《数值分析》练习题

- 1 - / 4 上海大学 数值分析 练习题 2012、 1. 为使 70 的近似值 *x 的相对误差限不超过 , 则查开方表时 *x 需要保留几位有效数字 ? 解 : 设近似值保留 n 位有效数字可满足题设要求 . 因为 8 70 9, 所以取1 8a. 则由111( * ) 1 0 0 . 1 %2 nr x a , 得 110 , 3n . 即保留 3位有效数字就可满足题设要求 . 2. 写出矩阵 3 1 62 1 31 1 1A的克劳特分解式 . 解 : 1300 123 1 6 312 1 3 2 0 0 1 3 1 0 0 12113A 3. 设 1 1 11 2 10 1 1A, 求 A. 解 : m a x 1 1 1 , 1 2 1 , 0 1 1 4 二、对于非线性方程 3 10 , 已知其在0 附近必有一个实根 . 若用迭代法求解该方程时 , 可以有下列三种迭代格式 , 试判断相应迭代法的敛散性 . 3331 1 1 2211; 1 ; k k k x x x 解 : 对迭代格式 31 1而言 : 3( ) 1g x x, 2( ) 3g x x , (1 6 1g , 迭代格式发散 ; 对迭代格式 31 1而言 : - 2 - / 4 3( ) 1g x x, 231()3 ( 1 )gx x , (1 0 1 1g , 迭代格式收敛 ; 对迭代格式 31 22131kk 而言 : 3221() 31x , 3226 ( 1 )()( 3 1 )x x , ( 0 8 1g , 迭代格式收敛 . 三、对于线性方程组 1 2 31 2 31 2 32 2 1 ,2,2 2 3 .x x xx x xx x x 分别写出其雅克比迭代和高斯 塞德尔迭代的迭代格式 , 并说明雅克比迭代对任意初始向量 (0)x 都收敛 , 而高斯 塞德尔迭代不是对任意初始向量 (0)x 都收敛 . 解 : 1 2 32 1 33 1 22 2 1 ,2,2 2 3 .x x xx x xx x x 雅克比迭代的迭代格式 : ( 1 ) ( ) ( )1 2 3( 1 ) ( ) ( )2 1 3( 1 ) ( ) ( )3 1 22 2 1 ,2 , 0 , 1 , 2 , 3 .k k kk k kk k kx x xx x x kx x x 雅克比迭代的迭代矩阵 : 0 2 21 0 12 2 0B . 3221 1 022 , 1 2 3 0 , ( ) 0 1B . 所以雅克比迭代对任意初始向量 (0)x 都收敛 ; 高斯 塞德尔迭代的迭代格式 : ( 1 ) ( ) ( )1 2 3( 1 ) ( 1 ) ( )2 1 3( 1 ) ( 1 ) ( 1 )3 1 22 2 1 ,2 , 0 , 1 , 2 , 3 .k k kk k kk k kx x xx x x kx x x 雅克比迭代的迭代矩阵 : 0 2 20 2 30 0 2B. - 3 - / 4 2220 2 3 ( 2 ) 00 0 2 , 1 2 30 , 2 , ( ) 2 1B . 所以高斯 塞德尔迭代不是对任意初始向量 (0)x 都收敛 . 四、（ 15分）给出数据表 建立一个不超过三次的埃尔米特插值多项式 , 并建立插值误差估计式 . 解 : 0 1 1 2 0 1 21 2 2 9 1 7 , 1 , , 7 , , , 3 ,0 1 1 2 0 2f x x f x x f x x x 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1( ) ( ) , ( ) , , ( ) ( )N x f x f x x x x f x x x x x x x 21 3 ( 1 ) 3 2 1 ,x x x x x 设 23 2 0 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 ( 1 ) ( 2 ) ,H x N x A x x x x x x x x A x x x 23 ( ) 6 2 ( 3 6 2 ) ,H x x A x x 3 (1) 4 3 , 1A . 所以尔米特插值多项式为 233 ( ) 3 2 1 ( 1 ) ( 2 ) 1H x x x x x x x . 插值误差估计式为 ( 4 ) 23()( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 0 2 )4!fR x x x x . 五、给出一组数据 用最小二乘法求二次拟合曲线 . (保留 4 位小数 ) 解 : 设拟合曲线为 2y a bx . 7 7 7 72 3 41 1 1 17 7 721 1 17 , 3 , 4 3 , 6 3 , 4 5 1 ,1 4 , 3 , 2 9 .i i i ii i i ii i i i ii i im x x x xy x y x y - 4 - / 4 法方程组21 1 1231 1 1 12 3 4 21 1 1 1,m m mi i ii i im m m mi i i i ii i i im m m mi i i i ii i i im a b x c x ya x b x c x x ya x b x c x x y 即 7 3 4 3 1 4 ,3 4 3 6 3 3 ,4 3 6 3 4 5 1 2 9 ,a b ca b ca b c 解得 4 . 2 2 8 8 , 0 . 3 4 1 0 , 0 . 3 8 6 5 所以拟合曲线为 24 . 2 2 8 8 0 . 3 4 1 0 0 . 3 8 6 5y x x . 六、（ 15分）用复合辛普森求积公式411, 要求 5 位有效数字 . 解 : 1( ) 334 11( ) 2 ( ) 4 ( )62f a f a i h f a i f b 1 6 8