高中数学论文：用放缩法证明不等式.doc

用放缩法证明不等式 不等式是高考中的难点，而用放缩法证明不等式学生更加难以掌握。不等式是衡量学生数学素质的有效工具，在高考试题中不等式的考查是热点难点。本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。放缩法的理论依据是不等式性质的传递性，难在找中间量，难在怎样放缩、怎样展开。证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的放缩方法。 利用三角形的三边关系例1 已知a，b，c是abc的三边，求证： 证明：=为增函数，又。点评：学生知道要利用三角形的三边关系，但无法找到放缩的方法，难在构造函数。利用函数的单调性例2 求证：对于一切大于1的自然数n，恒有。证明： 原不等式变形为 ， 令 则 ， 所以 。即 是单调增函数（n=2，3，）， 所以 。故原不等式成立。点评：一开始学生就用数学归纳法进行尝试，结果失败，就放弃了。若使不等式的右边变为常数，再用单调性放缩就好了。利用基本不等式例3 已知f（x）=x+(x0) 求证：证明：,设 （1） （2）（1）+（2）得 点评：用数学归纳法证明，思路简单，但是难度很大，可以通过二项式定理展开，倒序法与基本不等式相结合进行放缩。利用绝对值不等式例4 设=，当时，总有，求证：。证明：，又所以，=7。点评：本题是一道函数与绝对值不等式综合题，学生不能找到解题的突破口，关键在于找到a，b，c与f（0），f（1），f（-1）的联系，再利用绝对值内三角形不等式适当放缩。利用不等式和等比数列求和例5求证：。证明：=，利用不等式=。点评：有些学生两次用错位相减进行放缩，但是没有找到恰当的变形放缩，对利用不等式进行放缩不熟悉。若经过“凑”与不等式相结合，再利用等比数列求和放缩就到了。 利用错位相减法求和例6已知a1, a2, a3, , an, 构成一等差数列，其前n项和为snn2, 设bn, 记bn的前n项和为tn, (1) 求数列an的通项公式；(2) 证明：tn1。 解：(1) a1s11, 当n2时, ansnsn12n1; 由于n1时符合公式， an2n1 (n1). (2) tn, tn, 两式相减得tn(1), tn(1)1。 利用裂项法求和例7已知函数在上有定义，且满足对任意的当时，.证明不等式.证明：令，则.令，则，故在上为奇函数.设，且由可得，则由题有，故，即，所以为 上减函数.从而函数在时，.所以，即.点评：本题将数列与不等式、函数综合考查数学逻辑推理能力，分析问题能力，变形能力，可以用数学归纳法证明不等式，但学生解题的过程不过完善。若用裂项法进行数列求和放缩就简单利用二项式定理展开例8已知数列满足(nn*),是的前n项的和，并且 （1）求数列的前项的和； （2）证明：（3）求证： 解： (1)由题意得两式相减得所以再相加所以数列是等差数列又又 所以数列的前项的和为 而 .（3）证明： 点评：这是一道很有研究价值的用放缩法证明不等式的典例。考查了与 an 的关系，有些学生没有对an中的n进行讨论，也没有合并，虽用了二项式展开，但无法构造不等式进行放缩。对第3小题的放缩也可裂项法求和进行放缩。数学是研究空间形式和数量关系的科学，恩格斯在自然辩证法一书中指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式，数学中蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素，等与不等关系正是该点的生动体现，不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性.等与不等形影不离，是中学数学中最广泛、最普遍的关系.数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽