平面曲线对称性的判别方法学士学位论文.docx

毕业论文平面曲线对称性的判别方法目 录1引言12平面曲线对称性定义12.1由直角坐标方程表示平面曲线对称性的定义12.2由参数方程表示平面曲线对称性的定义12.3由极坐标方程表示平面曲线对称性的定义13平面曲线对称性判定43.1由直角坐标方程表示平面曲线对称性的判定13.1.1关于直线对称13.1.2关于点对称13.1.3举例13.2由参数方程表示平面曲线对称性的判定13.2.1关于直线对称13.2.2 关于点对称13.2.3举例13.3由极坐标方程表示平面曲线对称性的判定13.3.1对称性判定13.3.2举例14结束语16参考文献1致谢1平面曲线对称性的判别方法数学系本0802班 冯文平指导教师：兰旺森摘 要：平面曲线的对称性对于函数研究具有重要意义。利用函数的奇偶性和导数的有关概念，推导出几个用导数的方法判定函数图像对称性的结论，并通过实例验证了这些结论对判断一般曲线的对称性是方便可行的。本文给出了平面曲线轴对称与点对称的定义和判定定理,指出可以用类似求一元函数极值和拐点的办法判定曲线的对称轴和对称中心,从而平面曲线的对称性可以归结为导数应用问题。关键词：平面曲线，对称性，直角坐标方程，参数方程，极坐标方程。determine of plane curves symmetryfengwenpingclass 0802, mathematics departmenttutor: lanwangsenabstract:symmetry of plane curve is important to function research. with the relevant concepts about parity of function and derivative, the paper is designed to deduce several conclusions that can measure the symmetry of general curve by derivative method, and test and verify these conclusions are convenient and workable though living examples. this article includes the definition andtheorem of exial symmetry and center symmetry, and also points out that thedetermine of symmetry axisand center of symmetry is similar to calculating extremum and inflexion point of function. so determine ofplane curves symmetry comes down to the application of derivative.key words:plane curve, symmetry, rectangular coordinate system, parametric equation, polar coordinates equation.251引言平面曲线对称性这部分知识，渗透在数学的各部分内容中，有着十分广泛的应用。对称性是函数的一条十分重要的性质，应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学中复杂的知识简单化，起到了很大的作用，对学生的逻辑思维能力和数形结合思想有较高的要求。平面曲线对称性对函数的研究具有重要的意义。在高等数学和数学分析的教学中，涉及到求由直角坐标方程、参数方程和极坐标方程表示的曲线所围成区域的面积，很多时候我们需要知道区域的对称性，以便简化计算。通常我们要画出函数的图像再来确定其对称性，这样既麻烦而且其对称性的得出也不规范。本文将探讨这三种方程所表示的函数曲线对称性的一般方法。本文给出平面曲线轴对称和点对称的定义和判定定理。2平面曲线对称性定义2.1由直角坐标方程表示平面曲线对称性的定义定义1 设曲线的直角坐标方程为,若存在,使得或 恒成立,则称曲线对称于直线,并且称直线为曲线的对称轴。定义2 设曲线的直角坐标方程为,若存在曲线上的点,使得：或恒成立,则称曲线对称于点,并且称点为曲线的对称中心。特殊：当时,式可变为;当时,式可变为。这便是所说的“偶函数对称于轴,奇函数对称于原点”。例1 函数对一切实数满足，且方程恰有个不同实根，则这个根的和为( ) 解：的图像由定义可知关于直线对称，故可设个实根分别为，则其和为,因此选。例2求曲线的对称中心。解：设的对称中心为，则对一切有：即有：比较等式两边同次幂的系数，得：即即可化简为：所以可以得到所以曲线的对称中心为。2.2由参数方程表示平面曲线对称性的定义定义3 设曲线的参数方程为, ,若存在和常数使得：(1)(2) 恒成立，则称曲线关于直线对称。定义4 设曲线的参数方程为, ,若存在和常数使得：(1)(2) 恒成立，则称曲线关于直线对称。定义5 设曲线的参数方程为,若存在和常数分别使得：(1)(2) 恒成立，则称曲线关于直线对称。定义6 设曲线的参数方程为, ,若存在和常数分别使得：(1)(2) 恒成立，则称曲线关于直线对称。定义7 设曲线的参数方程为, ,若存在和常数分别使得：(1)(2) 恒成立，则称曲线关于点对称。2.3由极坐标方程表示平面曲线对称性的定义定义8 设曲线的极坐标方程为,若存在常数，使得对的一切可取值有：恒成立，则称曲线关于直线对称，也称为第一类对称。定义9 设曲线的极坐标方程为,若存在常数，使得对的一切可取值有：恒成立，则称曲线关于直线对称，也称为第二类对称。3平面曲线对称性判定3.1由直角坐标方程表示平面曲线对称性的判定3.1.1关于直线对称定理 1：若函数在处有意义，且存在，则函数是偶函数（图像关于直线对称）的充要条件是：是奇函数即：证明：必要性：因是偶函数，且存在，则，并且令，因为，所以。因此有所以是奇函数。显然有时。充分性：由于是奇函数，则，对它进行两边同时积分，则：，即有：。因当时，有意义，即函数过点，所以从而有。则可得到，因而是偶函数由定理1可知是奇函数时，它的原函数都是偶函数。推论：若函数 为偶函数，且存在，则为偶函数。定理2：设在定义域d内可导,则有对称轴的充要条件是： 证明:必要性：由于有对称轴，则有：上式两边同时对求导得：故而有： 下面论证其充分性。由式积分得: 令得。故有：,即有对称轴。在式中令可得根据定理2，在函数的一阶导数存在的条件下，要判断一个一般的曲线是否关于直线对称，只要令，解得，再代入式或式检验;若在不可导,则可直接用式判定。从几何上讲，这个定理不仅印证了“轴对称图形上一对对称点处的两条切线有互补的倾角”(即切线也关于此轴对称)这一显著事实,而且反过来表明了这一命题的可逆性。即如果曲线上关于某直线的任意一对对称点处的切线关于此直线对称，那么这条直线就是曲线的对称轴。3.1.2关于点对称定理3：若函数过点，且存在，则函数是奇函数（图像关于点对称）的充要条件是：是偶函数，即。证明：必要性：证法同定理l(略)，现证明充分性:由于是偶函数，所以，对它进行两边同时积分有：则：因为过点，而当时，代人知，此时对函数有，故函数是奇函数。由定理4表明导函数为偶函数时，它的原函数簇中只有过点的一个原函数是奇函数，其余均不是奇函数，它们可由过点的奇函数加任意常数而得到。推论：若函数为奇函数且存在，则其也是奇函数。定理4:设曲线在定义域d内的二阶导存在,则关于点对称的充要条件是：是关于的奇函数，且时，。证明：令，则：，在以为原点的坐标系中，曲线变为：当，即函数过点。因为：而由定理3知函数是的奇函数（图像关于成中心对称）的充要条件是：是的偶函数。由定理1知函数是的偶函数的充要条件是：是的奇函数，且时，。即函数关于点对称的充要条件是关于的奇函数，且时，。根据定理4，要判断一条曲线是否关于其曲线上某一点成中心对称，只要令，解得，再把代人，如果是t的奇函数，则曲线关于点成中心对称，否则曲线不关于点成中心对称。定理5：设在定义域内可导,则有对称中心的充要条件是：证明:必要性由式对求导即得。下面论证其充分性。由式积分得:令得,便可推出式。即有对称中心。这个定理的几何意义也是显然的,即有对称中心当且仅当曲线上关于对称的任意一对对称点处的两条切线平行。若在二阶可导,则由式有令可得这说明:欲求的对称中心,在二阶可导的情况下,可以像求拐点那样进行。先解出方程的根,再代入式检验或连同代入式检验;如果在不可导,则可直接用式判定;若在仅一阶可导,则可用式检验。3.1.3举例例 1 若是常数，试判断函数的对称性。解：由题可得：而：则可知：由定理1可知关于直线对称。例2试讨论函数的对称性。解：由题可知：令，解得：带入式成立，可知是它的对称轴。又有解得：分别代入式不成立，则曲线无对称中心。例3求曲线的对称性。解：对函数求导得：令得：有：由定理2可知函数无对称轴。而又有令得：方法一：由上述可知：而：则由定理2可知函数有对称中心。方法二：令代入得：可知是的奇函数，即：而：所以曲线关于点对称。3.2由参数方程表示平面曲线对称性的判定3.2.1关于直线对称定理6若曲线的参数方程为, 它们满足条件：(1)(2)对,是关于点的广义奇函数,即，是关于的广义偶函数,即，则曲线关于对称。证明:令,由条件(2)有：，所以参数与所对应的曲线上的点分别为,而这两点关于轴对称.由的任意性知,曲线关于对称。定理7若曲线的参数方程为, 它们满足条件：(1)(2),是关于点的广义奇函数,即，是关于的广义偶函数,即则曲线关于对称。证法同定理6定理8 设曲线方程为, ,且, 在内可导，若存在使得，(1)若满足：则曲线, 关于对称。(2)若满足：则曲线, 关于对称。定理9 设曲线方程为, ,且, 在内可导，若存在使得，(1)若满足：则曲线, 关于对称。(2)若满足：则曲线, 关于对称。3.2.2 关于点对称定理10 若，均为奇函数,且存在反函数,则曲线，关于点对称。证明：的反函数为,由于为奇函数,即,所以即,的反函数也为奇函数,于是也必为奇函数,事实上，即为奇函数,所以曲线关于点对称。定理11 设曲线方程为, ,且, 在内可导，若存在使得：，若满足：则曲线, 关于对称。3.2.3举例例1判断椭圆的参数式为的对称性。解：由椭圆的参数式为知，存在，使得：对,有：故关于为广义奇函数，而故关于为广义偶函数，故曲线关于对称。存在,使得椭圆的参数方程满足定理7,故椭圆关于也对称。例2判断曲线的对称性。解：由曲线即：而：，则可知和均为奇函数，且可知存在反函数：则由定理10可知，曲线关于点对称。例3 研究摆线的对称性。解：因为：将它代入定理8有：从而可以推出：代入定理8（1）有：令：可得摆线有对称轴：而代入定理8（2）不符合。同理将，代入定理9和11都不满足，所以摆线只有对称轴。例4 研究星形曲线的对称性。解：因为：代入定理8可知：化简可解得：将，代入定理8的（1），（2）有：可得：。从而可知星形曲线有对称轴。由上可知是它的对称中心。3.3由极坐标方程表示平面曲线对称性的判定3.3.1对称性判定定理14若曲线的极坐标方程为,(1)若关于为广义偶函数,即,则曲线关于对称。(2)若关于为广义偶函数,即,曲线关于对称。定理15若曲线的极坐标方程为,(1)若为偶函数,即,则曲线关于对称。(2)若关于为广义偶函数,即,则曲线关于对称。定理16若曲线的极坐标方程为,(1)若,则曲线关于对称。(2)若,则曲线关于对称。(3)若,则曲线关于对称。(4)若,则曲线关于对称。定理17 设曲线的极坐标方程为,若存在常数，且在的某领域内可导：(1) 若有，则有第一类对称轴。(2) 若有，则有第二类对称轴。3.3.2举例例1 判断心形曲线的对称性。解：因为：则由定理15可知曲线关于对称。例2 判断玫瑰线的对称性。解：由题可知：则可令:,解得：代入定义8可知：则曲线有第一类对称轴，得到不重合的对称线6条：同理可令，得：。由定义9可知：即可知有第二类对称轴，得不重合的对称线5条。但由于第一类和第二类重合，则共有6条对称轴：。4结束语在本文给出了平面曲线轴对称与点对称的定义和判定定理,对数学的学习又很重要的意义，特别是在数学分析中有关曲线和曲面部分的应用。本文指出可以用类似于求一元函数极值和拐点的办法判定曲线的对称轴和对称中心,从而平面曲线的对称性可以应用导数问题来判断。总而言之，对称性问题在解决相关题时又很重要的作用。在中学中没有系统的介绍关于中心对称和轴对称的问题。然而对称思想是一种重要的数学思想方法，因此在高中以及大学的学习中，我们以你注重指导学生掌握一些解决对称性问题的方法，学会一些判断对称性的方法。参考文献1杨峻,刘玉晓,毛凤梅.平面曲线对称性的判定j.平顶山工学院学报,2003,12(3):47-48.2同济大学数学教研室.高等数学m.北京:高等教育出版社,1987.3张文忠.周期函数集萃m.重庆:西南师范大学出版社,1987.4王业勇.关于对称曲线方程的几个定理j.武陵学刊,1999,20(3):85-86.5仇春霖.简明美学原理m.北京:高等教育出版社,1987.6左元斌.试用导数判断曲线的对称性j.盐城工学院学报,2001,14(1):71-72.7金玲.关于对称问题j.大庆高等专科学校学报,1997,17(4):15-19.致谢时光如梭，短暂而有意义的四年大学生活即将结束，此时看着毕业设计摆在面前，我感慨万千。它不仅承载了我四年来的学习收获，更让我学会了如何求学、如何进行科