abcd中，ab5，bc3，沿对角线bd把abd折起，使a移到a1点，过点a1作a1o平面bcd，垂足o恰好落在cd上（1）求证：bca1d；（2）求直线a1b与平面bcd所成角的正弦值解：（1）因为a1o平面bcd，bc平面bcd，bca1o，因为bccd，a1ocdo，bc面a1cd因为a1d面a1cd，bca1d（6分）（2）连结bo，则a1bo是直线a1b与平面bcd所成的角因为a1dbc，a1da1b，a1bbcb，a1d面a1bca1c面a1bc，a1da1c在rtda1c中，a1d3，cd5，a1c4根据sa1cda1da1ca1ocd，得到a1o，在rta1ob中，sina1bo所以直线a1b与平面bcd所成角的正弦值为（12分）3、如图，pa平面abcd，abcd是矩形，pa=ab=1，pd与平面abcd所成角是30，点f是pb的中点，点e在边bc上移动 （）点e为bc的中点时，试判断ef与平面pac的位置关系,并说明理由； （）证明：无论点e在边bc的何处，都有peaf； （）当be等于何值时，二面角p-de-a的大小为45思路点拨：本题是一个开放型问题，考查了线面平行、线面垂直、二面角等知识，考查了同学们解决空间问题的能力。（）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；（）通过证明即可解决；（）作出二面角的平面角，设出be的长度，然后在直角三角形dce 中列方程求解be的长度。本题也可利用向量法解决。解: 解法一:（）当点为的中点时，与平面平行-1分在中，、分别为、的中点， 又平面，而平面 平面 4分（）证明:,，又,又， -6分又,点是的中点,8分（）过作于，连，又，则平面,则是二面角的平面角，10分与平面所成角是，设，则，在中，得 12分解法二:（向量法）（）同解法一4分（）建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则 8分（）设平面的法向量为，由，得：，而平面的法向量为,二面角的大小是,所以=，得 或 （舍） 12分归纳总结：无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直），这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁。 而空间向量是解答立体几何问题的有利工具，它有着快捷有效的特征，是近几年高考中一直考查的重点内容。4、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上（i）当时，求证平面（ii）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的大小解：（）在平行四边形中，由，易知，2分又平面，所以平面,，在直角三角形中，易得，在直角三角形中，又，可得.，5分又，平面6分（）由（）可知,，可知为二面角的平面角， ，此时为的中点. 8分过作,连结,则平面平面,作,则平面,连结,可得为直线与平面所成的角因为,所以.10分在中，直线与平面所成角的大小为.12分解法二：依题意易知，平面acd以a为坐标原点，ac、ad、sa分别为轴建立空间直角坐标系，则易得，（）由有，3分易得，从而平面ace6分 ()由平面，二面角的平面角.又，则 e为的中点， 即 ,8分设平面的法向量为则，令,得，10分从而，所以与平面所成角大小为12分5、如图，在三棱柱中，顶点在底面上的射影恰为点，且（）证明：平面平面； （）求棱与所成的角的大小；（）若点为的中点，并求出二面角的平面角的余弦值证明：（）面, -1分 又， 面， -3分面， 平面平面；-4分（）以a为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， -6分，故与棱bc所成的角是 -8分（）因为p为棱的中点，故易求得 -9分 设平面的法向量为，则,由 得 令，则 -11分 而平面的法向量=(1,0,0)，则 -12分abdec由图可知二面角为锐角故二面角的平面角的余弦值是 -13分 6、已知平行四边形abcd中，ab=6，ad=10，bd=8，e是线段ad的中点沿直线bd将bcd翻折成，使得平面平面abd（）求证：平面abd；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求二面角的余弦值证明：（）平行四边形abcd中，ab=6，ad=10，bd=8， 沿直线bd将bcd翻折成 可知cd=6，bc=bc=10，bd=8，即， 故 2分 平面平面，平面平面=，平面， 平面abd 5分（）由（）知平面abd，且，如图，以d为原点，建立空间直角坐标系 6分abdecxyz则，e是线段ad的中点，在平面中，设平面法向量为， ，即，令，得，故 8分设直线与平面所成角为，则 9分 直线与平面所成角的正弦值为 10分（）由（）知平面的法向量为， 而平面的法向量为， ， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为7、如图，四棱锥的底面是直角梯形，和是两个边长为的正三角形，为的中点，为的中点 ()求证：平面； ()求证：平面； ()求直线与平面所成角的正弦值解：（）证明：设为的中点，连接，则f，四边形为正方形，为的中点，为的交点， ， ，在三角形中，4分，平面； 5分()方法1：连接，为的中点，为中点，平面，平面，平面. 9分f方法2：由()知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：，则，.平面，平面，平面； 9分() 设平面的法向量为，直线与平面所成角，则，即，解得，令，则平面的一个法向量为，又则，直线与平面所成角的正弦值为. 14分8、如图，已知菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥.（）若点是棱的中点，求证:平面；（）求二面角的余弦值；m（）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论.（）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，. 1分因为平面,平面,所以平面. 3分abcodxyzm（）解：由题意，因为，所以，. 4分又因为菱形，所以，.建立空间直角坐标系，如图所示.所以 6分设平面的法向量为，则有即：令，则，所以. 7分因为,所以平面. 平面的法向量与平行，所以平面的法向量为. 8分，因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为. 9分（）解：因为是线段上一个动点，设，则，所以， 10分则，由得，即，11分解得或， 12分所以点的坐标为或. 13分（也可以答是线段的三等分点，或）9、如图，在多面体abcdef中，四边形abcd是矩形，abef，eab=90，ab=2，ad=ae=ef=1，平面abfe平面abcd。（1）若点o为线段ac的中点，求证：；（2）求平面与平面所夹的角。 10、如图，已知四棱锥pabcd的底面是直角梯形，ab=bc=2cd=2，pb=pc，侧面底面abcd，o是bc的中点。（1）求证：平面abcd； （2）求证： （3）若二面角dpao的余弦值为，求pb的长。（）证明：因为，是的中点，所以，又侧面pbc底面abcd，平面，面pbc底面abcd，所以平面 4分()证明：以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设,则， 因为，所以，即 8分()解：设平面和平面的法向量分别为， 注意到， 由，令得， 由令得， 所以，解之得，所以为所求12分11、abcdea1b1c1(第11题图)如图，在三棱柱abc-a1b1c1中 (1)若bb1=bc，b1ca1b，证明：平面ab1c平面a1bc1；(2)设d是bc的中点，e是a1c1上的一点，且a1b平面b1de，求的值解：(1)因为bb1=bc，所以侧面bcc1b1是菱形，所以b1cbc1 3分又因为b1ca1b ，且a1bbc1=b，所以bc1平面a1bc1， 5分又b1c平面ab1c ，所以平面ab1c平面a1bc1 7分(2)设b1d交bc1于点f，连结ef，则平面a1bc1平面b1deef因为a1b/平面b1de， a1b平面a1bc1，所以a1b/ef 11分所以又因为，所以 14分12、如图甲，在平面四边形abcd中，已知,现将四边形abcd沿bd折起，使平面abd平面bdc（如图乙），设点e、f分别为棱ac、ad的中点()求证：dc平面abc；图甲在图乙()求bf与平面abc所成角的正弦；()求二面角befa的余弦（）证明：在图甲中且 ，即 (1分)在图乙中，平面abd平面bdc ， 且平面abd平面bdcbdab底面bdc，abcd (3分)又，dcbc,且dc平面abc (4分)（）解法一：e、f分别为ac、ad的中点ef/cd，又由（1）知，dc平面abc，ef平面abc，垂足为点efbe是bf与平面abc所成的角 (5分)在图甲中，, ,设则,， (7分)在rtfeb中，即bf与平面abc所成角的正弦值为 (8分)解法二：如图，以b为坐标原点，bd所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设，则， (5分)可得,，, (6分)设bf与平面abc所成的角为，由（1）知dc平面abc (8分)（）解法一：由（）知 fe平面abc，又be平面abc，ae平面abc，febe，feae，aeb为二面角befa的平面角 (10分)在aeb中，即所求二面角befa的余弦为 (12分)解法二：由（）知,，；则， (9分)设平面的法向量为，平面的法向量为，则，；解得； 即， (11分)即所求二面角befa的余弦为 (12分)13、在直角梯形abcd中，ab/cd，ab=2bc=4，cd=3，e为ab中点，过