高中数学论文：线性规划问题最优整解的解法探求.doc

线性规划问题最优整解的解法探求对于线性规划问题的最优整解，若借助于多媒体课件，特别是使用几何画板，作出相关的动态图形，打出网格，找出最优解，这样既直观又清楚。但在日常教学中，受条件的限制，很难找出最优解。经两次教学后，现对教材中此类例题的解法作适当的改正。例1（必修本）第二册上p63例4）要将两种大小不同的钢板截成a、b、c三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型a规格b规格c规格第一种钢板211第二种钢板123今需要a、b、c三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？分析：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，根据题意可得：作出可行域：其目标函数为 z=x+y，作出在一组平行直线x+y=t（t为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x+3y=37和直线2x+y=15的交点a（），由于都不是整数，故可行域内点()不是最优解.但我们可以把问题转化为：在可行域内的求整点p（m,n）,使p（m,n）到直线x+y=的距离最小。于是，得到如下的解答。解： p（m,n）到直线x+y=的距离d=，由于m，n都是整数，则当m+n=12时，d最小，此时（m,n）满足（ m是自然数）得， ，所以m=3或4，则最优解是（3，9），（4，8）。 例2 （必修本）第二册上p65第4题）某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为客房，大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积15，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元。如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？解：设隔出大房间x间，小房间y间，收益为z元，则x，y满足，即z=200x+150y作出可行域：作直线l：200x+150y=0即l：4x+3y=0,求得a（，），过a平行于l的直线为：7(4x+3y)=260，设可行域内的点p（m,n）到直线7(4x+3y)=260的距离d=，要使d最小。当4m+3n=37时，得经检验，无整数解。当4m+3n=36时，得经检验，整数解为（0，12），（3，8）答：应隔出小房间12间，或大房间3间和小房间8间，能获得最大收益。例3 求平面上的整点（横、纵坐标均为整数的点）到直线的距离的最小值。解 设m,nz，则点(m,n)到l的距离为d=。因为 7(3m-5n)是7的倍数，要使d最小，只要看7的倍数中离-10最近的整数，显然是-7。此时 m=-2,n=-1,d的最小值是。例4 （2005湖北卷）某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件二，最少要花费_元。解：设二种原料各需x袋，y袋。则设z=140x+120y过点（，0）的直线l:5(7x+6y)-106=0，可行域内的点p（m,n）(m,n都是整数)到直线l的距离为d=