作业二 简述新课程中函数内容的定位、要求、变化及其缘由。 函数是高中.doc

作业二简述新课程中函数内容的定位、要求、变化及其缘由。函数是高中数学的一个重要的内容，新课标对函数概念的处理方式是强调函数是刻画现实世界中一类重要变化规律（运动变化）的模型，一种通过某一事物的变化信息可退至另一事物信息的对应关系的数学模型. 并要求结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法. 从这次新课程改革的初中教材上看，给高中教学带来不少困难。教材内容来讲，删减（或中考不要求）了很多内容，如：一元二次方程根与系数的关系、十字相乘发因式分解、立方和差公式、三角形的重心、角平分线、平行线的截割等等，而这些姿势在高中有着广泛的应用。在我国面向21世纪的基础教育课程改革中，数学课程的设计凸显了“函数”这一主线，并采用了螺旋的编排方式，但函数仍然是中学生感到最难学的内容. 函数包含两个本质属性（定义域与对应法则）和较多的非本质属性（如值域、自变量、因变量、集合等）；初中函数“变量说”定义中的文字“y是x的函数，记作y=f(x)”属于蕴涵式的表述且符号抽象；函数涉及“变量”，而“变量”的本质是辩证法在数学中的运用；函数还具有多种表示法，如解析法、列表法、图象法、箭头法；函数与其他内容有错综复杂的联系. 我国中学数学新课程对函数课程设计仍然分为两个阶段，第一个阶段在义务教育的第三学段（初中），在相应的课程标准4中，仅提出了几条学习函数的具体目标，似乎是给教材编写留下了更大的空间，然而几乎所有初中教材都采用了“变量说”。第二阶段安排在高中一年级，在相应的课程标准中，明确提出“对应说”的要求“用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用”，并在教学说明与建议中指出：“教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。”并建议“采用后一种方式”。课程标准对函数的教学建议中，提倡不必先讲映射，直接由对应通过具体实例引入，这种淡化形式的处理提供了整体改革函数课程设计的契机。在数学课程改革的国际比较与交流中，我们发现初中与高中分别采用“变量说”与“对应说”的课程设计已不多见，发达国家一般采用淡化形式的处理方式，通过具体实例较早渗透对应思想。5比如，法国的数学课程，小学四、五年级就要求学生认识与使用在小数集上的数值对应的函数关系以及它们的逆对应；六年级要求用函数对应关系的图表来描述情景；七九年级用图表、解析式等多种方式表示函数以及处理问题，但不给出函数的严格定义。进入高中阶段，实行分科教学，涉及自然科学的数学课程中才注重函数形式化的教学，并作为函数教学的深入与延伸，微积分列入高中阶段的数学课程。在九年级以上的各类代数课本中，都首先定义“关系”，再将函数定义为一种特殊的关系5。新课标与原大纲的比较如下：内容在课程标准（a)与原大纲(b)的区别(c) 函数及其表示 课程标准: a1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之问的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念 2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数 3通过具体的实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 原大纲 b1了解映射的概念,理解函数的概念，明确决定函数三要素，即定义域、值域和对应法则；会求某些函数的定义域和值域 2掌握函数的三种主要表示方法，即解析法、列表法、图象法 原大纲是从抽象的对应关系来定义函数的概念；课标通过实例用变量的关系描述函数概念，比较生动、直观新课标对求函数定义域和值域降低了要求 c区别新课标增加了“在实际情境中”，强调了函数的应用性；对分段函数的应用提出了具体的要求 函数的基本性质课程标准: a1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义 2学会运用函数图象理解和研究函数的性质 b1了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法 2了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。 c原大纲侧重通过推理, 证明研究函数的性质及应用；新课标强化了用图象直观理解和研究函数的性质，强调了函数的实际应用 新课标突出单调性、弱化奇偶性，反函数在下一章通过具体函数提出并弱化。 函数与方程 a1结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系； 2根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法 b原大纲没有，新课标增加。 指数函数 a1通过具体实例(如细胞分裂，考古中所用的14c的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景 2理解有理函数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 3理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 4在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型 b 理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数概念图象和性质 c课标突出与实际相联系,课标要求学生了解无理指数幂 对数函数 a 1理解对数函数的概念及其运算性质，知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发展历史以及对简化运算的作用 2通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，并探索并了解对数函数的单调性与特殊点 b理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数概念图象和性质 c课标要求知道换底公式 指数、对数函数 a知道指数函数与对数函数互为反函数 b了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数. c课标对反函数不做要求，只提出知道指数函数与对数函数互为反函数 幂函数 a通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x12 的图象，了解它们的变化情况 b 大纲不作要求 函数模型及其应用 a 1利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 2收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛运用 b 1能够运用函数的性质、指数函数、对数函数的性质解决某些简单的实际问题 2实习作业以函数应用为内容，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力 c 课标：鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题，例如：利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等课标还强调学生对过程的感受 自20世纪初，数学教育改革运动提出“以函数为纲”的口号以来，函数一直都被确立为数学教学的核心。这不仅因为它是整个数学体系的重要基础，而且因为函数思想方法已成为现代数学的主要思想方法之一，对数学课程的设计可以起到统领的作用。然而，函数历来也是中学生感到最难学的内容，若干研究和教学实践表明函数的学习困难甚至伴随了许多中学生的整个数学学习过程。本文就中学生函数的学习困难作出分析，并提出函数的课程设计建议。通过课改感受很大，高中新课程中很多内容的定位发生了变化，有集合、函数、立体几何和平面解析几何等。如对函数过去过分在知识点上下功夫，学生对抽象函数符号的理解相当大。（我们老师深有体会）。为了从整体上把握函数，新教材削弱了对定义域值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练，目的是为了使学生更好地理解函数的基本思想和实质。函数的概念中先讲函数再讲映射体现了函数模型思想，加强了概念形成过程。只要求知道指数函数与对数函数互为函数，将复合函数内容的要求也有所降低，这都是为了尽可能地减轻学生的负担。加强了函数模型的背景和应用要求。高中课程目标的规定标准在课程目标中的第一条就明确指出：“获得必要的数学基础知识和基本技能。理解基本的数学概念、数学结论的本质。了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中蕴含的数学思想方法，以及他们在后继学习中的作用。加强了知识之间的联系。这种联系包括与方程、不等式、算法等内容的横向联系以及在整个中学数学中多次接触，反复体会，螺旋上升地学习函数的纵向联系。加强了知识之间这些的联系的主要原因有两个一：是高中数学是以模块形式呈现的沟通个模块之间的联系。使学生体会知识间的有机联系。感受数学分支自身的体系对于学生学习数学，认识数学的整体性就是尤为重要的。二：是学生对函数这一概念的真正理解掌握和运用是需要有一个过程的。（1）加强了对数形结合，几何直观等数学思想方法学习的要求（如函数的单调性和奇偶性）（2）加强了与信息技术整合的要求。定位中把算法、不等式与方程横向联系尤其是算法把数学与计算机有机的结合起来把一些理性的思维以程序的形式展现出来。从定位发生的变化看对知识形成的过程形成的背景这点加强了，比较符合学生的认识规律从具体的实例出发最后体会概念。新课标下高中函数内容的变化1. 加强的内容（1）加强了函数模型的背景和应用的要求：了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集现实生活中普遍使用的函数模型实例（2）加强了分段函数的教学，分段函数要求能简单应用. （3）加强了知识之间的联系：函数与方程、不等式、算法等内容的横向联系，以及在整个中学数学中多次接触，反复体会，螺旋上升地学习函数的纵向联系.沟通各模块之间的联系，使学生体会知识间的有机联系，例如，标准要求结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，为后面的算法学习作一些准备等（4）加强了对数形结合、几何直观等数学思想方法学习的要求：函数这一内容是学习数形结合、几何直观等数学思想方法很好的数学载体. （5）加强了信息技术整合的要求：明确指出了要运用信息技术进行教学如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相