论文：基于APOS理论的数学概念教学.doc

基于apos理论的数学概念教学一、我国数学概念教学现状分析数学是由数学概念、命题（包括公理、定理、公式、法则）、数学思想方法和数学史话构成了一个完整的结构系统。其中的数学概念和命题是数学的知识部分，是数学美女的骨架，数学思想方法和数学史话是数学的文化部分，是填充骨架的肌肉与灵魂。两者的结合才能构成数学美女完整而光辉的形象。而数学命题又是建立在数学概念之上的，没有明晰的数学概念就不可能建构起准确清晰的数学命题。因此，数学概念是建构数学大厦的基础和前提，也是学习数学的基础和前提，学生对数学概念理解掌握的程度也成为学生学好数学的前提和关键。所以数学概念教学不仅是数学教学的重要内容，也是提高数学教学质量的关键。在传统的数学教学中，存在着两种影响学生理解掌握概念的情况：一是忽视数学概念的学习与教学现象，表现在数学概念教学中是教师往往采取短平快的方式直接介绍概念，之后讯速转入演练。由于这种越俎代庖的方式忽视了概念的形成过程，既易使学生失去抽象概括的训练机会，又不能使学生真正理解与掌握概念，从而也就更不能灵活运用概念解决问题，并进一步影响对数学命题的学习和数学能力的提高。另一种就是大多只是在逻辑层面上进行探讨，概念学习与教学方式单一。大多数教师习惯使用概念同化教学1：（1）揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；（2）对概念进行特殊分类，揭示概念的外延；（3）巩固概念，利用概念的定义进行简单的识别活动；（4）概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联系这种教学过程比较简明，使学生能够比较直接的学习概念，因而被称为“是学生获得概念的最基本方式”这种数学概念教学往往是将数学概念作为一个事先建造好的逻辑体系展示给学生或按逻辑体系提出数学问题，学生对概念的形成过程没有充分的体验，其数学概念的建立是靠教师直接或间接的代替进行快体验、快抽象，这样建构的数学概念被称为一具僵硬的骨架因此，这种教学方式容易使学生的数学概念学习出现以下的现象：（1）过快的抽象过程只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背例如，学生学习有理数运算很长时间，还经常出现符号运算错误这是学生对有理数运算没有理解而造成的（2）由教师代替学生快体验、快抽象出数学概念，既使是那些跟着教师进行有意义学习的学生，其学习活动也是不连贯的，建构的概念缺乏完整性例如学生学习了代数式的概念，经常出现a + a + a 2 = 3a 2；25x 4 = 21x；5yz 5z = y等错误，这是因为学生没有进行必要的“活动”，使“过程”的体验不完整而造成又如在求解方程中出现(x+2)2 = 1 = x2 + 4x + 4 = 1 =等错误，或只是在方程的左侧进行计算：3x+4=6+2x，3x+44=6+2x4，3x=6+2x4，3x2x=64，求得x=2这说明学生还停留于运算过程层面，对方程对象的结构特征不理解（3）至于学生建构概念的概括层面，是学习的最高阶段，在我们现有教学环境下很多学生难以达到这一层面例如，为什么要学习解方程？解方程的本质是什么？我们在教学中很少注意二 apos理论 apos理论是美国教育家杜宾斯基提出的数学学习理论。apos是英文单词action(操作)、process(过程)、object（对象）、scheme(概括)的第一个字母的组合，表示概念学习过程中的每一个阶段。apos理论认为，数学概念学习需要经历四个阶段（下面以“互斥事件”的形成为例予以说明）：第一阶段操作（action）阶段“操作”阶段进行活动或操作，又称为“活动阶段”。它是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受概念的直观背景和概念间的关系例如， 操作活动：1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个编有不同号码的红球，2个编有不同号码的绿球，1个黄球，从中任取一个球为一个事件.分别用a、b、c记之,则事件a：- （“从盒子中摸出一个球，得到红球”）; 事件b ：- (“从盒子中摸出一个球，得到绿球”); 事件c：- (“从盒子中摸出一个球，得到黄球”). 学生通过本阶段的操作活动，亲身体验、感受互斥事件概念的直观背景第二阶段过程（process）阶段“过程”阶段对操作的内容进行反思内化。 对上述列出事件a、b、c的操作活动进行反思内化。 反思问题：（1）“得到红球”和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系，可以同时发生吗？ （2）“得到绿球”和“得到黄球”这两个事件之间有什么关系，可以同时发生吗？ （3）“得到红球”和“得到黄球”这两个事件之间有什么关系，可以同时发生吗？ 由此可得它们的共同规律是什么？(4) 如果把摸到红球的结果的集合也记为a，禄球的结果的集合也记为b，摸到黄球的结果的集合也记为c，则ab ？ ac？ bc？ 通过学生对“第一阶段的操作活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出事件a、b、c之间所特有的性质:不能同时发生！对应的集合交集为空集。第三阶段对象（object）阶段然后可以把上述过程上升为一个独立的对象来处理。学案设计：你能否用数学语言来概括这个特征吗？（三次的“操作a”到“过程p”，使学生从直观到抽象，对素材进行提炼，这样互斥事件的概念呼之欲出）然后完成以下填空：1、 互斥事件（）_的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）其中的关键词是想一想：事件a与事件b互斥包含几种情况：；一般地，如果事件中的任何两个都是互斥事件，那么就说彼此_.其中的关键词是（）从集合的角度看，几个事件彼此互斥是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此 2、对立事件（）事件叫做对立事件。事件a的对立事件记为。（）两个事件是对立事件的条件是：两个事件；两个事件。练习：在上面的图中，“从盒中摸出1个球，得到的不是红球（即绿球或黄球）”记作事件.则事件a与是_事件。（）从集合的角度看，由事件所含结果组成的集合，与全集中由事件说含结果的集合之间的关系是什么？互斥事件与对立事件的区别与联系认真阅读并比较互斥事件与对立事件的概念，回答以下问题：（） 互斥事件与对立事件的联系是：（） 互斥事件与对立事件的区别是：第四阶段概括（scheme）阶段“概括阶段”的形成要经过长期的学习活动来完善，起初的概括包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式巩固练习 1 教材 1，2（判断事件是否是互斥事件，对立事件，并说明理由）2 若a表示四件产品中至少有一件是废品的事件，b表示废品不少于两件的事件，试问对立事件、各表示什么?3 如果事件a、b互斥，那么（ ）a. a+b是必然事件 b. +是必然事件c. 与一定互斥 d. 与一定不互斥 反思小结1 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，对立事件除这两个事件不同时发生外，还二者之一必有一个发生。2 对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情形；但互斥事件不一定是对立事件。“互斥”是“对立”的_条件. 因此要判断一个事件是否是对立事件必须先判断它是否是互斥事件.事件事件b3 从集合观点考虑事件事件 (1) (2) 与是_事件 a与b是_事件（1）中事件与所含结果组成的集合分别为m，n，则m与n的关系为？_(2) 中事件a与b所含结果组成的集合分别为m，n，则m与n的关系为？_4 互斥事件、对立事件的判定方法为：学生个体在经过以上三个阶段之后，再通过一些变式练习和反思小结就能在建构的基础上进入到“概括”阶段。此时的互斥事件的概念是以一种综合的心理图式存在于学生大脑，含有具体的概念实例、抽象的过程、完整的定义以及和其它概念的区别与联系等。apos理论集中于对特定学习内容数学概念学习过程的研究，对数学概念所特有的思维形式“过程和对象的双重性”做出了切实分析对数学学习过程中学生的思维活动做出深入的研究，正确揭示数学学习活动的特殊性，提出学生学习概念要经过“操作”、“过程”、“对象”和“概括”4个阶段从数学学习心理学角度分析，以上4个学习层次分析是合理的，反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动其中的“活动阶段”是学生理解概念的一个必要条件，通过“操作”让学生亲身体验、感受概念的直观背景和概念间的关系“过程阶段”是学生对“操作”活动过程进行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质“对象阶段”是通过前面的抽象，认识到了概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动“概括阶段”的形成要经过长期的学习活动来完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式apos理论揭示了数学概念学习的本质，是具有数学学科特色的学习理论apos理论强调把数学概念寓于现实社会背景中，学生通过活动亲身经历、体验数学与现实的联系，从中经历完整的学习过程，用数学的方法组织和建立数学概念这样建立起来的概念具有丰富的内涵，其中包含着概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想方法和概念的形式化（对象）等 二、 基于apos理论的数学概念教学建议我国传统数学概念教师主要采用的是同化教学方式，这种教学是建立在一般学习理论基础之上，偏重于概念的逻辑结构教学，忽视数学概念本身的涵义数学概念具有过程对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的教学过程因此，必须返朴归真，揭示数学概念的形成过程让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理，加深对概念的理解与掌握apos理论揭示了学生如何学习数学概念，并且指出如果在教师安排的学习任务下这4个心理建构过程在学生身上发生，那么可以认为学生学会（理解）了数学概念这为数学教师提供了指导学生怎样学习数学概念的理论经验和工具，教师可根据这一经验和工具制定教学目标和教学策略，安排教学活动apos理论中由操作、过程、对象、概括的学习过程，体现了数学知识形成的规律性，为教师提供了一种建构主义的教学策略为此，我们对数学概念教学提出以下建议：1 树立建构主义教学观并精心设计学习活动数学概念不能由教师简单地传授给学生，而只能靠每个学生依据自己已有的知识和经验主动地加以建构这要求教师要重视学生的学习活动，让学生亲身体验、建构数学概念因此，教师要创设问题情境，问题设计要注意以下几个方面：（1）能揭示数学概念的现实背景和形成过程；（2）适合学生的学习水平，使学习活动能顺利展开；（3）适当的问题数量，使学生能进行充足的活动体验；（4）注意趣味性，引起全体学生的学习兴趣活动的形式可以多种多样2 体现数学知识形成中的数学思维方法数学思维方法是知识产生的灵魂，教师要把握数学概念形成中的数学思维方法，这是学生展开思维、建构概念的主线教师在学生学习中要给予提示、建议并在总结中归纳隐藏在数学知识背后的数学思维方法另外，教师要设计能引起学生进行反思的提问，如：“你的结果是什么？”“你是怎样得出的？”“你为什么这样做？”等使学生经过思维方法的整合，能顺利的完成由“操作”到“过程”，“过程”到“对象”的过渡3 数学对象的建构需经多次反复数学教师要意识到：一个数学概念由“过程”到“对象”的建立有时