以空间图形为背景的轨迹问题的探求.doc

以空间图形为背景的轨迹问题的探求伴随新课程的不断深入，近几年高考试题，设置了一些开放题，具有新颖性、综合性.在知识网络交汇处设计试题是当今高考命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”.这类题目已突破传统的筐筐，涵盖的知识点多，较抽象，学生求解起来颇感困难，得分率偏低，令人惋惜.本文通过几道典型例题的分析，寻求空间轨迹问题的探求方法.1 分析动点满足的几何性质；通过设轨迹上任意一点，根据条件求出动点的某些特征，再类比已学过的曲线的定义和性质，来寻求突破.1.1 利用线面垂直关系【例1】cda1bd1111111c1b1a1 正方体中，点p在侧面及其边界上运动，在运动过程中，保持ap，则动点p的轨迹是（ a ） a.线段 pb.线段c.中点与中点连成的线段d.中点与中点连成的线段解：联想到线面垂直，转化为求ap运动所形成的面与垂直，易证，故选a.1.2 联想圆的定义 【例2】如图所在的平面和四边形所在的平面垂直，且， ， ，则点在平面内的轨迹是（ a ）a圆的一部分 b椭圆的一部分c双曲线的一部分 d抛物线的一部分， 有在平面pab内，以ab所在直线为x轴，ab的中点为坐标原点，设p（x,y）则，化简得，注意到点p不在直线ab上，故除掉 选a.bcdac1b1a1d1p2p1pp3p6p4p5练习：已知正方体的棱长为1，在正方体的表面上与点a距离为的点的集合形成一条曲线，则该曲线的长度为（ b ） a. b. c. d. 解：当点p在上底面时，连ap、a1p，在直角apa1中，求得pa1=，即弧p1p2的长.同理左侧面的弧p5p6、后侧面的弧p3p4的长也为；当点p在前侧面时，弧p1p6的半径为，因为直角a1p1a中，直角边a1p1的长为斜边p1a的一半，所以弧p1p6的圆心角为，从而弧p1p6的长为.同理右侧面的弧p2p3的长与下底面的弧p4p3的长的长也为.故曲线的总长度为，故选b.1.3 联想到抛物线的定义cdabd1c1b1a1efpm【例3】 已知正方体的棱长为1，点m在棱ab上，且am=，点p是平面abcd内的动点，且点p到直线的距离的平方与点p到点m的距离的平方之差为1，则p点的轨迹为（a） a.抛物线弧 b.双曲线弧 c.线段 d.以上都不对解法一：过p作pf垂直ad于f，则pf垂直平面add1a1，过点f作fe垂直a1d1于e，连pe，则pe为点p到直线a1d1的距离，由已知，即，得， pf=pm，故p点的轨迹是以m为焦点，以ad为准线的抛物线，故选a. 解法二：以ab，ad所在直线为x轴y轴建立直角坐标系，设p（x ,y）为轨迹上任意点，可得p到a1d1的距离平方为1+，=，所以1+-=1，整理得，故选a.c1d1a1b1dcbap练习：在正方体的侧面abb1a1内有一点p到直线ab与到直线b1c1的距离相等，则动点p所在曲线的形状为（ c） a.直线 b.双曲线 c.抛物线 d.圆解：因为b1c1垂直于平面abb1a1，所以pb1为点p到直线b1c1的距离，于是问题转化为在平面abb1a1内，点p到定点b1的距离与点p到定直线ab的距离相等.故根据抛物线的定义可知选答案c. 1.4 联想到球面的定义【例4】 如图，已知正方形的棱长为2，长为2的线段的一个端点在棱上运动，点n在正方形内运动，则中点的轨迹的面积是（ ）a.b. c. d.解：充分利用mn的长度不变，是直角三角形，p点为斜边的中点，.故点的轨迹是以为圆心，1为半径的球面位于正方体内的部分，因为要算具体面积，就必须求出几何体是球的哪些部分.分析可得，点p和棱、均交于各自的中点，即三条半径两两垂直，该部分球面与正方体围成的几何体是球的八分之一，故选d.2 利用向量工具；按立体几何的传统方法几乎无从下手时，恰当的运用向量，有踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫之感. 【例5】一定长线段ab的两个端点a、b沿互相垂直的两条异面直线、运动，求它的中点的轨迹.解：设mn为、的公垂线段，则mn与、两两垂直.如图，以n点为原点，直线为轴，直线nm为轴，以过点n所作直线的平行线为轴，建立空间直角坐标系. 设，则， p点坐标为，其中横坐标和纵坐标为变量，竖坐标为常量.p点必在mn的垂直平分面上,取mn的中点o，则，所以p点在以o为圆心，为半径的圆上.故p点的轨迹是mn的垂直平分面内的一个圆.pmrqadbc3 利用特殊点定位；把问题的形式向特殊化形式转化，得出结论，并证明特殊化后的结论适合一般情况.【例6】 如图所示，在三棱锥a-bcd中，p为cd的中点，动点m在abd内部及边界上运动，且总保持pm平面abc,求动点m的轨迹.解：先分析特殊位置；当点m在bd边上时，由pm平面abc可得pmbc，此时点m是bd边的中点q，当动点m在ad边上时，同理可得pmac，此时点m是ad边的中点r.于是猜想动点m的轨迹为中位线rq.实际上此题就转化为证明面，故命