高中数学论文：用导数法求几类参数问题.doc

用导数法求几类参数问题 导数及其思想方法是中学数学新增的内容，是中学数学知识的一个重要交汇点。纵观近几年的高考试题和各地的模拟试题，运用导数法求参数范围，是高考命题一个的新趋向，以此考查学生的函数方程、分类讨论和数形结合思想、代数推理能力、不等式技能及创新意识。下面举例探讨几类参数问题的导数求法，以展示导数的工具作用。一、与函数单调性有关的参数问题例1、（2004全国，文19）已知在r上是减函数，求的取值范围.解：函数f(x)的导数： 则 （）时，是r上是减函数 所以，当是减函数； 所求的取值范围是（ 评注：对三次函数求导，利用导函数为二次函数特点、结合二次函数的性质得以解决，体现了导数处理函数单调性的优点。我们把问题一般化：三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d （a0）(x)=3ax2+2bx+c若f(x)在r上是增函数(x)0，则a0,且0; 若f(x)在r上是减函数(x)0，则a0,且0.例2、(2005全国卷，理22) 已知a 0 ，函数f(x) = （ -2ax ） (1) 当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； (2) 设 f(x)在 -1，1上是单调函数，求a的取值范围.解：（i） 令即+2(1)2=0 得 当 变化时，、的变化如下表+00+递增极大值递减极小值递增在=处取得极大值，在=处取得极小值。当0时，1,在上为减函数，在上为增函数，而当时=，当x=0时，所以当时，取得最小值（ii）当0时，在上为单调函数的充要条件是即，解得于是在-1，1上为单调函数的充要条件是评注：此题关键在于利用导数对极值点大小的判断，抓住极值点与所给区间的位置关系，数形结合，把问题解决。二、与函数极值有关的参数问题例3、（2004湖北文22）已知的图象相切。（）求b与c的关系式（用c表示b）； （）设函数内有极值点，求c的取值范围解：（）易求 （）当且仅当评注：三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d （a0）(x)=3ax2+2bx+c若f(x)在r上无极值点0若f(x)在r上有极值点0三、与方程有关的参数问题例4、若关于x的方程x3-3x=a有3个互不相等的实根，求实数a的取值范围。 解：设f(x)= x3-3x,y=a,3x2-3=3(x-1)(x+1)f(x)在（，1）上单调递增，在-1,1上单调递减，(1,+)单调递增f(x) 极小值2，f(x) 极大值2要使直线y=a与函数f(x)的图像有3个相异的交点，只需a(-2,2)评注：通过构造函数，用导数求函数的极值，数形结合把问题巧妙解决。例5、( 2005全国卷iii，理22) 已知函数，（）求的单调区间和值域；（）设，函数g(x)=x3-3a2x-2a, ，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围解：（）易求 的值域为（）对函数求导，得 因此，当时， 因此当时，为减函数，从而 又，即当时有任给，存在使得，则，即解式得 或，解式得 ，又，故：的取值范围为评注：运用导数工具，理解方程内涵，自觉转化为集合观点思考问题、解决问题。四、与不等式有关的参数问题例6、(05浙江五校) 若存在正实数x，使不等式成立，求实数k的取值范围。解：要使不等式成立，即 lnk+ ln(1+x)- lnx成立令y=+ ln(1+x)- lnx,则=,当0x0；当x1时0,x=1时，y=+ ln(1+x)- lnx取最大值为ln2,ln2lnk时，存在正实数x，使原不等式成立，即0k2变式：对任意的正实数x，使不等式恒成立，求实数k的取值范围。简析：lnk+ ln(1+x)- lnx恒成立，lnkymax= ln2,k2评注：对于不等式中存在性问题和恒成立问题向来是数学的难点之一，我们通过变量分离（或二次方程根的分布）、构造函数运用导数求出函数的最值，从而把问题巧妙解决综上可知，运用导数法求有